2019年宁波中考数学试卷(解析版).doc

2019年宁波中考数学试卷（解析版）

学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________

一、单选题（共12小题）

1.﹣2的绝对值为（　　）
A．﹣ B．2 C． D．﹣2

2.下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2＝a5 B．a3•a2＝a6 C．（a2）3＝a5 D．a6÷a2＝a4

3.宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资为1526000000元人民币．数1526000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.526×108 B．15.26×108 C．1.526×109 D．1.526×1010

4.若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠﹣2

5.如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（　　）

A． B． C． D．

6.不等式＞x的解为（　　）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1

7.能说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例为（　　）
A．m＝﹣1 B．m＝0 C．m＝4 D．m＝5

8.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如表所示：

甲
乙
丙
丁

24
24
23
20
S2
2.1
1.9
2
1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

9.已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°

10.如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（　　）

A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm

11.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（　　）
A．31元 B．30元 C．25元 D．19元

12.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）

A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和

二、填空题（共6小题）

13.请写出一个小于4的无理数：　　　　　　．

14.分解因式：x2+xy=　　　　　　．

15.袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个白球．从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为　　　　　　．

16.如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为　　　米．（精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）

17.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为　　　　　　　　　．

18.如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE．若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为　　．

三、解答题（共8小题）

19.先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1），其中x＝3．

20.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

21.今年5月15日，亚洲文明对话大会在北京开幕．为了增进学生对亚洲文化的了解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动．为了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取100名学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为整数），并根据这100人的测试成绩，制作了如下统计图表．
100名学生知识测试成绩的频数表

成绩a（分）
频数（人）
50≤a＜60
10
60≤a＜70
15
70≤a＜80
m
80≤a＜90
40
90≤a≤100
15
由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）m＝　　　，并补全频数直方图；
（2）小明在这次测试中成绩为85分，你认为85分一定是这100名学生知识测试成绩的中位数吗？请简要说明理由；
（3）如果80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数．

22.如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．

23.如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．

24.某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．
（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．
（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）

25.定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．

26.如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DEBF⊥EC交AE于点F．
（1）求证：BD＝BE．
（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．
（3）设＝x，tan∠DAE＝y．
①求y关于x的函数表达式；
②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．

2019年宁波中考数学试卷（解析版）
参考答案

一、单选题（共12小题）

1.【分析】 根据绝对值的意义求出即可．
【解答】 解：﹣2的绝对值为2，
故选：B．
【知识点】绝对值

2.【分析】 分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．
【解答】 解：A、a3与a2不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B、a3•a2＝a5故选项B不合题意；
C、（a2）3＝a6，故选项C不合题意；
D、a6÷a2＝a4，故选项D符合题意．
故选：D．
【知识点】同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方

3.【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】 解：数字1526000000科学记数法可表示为1.526×109元．
故选：C．
【知识点】科学记数法—表示较大的数

4.【分析】 分式有意义时，分母x﹣2≠0，由此求得x的取值范围．
【解答】 解：依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：B．
【知识点】分式有意义的条件

5.【分析】 根据主视图是从正面看到的图形，进而得出答案．
【解答】 解：物体的主视图画法正确的是：．
故选：C．
【知识点】简单组合体的三视图

6.【分析】 去分母、移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】 解：＞x，
3﹣x＞2x，
3＞3x，
x＜1，
故选：A．
知识点】解一元一次不等式

7.【分析】 利用m＝5使方程x2﹣4x+m＝0没有实数解，从而可把m＝5作为说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例．
【解答】 解：当m＝5时，方程变形为x2﹣4x+m＝5＝0，
因为△＝（﹣4）2﹣4×5＜0，
所以方程没有实数解，
所以m＝5可作为说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例．
故选：D．
【知识点】命题与定理

8.【分析】 先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定．
【解答】 解：因为甲组、乙组的平均数丙组、丁组大，

