2020年中考数学动态问题-图形最值问题探究(含答案).doc

专题09 动点类题目图形最值问题探究
题型一：矩形中的相似求解
例1.（2019·绍兴）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M、N分别在边AB、CD上，点E、F分别在边BC、AD上，MN、EF交于点P. 记k=MN:EF.
（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值.
（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值.
（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a：b的值.

题型二：二次函数中几何图形最值求解
例2.（2019·衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

题型三：二次函数中面积最值的求解
例3.（2019·自贡）如图，已知直线AB与抛物线相交于点A（-1,0）和点B（2,3）两点.
（1）求抛物线C函数表达式；
（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；
（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由.

题型四：反比例函数中面积最值的求解
例4.（2018·扬州一模）如图1，反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．
题型五：反比例函数中面积最值的求解
例5.（2019·达州）如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c过点A(1,0)，B(－3,0).
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）=4时，求点D的坐标；
（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m－n的最大值.

题型六：二次函数中最值及最短路径题型
例6.（2019·绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．

例7.（2019·潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．
（1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4时，求点P的坐标．

答案与解析
题型一：矩形中的相似求解
例1.（2019·绍兴）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M、N分别在边AB、CD上，点E、F分别在边BC、AD上，MN、EF交于点P. 记k=MN:EF.
（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值.
（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值.
（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a：b的值.

【分析】（1）当a：b=1时，可得四边形ABCD为正方形，由MN⊥EF，可证MN=EF，即k=1；（2）先确定MN和EF的取值范围，当MN取最大值，EF取最小值时，k的值最大，否则反之；（3）根据N是矩形顶点，分两种情况讨论，即N分别与D点和C点重合，依据不同图形求解.
【答案】见解析.
【解析解：（1）当a：b=1时，即AB=BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
过F作FG⊥BC于G，过M作MH⊥CD于H，如下图所示，

∵MN⊥EF，
∴∠NMH=∠EFG，
∵∠MHN=∠FGE=90°，MH=FG，
∴△MNH≌△FEG，
∴MN=EF，即k=1；
（2）由题意知：b=2a，
所以得：a≤EF≤，2a≤MN≤,
所以当MN取最大值，EF取最小值时，k取最大值，为；
当MN取最小值，EF取最大值时，k取最小值，为；
（3）如下图所示，

连接FN，ME，
设PE=x，则EF=MP=3x，PF=2x，MN=3EF=9x，PN=6x，
∴
又∵∠FPN=∠MPE，
∴△FPN∽△EPM，
∴∠PFN=∠PEM，
∴FN∥ME，
①当N点与D点重合时，由FN∥ME得，M点与B点重合，

过F作FH⊥BD于H，
∵∠MPE=60°，
∴∠PFH=30°，
∴PH=x，FH=，BH=BP+PH=4x，DH=5x，
在Rt△DFH中，tan∠FDH=，
即a:b=;
②当N点与C点重合时，过

过点E作EH⊥MN于H，连接EM，
则PH=x，EH=，CH=PC+PH=13x，
在Rt△ECH中，tan∠ECH=，
∵ME∥FC，
∴∠MEB=∠FCB=∠CFD，
∵∠B=∠D，
∴△MEB∽△CFD，
∴=2,
即a:b=;
综上所述，a:b的值为或.
题型二：二次函数中几何图形最值求解
例2.（2019·衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数解析式求解；（2）由△POE∽△CBP得出比例线段，可表示OE的长，利用二次函数的性质可求出线段OE的最大值；（3）过点M作MH∥y轴交BN于点H，由S△MNB＝S△BMH+S△MNH即可求解．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），
，
解得：，
抛物线函数关系表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由题意知：AB＝OA+OB＝4，
在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥BE，
∴∠OPE+∠CPB＝90°，
∠CPB+∠PCB＝90°，
∴∠OPE＝∠PCB，
又∵∠EOP＝∠PBC＝90°，
∴△POE∽△CBP，
∴，
设OP＝x，则PB＝3﹣x，
∴，
∴OE＝，
当时，即OP=时线段OE长有最大值，最大值为．
（3）存在．
如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，

∴N点坐标为（0，﹣3），
设直线BN的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴直线BN的解析式为y＝x﹣3，
设M（m，m2﹣2m﹣3），则H（m，m﹣3），
∴MH＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝，
∴a＝时，△MBN的面积有最大值，最大值是，此时M点的坐标为（）．
题型三：二次函数中面积最值的求解
例3.（2019·自贡）如图，已知直线AB与抛物线相交于点A（-1,0）和点B（2,3）两点.
（1）求抛物线C函数表达式；
（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；
（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）把A（-1,0），B（2,3）代入抛物线得：

解得
∴抛物线的函数表达式为：y=－x2+2x+3
（2）∵A（-1,0），B（2,3），
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
如下图所示，过M作MN∥y轴交AB于N，

