高考数学导数讲义全.doc

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导数的定义、运算和运用（一）
考向一：定义（平均变化率瞬时变化率，适当补充极限定义）
【例】函数在闭区间内的平均变化率为
A. B. C. D.

【解析】∵f（1+△x）=2（1+△x）2+1=2（△x）2+4△x+3，f（1）=2，∴该函数在区间[1，1+△x]上的平均变化率为
【例】若，则（ ）
A． B． C． D．

【解析】
。故选D。
【练1】若，则等于（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．
【练2】若，则（ ）
A． B． C． D．

【解析1】根据导数的定义知
===-1
【解析2】
考向二：导数几何意义（在/过某点切线）
【例】曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．

【解析】∵，∴，由点斜式知切线方程为：，即.
【例】过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A． 或 B．
C．或 D．

【解析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，又因为切线过点，所以即，注意到是在曲线上的，故方程必有一根，代入符合要求，进一步整理可得即，也就是即，所以或，当时，，切线方程为即；当时，，切线方程为即
【例】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)

【练1】已知直线l过点，且与曲线相切，则直线的方程为 .
【练2】曲线的一条切线平行于直线，则除切点外切线与曲线的另一交点坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【练3】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．

【解析1】将求导得，设切点为，的方程为，因为直线l过点，所以.又，所以.所以切线方程为.
【解析2】设切点，则，于是，因为切线平行于直线，所以，即.则，切线方程为：或分别与曲线方程联立可解得另一交点坐标为或
【解析3】对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
考向三：常用函数导数与导数的四则运算
【例】函数的导数是 （ ）
A. B. C. D .

【解析】
所以
【例】若，则等于 （ ）
A. －2 B. －4 C. 2 D. 0

【解析】∵，∴，∴，∴ ，∴
【练1】已知函数，则 ( )
A．-1 B．-3 C.2 D．-2
【练2】已知函数则（ ）
A. B. C. D.

【练3】设曲线在点处的切线与直线垂直，则等于 （ ）
A. B. C. D.
【练4】等比数列中， ，函数，则
A. B. C. D.

【解析1】根据题意，由于函数

【解析2】注意到是常数,所以,令得
【解析3】由曲线在点处的切线的斜率为; 又直线的斜率为 ,由它们垂直得
【解析4】因为,
所以.
考向四：导数运用：
函数图像
【例】函数的图象如图所示，则导函数的图象可能是 ( )
x
y
O
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D
f(x)

【解析】先根据导函数f'（x）的图象得到f'（x）的取值范围，从而得到原函数的斜率的取值范围，从而得到正确选项．由于原函数都是递减区间可知导数都小于零，故排除A,B,C,只能选D.
【例】已知函数的定义域为，部分对应值如下表，

的导函数的图象如右图所示.当时，函数的零点的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】根据导函数图象，知是函数的1极小值点，函数的大致图象如图所示，由于，，所以的零点个数为4个

【练1】定义在R上的函数满足,为的导函数，已知的图象如右图所示，若两个正数满足,则的取值范围是（ ）

A． （-∞, -3） B．（-∞, ）∪（3,+∞） C． D．

【练2】在同意直角坐标系中，函数的图像不可能的是（ ）

【练3】已知函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是 ．

【解析1】由导数图像可知，函数减，函数增，，即，即,等价于，如图：

表示可行域内的点到连线的斜率的取值范围,所以取值范围为
【解析2】当时，两函数图像为D所示，当时，由得：或，的对称轴为.当时，由知B不对. 当时，由知A,C正确.
【解析3】=ax2+ax-2a=a(x2+x-2)=a(x+2)(x1)，显然a≠0，①：若a<0,则f(x)在()，(1,+)上单调递减，在(-2,1)上单调递增，因此若要使f(x)图像过四个象限，需；②：若a>0,则f(x)在()，(1,+)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，因此若要使f(x)图像过四个象限，需，综上，a的取值范围是()．
单调性极值最值零点
【例】函数的单调递减区间为（ ）
A． B. C. D.