而乙组的方差比甲组的小，
所以乙组的产量比较稳定，
所以乙组的产量既高又稳定，
故选：B．
【知识点】算术平均数、方差

9.【分析】 先求出∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知∠2＝∠AED＝70°．
【解答】 解：设AB与直线n交于点E，
则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．
又直线m∥n，
∴∠2＝∠AED＝70°．

故选：C．
【知识点】平行线的性质、等腰直角三角形

10.【分析】 设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【解答 解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，
根据题意，得＝π（6﹣x），
解得x＝4．
故选：B．
【知识点】圆锥的计算、矩形的性质

11.【分析】 设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价＝单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y＝x+7，再将其代入5x+3y+10﹣8x中即可求出结论．
【解答】 解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，
依题意，得：5x+3y+10＝3x+5y﹣4，
∴y＝x+7，
∴5x+3y+10﹣8x＝5x+3（x+7）+10﹣8x＝31．
故选：A．
【知识点】二元一次方程的应用

12.【分析】 根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
【解答】 解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，c2＝a2+b2，
阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），
较小两个正方形重叠部分的长＝a﹣（c﹣b），宽＝a，
则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，
故选：C．
【知识点】勾股定理

二、填空题（共6小题）

13.【分析】 由于15＜16则＜4．
【解答】 解：∵15＜16，
∴＜4，
即为小于4的无理数．
故答案为．
【知识点】估算无理数的大小

14.【分析】 直接提取公因式x即可．
【解答】 解：x2+xy=x（x+y）．
【知识点】因式分解-提公因式法

15.【分析】 直接利用概率公式求解．
【解答】 解：从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率＝．
故答案为．
【知识点】概率公式

16.【分析】 通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．
【解答】 解：如图，设线段AB交y轴于C，
在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．
∵OA＝400米，
∴OC＝OA•cos45°＝400×＝200（米）．
∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，
∴OB＝＝＝400≈567（米）
故答案是：567．

【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题

17.【分析】 根据勾股定理得到AB＝＝6，AD＝＝13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为：6.5或3．

【知识点】切线的判定与性质

18.【分析】 连接O，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，
可得AD∥OE，进而可得S△ACE＝S△AOC；设点A（m，），由已知条件AC＝3DC，DH∥AF，可得3DH＝AF，则点D（3m，），证明△DHC∽△AGD，得到S△HDC＝S△ADG，所以S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝k++＝12；即可求解；
【解答】 解：连接O，CE过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO，
∴AD∥OE，
∴S△ACE＝S△AOC，
∵AC＝3DC，△ADE的面积为8，
∴S△ACE＝S△AOC＝12，
设点A（m，），
∵AC＝3DC，DH∥AF，
∴3DH＝AF，
∴D（3m，），
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴△DHC∽△AGD，
∴S△HDC＝S△ADG，
∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝k+（DH+AF）×FH+S△HDC＝k+×2m+＝k++＝12，
∴2k＝12，
∴k＝6；
故答案为6；

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

三、解答题（共8小题）

19.【分析】 根据平方差公式、单项式乘多项式的法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】 解：（x﹣2）（x+2）﹣x（x﹣1）
＝x2﹣4﹣x2+x
＝x﹣4，
当x＝3时，原式＝x﹣4＝﹣1．
【知识点】整式的混合运算—化简求值

20.【分析】 （1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；
（2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
【解答】 解：（1）如图1所示：6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；

（2）如图2所示：6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．

【知识点】利用轴对称设计图案、利用旋转设计图案、等边三角形的判定与性质

21.【分析】 （1）由总人数为100可得m的值，从而补全图形；
（2）根据中位数的定义判断即可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】 解：（1）m＝100﹣（10+15+40+15）＝20，
补全图形如下：

