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第十一讲 线段与角
线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念，这两个概念在日常生活中有着广泛的应用．
　　小明做作业需要买一些文具．在他家的左边200米处有一家文具店，他从家出发向文具店走去，走到一半发现忘了带钱，又回家取钱买了文具后回到家中．问小明共走了多长的路程？
　　在高层建筑中，一般都设有电梯，人们上楼一般都乘坐电梯，你想过吗，设计电梯与线段的什么性质有关？
　　钟表是大家熟悉的计时工具，你可曾观察过在2点到3点之间什么时候时针与分针重合？什么时候时针与分针成90°角？
　　我们还可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题，不少问题很有趣，也颇费脑筋，对于留心观察、勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好机会．
　　例1 已知：AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E，F分别是AB和CD的中点，且EF=12厘米(cm)，求AD的长(如图1－6)．

　　分析 线段EF是线段AD的一部分，题设给出了EF的长度，只要知道线段EF占全线段AD的份额，就可求出AD的长了．
　　解 因为AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E是AB中点，F是CD中点，将线段AD 9等分(9=2+3+4)且设每一份为一个单位，则AB=2，BC=3，CD=4，EB=1，CF=2．从而
EF=EB+BC+CF=1+3+2=6，

　　例2 在直线l上取 A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度(如图1－7)．

　　分析 因为是在直线上取C点，因此有两种情形：C点在A点的右侧或C点在A点的左侧．
　　解 若C点在A点的右侧(即在线段AB上)．因为AC=2厘米， N为 AC中点，所以 AN=1厘米；又 AB=10厘米，M为AB中点，所以AM=5厘米．则
　　MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如图1－7(a))．
　　若C点在A点的左侧(即在线段BA延长线上)，此时
　　MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如图 1－7(b))．
　　线段的最基本性质是“两点之间线段最短”，这在生活中有广泛应用．前面所提到的高层建筑所设电梯的路线，就是连接两层楼之间的线段，而楼梯的路线则是折线，电梯的路线最短．
　　例3 如图1－8所示．在一条河流的北侧，有A，B两处牧场．每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后， 折到B处放牧吃草．请问， 饮水处应设在河流的什么位置，从A到B羊群行走的路程最短？

　　分析 将河流看作直线l(如图1－9所示)．设羊群在河边的饮水点为C＇，则羊群行走路程为AC＇+C＇B．设A关于直线l的对称点为A＇，由对称性知C＇A＇=C＇A．

　　因此，羊群行走的路程为
A＇C＇+C＇B．
　　线段A＇C＇与 C＇B是连结点A＇与点B之间的折线．由线段的基本性质知，连结点A＇与点B之间的线中，线段A＇B最短．设线段A＇B与直线l交于C．那么，C点就是所选的最好的饮水地点，下面我们来说明这一点．
　　解 作A关于直线l的对称点A＇．连结B，A＇，并设线段BA＇与l交于C．设C＇是l上不同于C的另外一点，只要证明
　　AC＇+C＇B＞AC+CB ①
　　即可．
　　利用线段基本性质及点关于直线的对称性知
AC＇=C＇A＇及 CA=CA＇，
　　所以
AC＇+C＇B=C＇A＇+C＇B，
AC+CB=CA＇+CB=A＇B．
　　而C＇A＇与C＇B是连结A＇，B的折线，而A＇B则是连结这两点之间的线段，所以
C＇A＇+C＇B＞A＇B=A＇C+CB=AC+CB
　　从而①成立，即选择C点作为羊群的饮水点，羊群的行程最短．
　　例4 将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．

