现代控制一级倒立摆.doc

倒立摆实验

电子工程学院
自动化
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目录
1实验设备简介 2
1.1倒立摆介绍 2
1.2直线一级倒立摆 3
2 倒立摆建模 3
2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导 3
2.1.1受力分析 4
2.1.2微分方程建模 5
2.1.3状态空间数学模型 6
2.2 实际系统模型建立 7
3系统定性、定量分析 8
3.1系统稳定性与可控性分析 8
3.1.1稳定性分析 8
3.1.2能控性分析 9
4极点配置的设计步骤 9
4.1极点配置的计算 9
4.2用MATLAB进行极点配置的计算 11
4.3极点配置的综合分析 12
5小结 13

1实验设备简介
1.1倒立摆介绍
图1：一级倒立摆结构图

倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂，多变量，存在严重非线性，非自制不稳定系统。常见的倒立摆一般由小车和摆杆两部分组成，其中摆杆可能是一级，二级或多级，在复杂的倒立摆系统中，摆杆的长度和质量均可变化。

1.2直线一级倒立摆
根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质的杆组成的系统。倒立摆系统是典型的机电一体化系统其机械部分遵循牛顿的力学定律其电气部分遵守电磁学的基本定理.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统.小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。
2 倒立摆建模
2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导
对于忽略各种摩擦参数和空气阻力之后，直线一即倒立摆抽象为小车和均质杆组成的系统。
本系统的参数定义如下：
M
小车质量
m
摆杆质量
b
小车摩擦系数
l
摆杆转动轴心到杆质心的长度
I
摆杆惯量
F
加在小车上的力
x
小车位置（变量）
φ
摆杆与垂直向上方向的夹角（输出）
θ
摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）

2.1.1受力分析
下面我们对这个系统作一下受力分析。和为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
图1：倒立摆系统小车和摆杆的受力分析

应用牛顿第二定律方法来建立系统的动力学方程过程如下：
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
(2-1)
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
(2-2)
(2-3)
把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：
（2-4）
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
(2-5)
(2-6)
力矩平衡方程如下：
(2-7)
注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去和，得到第二个运动方程：

(2-8)

2.1.2微分方程建模
设，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角与1（单位是弧度）相比很小，即 时，则可以进行近似处理：，，。为了与控制理论的表达习惯相统一，即一般表示控制量，用来代表被控对象的输入力，线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：

(2-9)

2.1.3状态空间数学模型
由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式：
(2-10)

方程组（2-9）对解代数方程，得到如下解：

(2-11)

整理后得到系统状态空间方程：

(2-12)

2.2 实际系统模型建立
实际系统参数如下，求系统的传递函数、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的Matlab仿真。
M
小车质量
1.096kg
m
摆杆质量
0.109kg
b
小车摩擦系数
0.1N/m/sec
l
摆杆转动轴心到杆质心的长度(本实验为0.3m)
0.25m
I
摆杆惯量
0.006kg*m*m
F
加在小车上的力

x
小车位置

T
采样频率
0.005秒
θ
摆杆与垂直向下方向的夹角

1）以外界作用力作为输入的系统状态方程：

3系统定性、定量分析
3.1系统稳定性与可控性分析
3.1.1稳定性分析
先分析系统的稳定性，将数据代入状态方程中，利用matlab程序可以求出系统的零极点。
程序段如下：
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D) %状态空间表达式——>传递函数为-2.6838/(s^2-31.6926)
[z,p,k]=tf2zp(num,den) %传递函数——>零极点型

结果如下：

零点：
z =
5.4344 0.5492
-5.4344 -0.0000

极点：
p =
0
-5.6516
5.6081
-0.0456
由得到的p（极点）可知，有的极点在单位圆外，所以可知原系统是不稳定。
3.1.2能控性分析
我们可以利用matlab来得到系统的能控性，源代码如下：
uc=ctrb(A,B) %判断能控性
r=rank(uc) %求秩
r 4
由得到的rank（ud）的值可知，原系统的能控性矩阵为4，所以我们可知原系统是能控的。
4极点配置的设计步骤
4.1极点配置的计算
对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间和合适的阻尼。
倒立摆极点配置原理图如图所示：

极点配置步骤如下：
（1）检验系统能控性（以证）
（2）计算特征值
选取期望的闭环极点，其中：

期望的特征方程为：

因此可以得到：

由系统的特征方程：

因此有：

系统的反馈增益矩阵为：

（3）状态反馈增益矩阵为：

4.2用MATLAB进行极点配置的计算
程序段如下：
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D) %状态空间表达式——>传递函数为-2.6838/(s^2-31.6926)
p=[-10 -10 -2+3.3j -2-3.3j]; %期望极点配置
K=acker(A,B,p) %求状态增益K

结果相同：

l 系统输出响应

图3 系统输出响应图

4.3极点配置的综合分析
极点配置法成功实现了同时对倒立摆摆角和小车的位置的控制，但是在极点配置时，期望极点的选取，需要考虑、研究它们对系统品质的影响以及它们与零点分布状况的关系，还需要顾及抗干扰性能方面的要求。
状态反馈系统的主要优点是极点的任意配置，无论开环极点和零点在什么位置，都可以任意配置期望的闭环极点。这为我们提供了控制系统的手段，假如系统的所有状态都可以被测量和反馈的话，状态反馈可以提供简单而适用的设计。

5小结
通过本次读书工程，我对状态空间有了更深的了解，从建立系统传递函数到状态空间方程再到对系统的稳定性能控性分析，都充分的将理论与实践结合了起来。
极点配置法做得很成功，输入参数后摆杆能成功倒立，当有干扰的时候，可以迅速的恢复稳定，也学会了将不稳定的发散的系统通过状态反馈和观测，进行极点配置，从而得到稳定的系统。
最后通过直线一级倒立摆系统的设计使我掌握了用matlab来进行系统设计仿真的方法，并熟悉了现代控制理论的相关知识，学以致用，学会一般系统的建模方法和控制器设计方法。很好的将课本上的知识运用到了生活中。