【解析】根据题意，对于函数，由于（x>0），可知，当y’<0时，则可知0

【解析】因为，所以＝＝
由题设，所以，
【例】若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．－1,1] B. C. D.

【解析】法一(特殊值法)：不妨取a＝－1，则f(x)＝x－sin 2x－sin x，
f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－<0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增，排除A，B，D.故选C.
方法二(综合法)：∵函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，
∴f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝1－(2cos2x－1)＋acos x
＝－cos2x＋acos x＋≥0，即acos x≥cos2x－在(－∞，＋∞)恒成立．
当cos x＝0时，恒有0≥－，得a∈R；
当0∞，－2) D．(－∞，－1)

【练1】已知在为单调增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【练2】若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围 ．
【练3】关于x的方程有三个不同的实数解，则a的取值范围是__________.
【练4】已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈0,1]，存在x2∈1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________．
【练5】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)
A．∃x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
【练6】如果函数在区间单调递减，则的最大值为
A.16 B.18 C.25 D.

【解析1】依题意有在恒成立，即恒成立，即，当时，，故的取值范围是
【解析2】,所以函数的极值点为，又函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，所以，解之得.
【解析3】设，则，令，得或，令，得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在取得极大值，在取得极小值，画出如下大致的示意图，可得，若要保证方程有三个不同的实数解，则的取值范围是

【解析4】由于f′(x)＝1＋>0，因此函数f(x)在0,1]上单调递增，
所以x∈0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.
根据题意可知存在x∈1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，
即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，令h(x)＝＋，则要使a≥h(x)在x∈1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)＝＋在x∈1,2]上单调递减，所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.
【解析5】：基本法：由三次函数的值域为R知，f(x)＝0必有解，A项正确；因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象可由y＝x3平移得到，所以y＝f(x)的图象是中心对称图形，B项正确；若y＝f(x)有极值点，则其导数y＝f′(x)必有2个零点，设为x1，x2(x1＜x2)，则有f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3(x－x1)(x－x2)，所以f(x)在(－∞，x1)上递增，在(x1，x2)上递减，在(x2，＋∞)上递增，则x2为极小值点，所以C项错误，D项正确．选C.

【错误解析6】由单调递减得：，故在上恒成立。而是一次函数，在上的图像是一条线段。故只须在两个端点处即可。即
，
由得：。所以，. 选C。
【错误原因】当且仅当时取到最大值，而当，不满足条件。
【正确解析6】同前面一样满足条件。由条件得：。于是，。当且仅当时取到最大值。经验证，满足条件。故选。
简单函数构造
【例】函数的定义域为R，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．

【解析】设，所以为减函数，又所以根据单调性的解集是
【例】已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，不等式成立， 若， ，，则的大小关系（ ）
A． B． C． D．

【解析】设时函数递减，函数是定义在R上的奇函数，所以是偶函数时递增，，结合图像可知
【例】已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若，则 ）
A． B．
C． D．

【解析】由题意得，因为函数对定义域内的任意都有=，所以函数关于对称，又当时其导函数满足，所以当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，因为，所以，所以，又在上单调递增，所以

【例】设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．

【解析】设 因为对任意 ，
所以，=
所以，函数为奇函数；又因为，在上，
所以，当时 ， 即函数在上为减函数，
因为函数为奇函数且在上存在导数，所以函数在上为减函数，所以，
所以，
所以，实数的取值范围为故选B.
【练1】若的定义域为，恒成立，，则解集为（ ）
A． B． C． D．

【练2】设是定义在R上的奇函数，且,当x>0时，有恒成立，则不等式的解集是 （ ）
A.(2,0) ∪(2,+∞) B.(2,0) ∪(0,2) C.(∞,2)∪(2,+∞) D.(∞,2)∪(0,2)
【练3】已知实数满足其中是自然对数的底数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【练4】设奇函数定义在上，其导函数为，且，， ,则关于的不等式的解集为 ．

【解析1】设，则，因为恒成立，所以，即函数在R上单调递增．因为，所以．所以有，即．所以，即不等式的解集是，故选B．

【解析2】不等式的解集就是的解集，由恒成立得，,函数为单调递减函数，，当时，,,时，,根据奇函数，知，当时，时，，故选D．
【解析3】实数满足，，
因此点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线到直线上点的距离最小值的平方，求曲线平行于直线的切线，
，令，得，因此切点，切点到直线的距离，就是两曲线的最小距离，的最小值
【解析4】令.因为在上为奇函数,所以可得.即在上函数为偶函数.,
当时,所以当时, .即在上函数单调递增.
因为偶函数图像关于轴对称,所以在上函数单调递减.
将变形可得,即.根据的单调性及奇偶性可得且.即所求解集为.