故答案为：20；

（2）不一定是，
理由：将100名学生知识测试成绩从小到大排列，第50、51名的成绩都在分数段80≤a≤90中，
当他们的平均数不一定是85分；

（3）估计全校1200名学生中成绩优秀的人数为1200×＝660（人）．
【知识点】频数（率）分布表、用样本估计总体、频数（率）分布直方图、中位数

22.【分析】 （1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，即可求出a；
（2）①把m＝2代入解析式即可求n的值；
②由点Q到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可；
【解答】 解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，
∴a＝2，
∴y＝x2+2x+3，
∴顶点坐标为（﹣1，2
（2）①当m＝2时，n＝11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴﹣2＜m＜2，
∴2≤n＜11；
【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征

23.【分析】 （1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB＝EG，于是得到结论．
【解答】 解：（1）∵四边形EFGH是矩形
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB＝EG，
∵EG＝FH＝2，
∴AB＝2，
∴菱形ABCD的周长＝8．

【知识点】全等三角形的判定与性质矩形的性质、菱形的性质

24.【分析】 （1）设y＝kx+b，运用待定系数法求解即可；
（2）把y＝1500代入（1）的结论即可；
（3）设小聪坐上了第n班车，30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．
【解答】 解：（1）由题意得，可设函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），
把（20，0），（38，2700）代入y＝kx+b，得，解得，
∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y＝150x﹣3000（20≤x≤38）；

（2）把y＝1500代入y＝150x﹣3000解得x＝30，
30﹣20＝10（分），
∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；

（3）设小聪坐上了第n班车，则
30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，
∴小聪坐上了第5班车，
等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150＝8（分），
步行所需时间：1200÷（1500÷25）＝20（分），
20﹣（8+5）＝7（分），
∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟．
【知识点】一次函数的应用

25.【分析】 （1）AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，又AD⊥BC，则∠ADB＝90°，则∠FBA与∠EBA互余，即可求解；

（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；
（3）证明△DBQ∽△ECN，即可求解．
【解答】 解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∠FAB与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图所示（答案不唯一），

四边形AFEB为所求；

（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，
∵DE＝2BE，
∴BD＝CD＝3BE，
∴CE＝CD+DE＝5BE，
∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，
∴DM＝ME，
∴∠MDE＝∠MED，

∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△DBQ∽△ECN，
∴，
∵QB＝3，
∴NC＝5，
∵AN＝CN，
∴AC＝2CN＝10，
∴AB＝AC＝10．
【知识点】四边形综合题

26.【分析】 （1）根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，根据等边三角形的性质和勾股定理解得即可；
（3）①过点E作EH⊥AD于点H，根据三角函数和函数解析式解得即可；
②过点O作OM⊥BC于点M，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，
∴∠DEB＝∠D，
∴BD＝BE；
（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，
∵△ABC是等边三角形，AC＝6，
∴BG＝，
∴在Rt△ABG中，AG＝BG＝3，
∵BF⊥EC，
∴BF∥AG，
∴，
∵AF：EF＝3：2，
∴BE＝BG＝2，
∴EG＝BE+BG＝3+2＝5，
在Rt△AEG中，AE＝；
（3）①如图1，过点E作EH⊥AD于点H，

∵∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴在Rt△BEH中，，
∴EH＝，BH＝，
∵，
∴BG＝xBE，
∴AB＝BC＝2BG＝2xBE，
∴AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝（2x+）BE，
∴在Rt△AHE中，tan∠EAD＝，
∴y＝；
②如图2，过点O作OM⊥BC于点M，

设BE＝a，
∵，
∴CG＝BG＝xBE＝ax，
∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax，
∴EM＝EC＝a+ax，
∴BM＝EM﹣BE＝ax﹣a，
∵BF∥AG，
∴△EBF∽△EGA，
∴，
∵AG＝，
∴BF＝，
∴△OFB的面积＝，
∴△AEC的面积＝，
∵△AEC的面积是△OFB的面积的10倍，
∴，
∴2x2﹣7x+6＝0，
解得：，
∴，
【知识点】圆的综合题