　　分析 设AB是所围成的五边形ABCDE的某一边(图 1－10)，而线段BC，CD，DE，EA则可看成是点A，B之间的一条折线，因此，
AB＜BC+CD+DE+EA．
　　如果AB是最长的一段，上面的不等式关系仍然成立，从而可以求出它的取值范围．
　　解 设最长的一段AB的长度为x厘米，则其余4段的和为(10-x)厘米．由线段基本性质知x＜10-x，所以x＜5，即最长的一段AB的长度必须小于5厘米．
　　例5 若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角．
　　分析 这个问题涉及到一个角的余角、补角及两个角的比的概念，概念清楚了，问题不难解决．
　　解 设这个角为α，则这个角的余角为90°-α，这个角的补角为180°-α．依照题意，这两个角的比为
(90°-α)∶(180°-α)=2∶7．
　　所以
360°-2α=630°-7α，5α=270°，
　　所以α=54°．从而，这个角的邻补角为
180°-54°=126°．
　　例6 若时钟由2点30分走到2点50分，问时针、分针各转过多大的角度？
　　分析 解这个问题的难处在于时针转过多大的角度，这就要弄清楚时针与分针转动速度的关系．每一小时，分针转动360°，而时针转动

　　解 在2点30分时，时钟的分针指向数字6；在2点50分时，时钟的分针指向数字10，因此，分针共转过“四格”，每转“一格”为30°，故分针共转过了
4×30°=120°．

　　在钟表中，有很多有关分针、时针的转角问题．解决这类问题的关
　　倍)．

　　例7时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合(图1－11)？
　　分析 在开始时，从顺时针方向看，时针在分针的“前方”，它们相差 5×30°=150°．由于分针转动速度远远大于时针转动速度(是它的12倍)，因此，总有一刻，分针“追上”时针(即两者重合)．具体追上的时刻决定于开始时，分针与时针的角度差及它们的速度比．
　　解 如分析，在开始时，分针“落后”于时针150°．设分针与时针第一次重合时，时针转动了α角，那么，分针转动了(150°+α)．因为分钟转速是时针的12倍，所以
150°+α=12α，

　　说明 钟表里的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追击问题非常相似．行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时(分)针的转动速度．
　　下面再看一例．
　　例8 在4点与5点之间，时针与分针在何时
　　(1)成120°(图1－12)；
　　(2)成90°(图1－12)．
　　分析与解 (1)在4点整时，时针与分针恰成120°．由于所问的时间是介于4点到5点之间，因此，这个时间不能计入．从4点开始，分针与时针之间的角度先逐步减少，直至两针重合(夹角为0°)．之后，分针“超过”时针，两针之间的夹角又逐渐增大(此时，分针在时针的前面)．

　　直到两针夹角又一次成为120°，这个时间正是我们所要求的．
　　设时针顺时针转过a角后，时针与分针(分针在时钟前)成120°，则
12a=120°+a+120°，

　　由于时针每转过30°(如从指向数字4转到指向数字5)相当于1

经过了

　　(2)如图1－13(a)，(b)所示．
　　由于在整4点时，时针与分针夹角为120°，因此，在4点与5点之间，时针与分针成90°有两种情况　：
　　(i)时针在分针之前(如图1－13(a))．设时针转了a角，分针转了12a角，有

120°+α=90°+12α，
　　所以 　　　　　　　　　　　　　　11α=30°，

　　用时

　　(ii)时针在分针之后(如图1－13(b))，此时，有关系
12α-α=120°+90°，
11α=210°，

　　用时

　　间时，时针与分针成90°．
　　说明 由于时针与分针所成角依时针与分针的“前”“后”次序有两种情况，因此，按两针夹角情况会出现一解或两解．
练习十一
　　1．如图1－14所示．B，C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点．若MN=a，BC=b，求AD．

　　2．如图1－15所示．A2，A3是线段A1A4上两点，且A1A2=a1，A1A3=a2，A1A4=a3．求线段A1A4上所有线段之和．

　　3．如图1－16所示．两个相邻墙面上有A，B两点，现要从A点沿墙面拉一线到B点．问应怎样拉线用线最省？

　　4．互补的两角之差是28°，求其中一个角的余角．
　　5．如图1－17所示．OB平分∠AOC，且∠2∶∠3∶∠4=2∶5∶3．求∠2，∠3，∠4．

　　6．在晚6点到7点之间，时针与分针何时成90°角？
　　7．在4点到6点之间，时针与分针何时成120°角？