考向五：导数实际应用题
【例】用边长为的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？

【解析】设水箱底边长为，则水箱高为．
水箱容积．
．
令，得（舍）或．
当在内变化时，导数的正负如下表：

＋

－
因此在处，函数取得极大值，并且这个极大值就是函数的最大值．
将代入得最大容积．
【练1】一火车每小时煤消耗的费用与火车行驶的速度之立方成正比，已知当速度为每小时千米时，每小时消耗煤之价格为元，其他费用每小时要元，问火车行驶的速度如何时，才能使火车从甲城开往乙城的费用最少。（已知火车的最高速度为每小时千米）

【练2】某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持米的距离，其中a为常数且，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(秒) （1）将y表示为x的函数；（2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．

【解析1】设甲、乙之间的距离为千米，每小时消耗的煤的费用与火车行驶的速度之间的比例系数为，火车行驶速度为千米/小时，总费用为元。则。由题意得：，∴，∴，令得，经检验，当时函数取极小值。又，当时函数取最小值，∴车行的速度为千米/小时，火车从甲城到乙城的费用最省。
【解析2】（1）y =
=．
（2）当时，y≥
当且仅当，即x =时取等号
即当x =时，
当时，，故y = f (x)在(0，20]上是减函数，
故当x = 20时，=153 + 180a

含参导数讨论单调区间
【例】已知（），讨论的单调区间

【解析】

，在上单增，在上单减
，在和上单增，在上单减
，在上单增
，在和上单增，在单减
【例】设，讨论函数的单调区间
【解析】

【例】(1)讨论函数的单调性，并证明当时，；
(2)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．

【解析】⑴证明：
∵当时，
∴在上单调递增
∴时， ∴
⑵
由(1)知，当时，的值域为，只有一解．
使得，
当时，单调减；当时，单调增

记，在时，，∴单调递增∴．
【练1】已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，
其中min{p，q}=
（1）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；
（2）（i）求F（x）的最小值m（a）；
（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.
【练2】已知函数，．讨论的单调性

【练3】设，集合，，
（1）求集合（用区间表示）
（2）求函数在D内的极值点

【练4】设函数，其中，
记的最大值为．
（1）求；（2）求；（3）证明．

【解析1】

（2）（i）设函数，，则
，，
所以，由的定义知，即
．
（ii）当时，
，
当时，
．
所以，．
【解析2】=
当时，的增区间为，减区间为
当时，在单减
当时，的增区间为，减区间为,
综上，时，的增区间为，减区间为；
时，在单减；
时，的增区间为，减区间为；

【解析3】

【解析4】（1）．
（2）当时，
因此，．
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．
令，解得（舍去），．

恒成立问题
直接讨论
【例】已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R)．
(1)若f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)；
(2)设b∈R，若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1，1]恒成立，求3a＋b的取值范围．

【解析】(1)因为f(x)＝所以f′(x)＝
由于－1≤x≤1，
(i)当a≤－1时，有x≥a，故f(x)＝x3＋3x－3a，
此时f(x)在(－1，1)上是增函数，
因此，M(a)＝f(1)＝4－3a，m(a)＝f(－1)＝－4－3a，故M(a)－m(a)＝(4－3a)－(－4－3a)＝8.
(ii)当－1减函数．所以，M(a)＝max{f(1)，f(－1)}，m(a)＝f(a)＝a3.由于f(1)－f(－1)＝－6a＋2，因此，当－11]恒成立，
即－2≤h(x)≤2对x∈[－1，1]恒成立，
所以由(1)知，(i)当a≤－1时，h(x)在(－1，1)上是增函数，h(x)在[－1，1]上的最大值是h(1)＝4－3a＋b，最小值是h(－1)＝－4－3a＋b，则－4－3a＋b≥－2且4－3a＋b≤2，矛盾．
(ii)当－10，t(a)在上是增函数，故t(a)>t(0)＝－2，因此－2≤3a＋b≤0.
(iii)当递减.

