中考数学黄金知识点系列专题25三角形.doc

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中考数学黄金知识点系列专题25三角形

______年______月______日

____________________部门

聚焦考点☆温习理解
一、三角形
1、三角形中的主要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
2、三角形的三边关系定理及推论
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
3、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边等边对等角；大角对大边；大边对大角。
二、全等三角形
1、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
2.全等三角形的性质：
三、等腰三角形
1、等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
2、等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

名师点睛☆典例分类
考点典例一、三角形中位线
【例2】（20xx广西来宾第9题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（　　）

A．5　　　　　　B．7　　　　　　C．8　　　　　　D．10
【答案】D．
【解析】
考点：三角形中位线定理．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
【举一反三】
（20xx辽宁葫芦岛第9题）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　）

A．4 B．8 C．2 D．4
【答案】D．
【解析】
试题分析：在RT△ABF中，∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，利用直角三角形斜边中线性质可得AB=2DF=8，再由AD=DB，AE=EC，可得DE∥BC，∠ADE=∠ABF=30°，所以AF=AB=4，由勾股定理可得BF=4．故选D．
考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
考点典例二、等腰三角形
【例2】已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（　　）
　 A． 7 B． 8 C． 6或8 D． 7或8
【答案】D．
【解析】
试题分析：因为等腰三角形的两边分别为2和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
试题解析：当2为底时，三角形的三边为3，2、3可以构成三角形，周长为8；
当3为底时，三角形的三边为3，2、2可以构成三角形，周长为7．
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
【举一反三】
（20xx湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（　　）
A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对
【答案】C.
【解析】
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
考点典例三、全等三角形
【例3】（20xx新疆生产建设兵团第4题）如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（　　）

A． ∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF
【答案】D.
【解析】
试题分析：由∠B=∠DEF，AB=DE，添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；故答案选D．
考点：全等三角形的判定.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．
【举一反三】
（20xx河北第21题）（本小题满分9分）
如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.

第21题图
【答案】(1)详见解析；（2）∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,理由见解析.
【解析】
AB∥DE,AC∥DF,理由如下，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,
∴AB∥DE,AC∥DF.
考点：全等三角形的判定及性质；平行线的判定.
考点典例四、相似三角形
【例4】（20xx新疆生产建设兵团第7题）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（　　）

A．DE=BC B． C．△ADE∽△ABC D．S△ADE：S△ABC=1：2
【答案】D.
【解析】
考点：相似三角形的判定及性质.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．
【举一反三】
（20xx内蒙古巴彦淖尔第7题）如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（　　）

A．30　　　　　　B．27　　　　　　C．14　　　　　　D．32
【答案】A．
【解析】
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
考点典例五、位似三角形
【例5】（20xx湖北十堰第5题）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
【答案】D.
【解析】
试题分析：由OB=3OB′，可得OB′：OB=1:3，已知以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，即可得△A′B′C′∽△ABC，，所以,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得△A′B′C′与△ABC的面积比为1:9，故答案选D.
考点：位似变换．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．
【举一反三】
 如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是
【答案】12．
【解析】
∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，
∴△ABC∽△A1B1C1，
∵位似比是1：2，
∴相似比是1：2，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4，
∵△ABC的面积为3，
∴△A1B1C1的面积是：3×4=12．

考点典例六：直角三角形
【例6】（20xx辽宁沈阳第9题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（　　）

A． B．4 C．8 D．4
【答案】D.
【解析】
考点：解直角三角形.
【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边．
【举一反三】
（20xx浙江宁波第16题）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）

【答案】10+1.
【解析】
考点：解直角三角形的应用.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. （20xx河南第6题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10. DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为【 】
（A）6 （B）5 （C）4 （D）3

【答案】D.
【解析】
考点：勾股定理；三角形的中位线定理.
2. （20xx河北第15题）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）

第15题图

【答案】C.
【解析】
试题分析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。选项Ｃ项不能判定两个三角形相似，故答案选C.
考点：相似三角形的判定.
3. （20xx山东滨州第6题）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（　　）

A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
【答案】D.
【解析】
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
4. （20xx山东枣庄第4题）如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°

【答案】A.
【解析】
试题分析：在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=75°，所以∠ACE=180°-∠ACB=180°-75°=105°，根据角平分线的性质可得∠DBC=37.5°，∠ACD=52.5°，即可得∠BCD=127.5°，根据三角形的内角和定理可得∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-37.5°-127.5°=15°，故答案选A.
考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理.
5. （20xx湖南怀化第10题）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】C．
【解析】
试题分析：已知sinA==，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．
考点：解直角三角形．
6. （20xx湖南永州第9题）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）

A． ∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
【答案】D．
【解析】
考点：全等三角形的判定.
二、填空题
7. （20xx山东枣庄第14题）如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为　 　米
（结果精确到0.1米，参考数据： =1.41，=1.73）．

【答案】2.9.
【解析】
试题分析：在Rt△AMD中，∠MAD=45°，AM=4米，可得MD=4米；在Rt△BMC中，BM=AM+AB=12米，∠MBC=30°，可求得MC=4米，所以警示牌的高CD=4-4=2.9米.
考点：解直角三角形.
8. （20xx山东济宁第12题）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：　　　　　　，使△AEH≌△CEB．

【答案】AH=CB或EH=EB或AE=CE．(添加其中任意一个即可)
【解析】
试题分析：根据AAS添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．
考点：全等三角形的判定.
9. （20xx湖南娄底第14题）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是　　　　　　．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）

【答案】∠B=∠DEF（答案不唯一，符合要求即可）
【解析】
考点：相似三角形的判定．
10.（20xx福建泉州第11题）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=　　　　　　．

【答案】4．

考点：三角形中位线定理．
11.（20xx福建泉州第14题）如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE=　　　　　　．

【答案】5．
【解析】
试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=AB=5.
考点：直角三角形斜边上的中线．
三．解答题
12. （20xx山东淄博第22题）（8分）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证BE=（AB+AC）．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的性质及平行线的性质易∠AEF=∠AFE，即可得AE=AF；（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G，已知AC=AG，根据三角形中位线定理的推论证明BE=EG，再利用三角形的中位线定理即可证得结论．

考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
13. （20xx湖南怀化第17题）如图，已知AD=BC，AC=BD．
（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．

【答案】(1)详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.
解析】
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
14. （20xx湖南怀化第21题）如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．

【答案】（1）详见解析；（2）正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．
【解析】
试题分析：（1）根据EH∥BC即可证明△AEH∽△ABC；（2）如图设AD与EH交于点M，易证四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，由（1）知△AEH∽△ABC，根据相似三角形的性质可得得，代入数据列出方程即可解决问题．

考点：相似三角形的判定与性质．
15. (20xx湖北襄阳第19题)(本小题满分6分)
如图，在△ABC中．AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
(1)求证：AB=AC；
(2)若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．

【答案】（1）详见解析；（2）4.
【解析】
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质；直角三角形的性质.
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