设M(m,－m2+2m+3)，N(m,m+1)，（-1＜m＜2）
∴MN=－m2+m+2，
∴S△ABM=S△AMN+S△BMN=
∴S△ABM=，
∴当时，△ABM的面积有最大值，而S□MANB=2S△ABM=，此时
（3）存在，点
理由如下：抛物线顶点为D，则D（1,4），则顶点D到直线的距离为，
设、，设P到直线的距离为PG.
则PG=，
∵P为抛物线上任意一点都有PG=PF，
∴当P与顶点D重合时，也有PG=PF.
此时PG=，即顶点D到直线的距离为，
∴PF=DF=，
∴，
∵PG=PF，
∴PG2=PF2，
∵

∴
整理化简可得0x=0，
∴当时，无论取任何实数，均有PG=PF.
题型四：反比例函数中面积最值的求解
例4.（2018·扬州一模） 如图1，反比例函数y= （x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵将A（2，1）代入反比例函数y＝，
∴k＝2；
（2）由（1）知，反比例函数解析式为y＝，
∵点B（1，a）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝2，
∴点B（1，2）
过B作BE⊥AD于E，如下图所示，

则AE＝BE＝2﹣1．
∴∠ABE＝∠BAE＝45°
又∵∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝30°
∴DC＝tan30°·AD＝＝2，
∴OC＝1，即C（0，﹣1）
设直线AC的解析式为y＝kx+b
∴，
解得
∴直线AC的解析式为y＝x﹣1
（3）设M（m，），N（m，m﹣1）
则MN＝－（m﹣1）＝﹣m+1，
∴S△CMN＝（﹣m+1）m＝﹣m2+m+
＝﹣（m﹣）2+
当m＝时，△CMN的面积有最大值，最大值为.
题型五：反比例函数中面积最值的求解
例5.（2019·达州）如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c过点A(1,0)，B(－3,0).
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）=4时，求点D的坐标；
（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m－n的最大值.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，，
解得b＝﹣2，c＝3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝－（x+1）2+4，
∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；
（2）由（1）知：抛物线对称轴为x＝﹣1，
设抛物线对称轴与x轴交于点H，H（﹣1，0），
在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，
∴tan∠COH＝＝4，
∵∠COH＝∠CAO+∠ACO，
∴当∠ACO＝∠CDO时，
tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，
如下图所示，当点D在对称轴左侧时，

∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO，
∴△AOC∽△ACD，
∴，
∵AC＝，AO＝1，
∴AD＝20，OD＝19，
∴D（﹣19，0）；
当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝1的对称点D'的坐标为（17，0），
∴点D的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；
（3）设P（a，﹣a2﹣2a+3），设直线PA的解析式为：y=kx+b，
将P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b，
，
解得，k＝﹣a﹣3，b＝a+3，
∴y＝（﹣a﹣3）x+a+3，
当x＝0时，y＝a+3，
∴N（0，a+3），
如下图所示，

∵m=S△BPM＝S△BPA﹣S四边形BMNO﹣S△AON，n=S△EMN＝S△EBO﹣S四边形BMNO，
∴m－n＝S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON
＝×4×（﹣a2﹣2a+3）﹣×3×3﹣×1×（a+3）
＝﹣2（a+）2+，
∴当a＝﹣时，m－n有最大值.
题型六：二次函数中最值及最短路径题型
例6.（2019·绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）由平移知，平移后得到的抛物线解析式为y=a（x-1）2-2，
∵OA=1，
∴点A的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得，4a-2=0，
得：a=，
∴抛物线的解析式为，即．
令y=0，解得x1=-1，x2=3，
∴B（3，0），
∴AB=OA+OB=4，
∵△ABD的面积为5，
∴S△ABD=AB·yD=5
∴yD=，
，解得x1=-2，x2=4，
∴D（4，），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴，解得：，
∴直线AD的解析式为：y=x+.
（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如下图所示，
设E（a，a2－a－），M（a，a+），

∴ME=－a2+a+2，
∴S△ACE=S△AME－S△CME=－（a2－3a－4）=－（a－）2+，
∴当a=时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（，）．
（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交轴于点P，

∴AG=，EG=，
∴,
∵∠AGE=∠AHP=90°
∴sin∠EAG=，

∴PH=AP，
∵E、F关于x轴对称，
∴PE=PF，
∴PE+AP=FP+HP=FH，此时FH最小，
∵EF=，∠AEG=∠HEF，
∴sin∠AEG=sin∠HEF=
∴FH=3．
即PE+PA的最小值是3．
例7.（2019·潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．
（1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4时，求点P的坐标．

【答案】见解析．
【解答】解：（1）∵AC为△ABO的中线，点B（0，4），
∴点C（0，2），
∵点A（4，0），
点M为线段AC的中点，
即M（2，1）；
（2）∵⊙P与直线AD，则∠CAD＝90°，
设∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，
tan∠CAO＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，
AC＝，则CD＝＝10，
则D（0，﹣8），
设直线AD的解析式为：y＝mx+n：
得：，解得：k=2，b=－8，
直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；
（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，
将点B坐标代入上式并解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4，
过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2，

cos∠PEH＝
得：PE＝5，
设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），
则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，
解得x＝或2（舍），
则点P（，）．

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