参变分离
【例】已知函数，若对成立，求实数的取值范围

【解析】，
，
则，故
上单增，因此
【练1】已知函数.
（1）若函数满足,且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；

【解析1】（1）
由题，令，
可得在上递减，在上递增，所以，即
（2）
，，
时，函数在单调递增．
，
，
， ，
，必有极值，在定义域上不单调.
【练2】设函数
若对任意恒成立，求实数的最小值；

【解析2】由题：，在时恒成立，
即在区间上恒成立，
又， 在区间上恒成立．
设，，
又令，则
当时，单调递减，
，即在区间恒成立，
所以在区间单调递增，，故．
【例】

不能参变分离
【例】已知函数其中为常数，函数和的图象在它们与坐标轴交点的切线互相平行．
（1）求的值；（2）求函数的单调区间；
（3）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）与坐标轴交点为，， 与坐标轴交点为， 解得，又，故
（2）由（1）知，

令，显然函数在区间上单调递减，且
当时，，，在上单调递增
当时，，，在上单调递减
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）原不等式等价于：在区间上恒成立．
设则
令
①时，在区间上单调递增，
在上单调递增，
不符合题意，舍去．
②当时，若
则在上单调递增，
在上单调递增，
不符合题意，舍去．
③当时，在恒成立，
在上单调递减在上单调递减即对恒成立，
综上所述，实数的取值范围是．

两者均可
【例】己知函数，若关于x的不等式 恒成立，求整数 a的最小值:

【解析】方法一：令，
所以．当时，因为，所以．所以在上是递增函数，
又因为，
所以关于的不等式不能恒成立．
当时，，令，得．
所以当时，；当时，，
因此函数在是增函数，在是减函数．
故函数的最大值为．
令，因为，，又因为在是减函数．所以当时，．所以整数的最小值为2．
方法二：由恒成立，得在上恒成立，
问题等价于在上恒成立．令，
只要．因为，令，得．设，因为，所以在上单调递减，
不妨设的根为．
当时，；当时，，
所以在上是增函数；在上是减函数．
所以． 因为
，所以，此时，即．所以，即整数的最小值为2．
任意存在问题：常见类型
（1），，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即.
（2）对，，使得，等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即.
（3）已知是在闭区间的上连续函，则对使得，等价于
（4）若对，，使，等价于在上的最小值不小于在上的最小值即（这里假设存在）
【例】已知函数（），（）．当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．

【解析】由题时，．
∵时，
在为增函数，∴，
．
①当时，在区间上递增所以，由解得，舍去；
②当时，，解得或，∴；
③当时，在区间上递减，所以，由解得，∴.综上，
【例】已知函数，，当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.

【解析】依题意在上的最小值不小于在上的最小值即，于是问题转化为最值问题.
当时，，所以，则当时，;
当时，，所以当时，.
，
①当时，可求得，由得
这与矛盾.
②当时，可求得，由得这与矛盾.
③当时，可求得，由得.
综合①②③得实数的取值范围是.
【练1】已知函数
和函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围

【解析1】设函数与在上的值域分别为与，依题意.
当时，，则，所以在上单调递增，所以即.
当时，，所以单调递，所以即.综上所述在上的值域.
当时，，又，所以在在上单调递增，所以即，故在上的值域.因为，所以或解得

【练2】已知，它们的定义域都是，其中是自然对数的底数，.当，且，函数，若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围.

【解析2】 依题实数的取值范围就是使得在区间上的值域是的值域的子集实数的取值范围.
当时， 由得，故在上单调递减，所以即，于是.因，由得.
①当时，，故在上单调递增，所以即，于是.因为，则当且仅当，即.
②当时，同上可求得.
综上，实数的取值范围是.
【练3】已知，其中，若对任意的都有成立，求实数的取值范围.

【解析3】 对，有，等价于有.
当时， ，所以在上单调递增，所以.
因为， 令得，又且，.
①当时，，所以在在上单调递增，所以.令得这与矛盾。
②当时，当时，当时，所以在上单调递减在上单调递增，所以.令得，又，所以。
③当时，，所以在上单调递减，所以.令得，又，所以。
综合①②③得所求实数的取值范围是

零点问题
参变分离
【例】已知函数在上有两个零点，求实数的取值范围。

【解析】由题，令，由，故在，故
【练】设函数．讨论函数零点的个数；

【解析】函数
令，得
设
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，
的最大值为
又，结合y=的图像（如图），可知

①当时，函数无零点；②当时，函数有且仅有一个零点；
③时，函数有两个零点；④时，函数有且只有一个零点；
综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点
零点存在定理
【例】已知函数，当时，若函数存在三个零点，且，求证：

【解析】

【练】已知函数．当时，讨论函数零点的个数．

【解析】．令，得．

所以=．
（ⅰ）当时，，所以在定义域内无零点；
（ⅱ）当时，，所以在定义域内有唯一的零点；
（ⅲ）当时，，
①因为，所以在增区间内有唯一零点；
②，
设，则，
因为，所以，即在上单调递增，
所以，即，所以在减区间内有唯一的零点．
所以时在定义域内有两个零点．
综上所述：当时，在定义域内无零点；
当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点．
【例】已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点,求的取值范围.

【解析】
③若,则,故当时,,当时,,所以在单调递增,在单调递减.
(II)(i)设,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.
又,取b满足b<0且,
则,所以有两个零点.
(ii)设a=0,则所以有一个零点.
(iii)设a<0,若,则由(I)知,在单调递增.
又当时,<0,故不存在两个零点；若,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.又当时<0,故不存在两个零点.综上,a的取值范围为.

特殊类
【例】已知函数.
（1） 设a=2,b=.①求方程=2的根;
②若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；
2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.

【解析】（1）因为，所以.
①方程，即，亦即，
所以，于是，解得.
②由条件知.
因为对于恒成立，且，
所以对于恒成立.
而，且，
所以，故实数的最大值为4.

（2）因为函数只有1个零点，而，
所以0是函数的唯一零点.
因为，又由知，
所以有唯一解.
令，则，
从而对任意，，所以是上的单调增函数，
于是当，；当时，.
因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.
下证.若，则，于是，
又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.
因此，.于是，故，所以.
【练】已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，若f(1)＝0，函数f(x)在区间
(0，1)内有零点，求证：e－2知，当a≤时，在[0，1]上单调递增，故在(0，1)内至多有一个零点；
当a≥时，在[0，1]上单调递减，故在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以0，且时，．

【解析】（1）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，
（2）由（1）知，所以
考虑函数，则
所以当时，故
当时，当时，
从而当
【例】已知函数
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（3）如果，且，证明

（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即于是
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
（Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内为增函数，所以>,即>2.
【练】已知.
（1）当时，求函数在区间上的最值；
（2）证明：对一切，都有成立.

【解析】（1）当时，，由得.
当时，在上，在上. 因此在处取得极小值，也是最小值. 故. 由于，，因此.
当时，，因此在上单调递增，故，.
（2）问题等价于证明，. 由（1）知时，的最小值是，当且仅当时取等号. 设，则，易知，当且仅当时取到. 从而可知对一切，都有.
用已知函数
【例】

【解析】

【例】已知函数，.
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，求在上的最小值，并证明.

【解析】（1）的定义域为.

当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，
无单调递减区间.
当时，由得，由得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是，
由（1）知，当时，在上单调递增，所以在上的
最小值为. 所以（）
所以，即（）.
所以

整体代换
【例】已知函数，设函数的图象C1与函数的图象C2交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则
即
则
，
设 ①
令则
∵ ∴
所以上单调递增，故 ， 则
这与①矛盾，假设不成立,故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
【例】设函数设是函数图象上任意不同两点，线段AB中点为C，直线AB的斜率为k.证明：.

【解析】又
所以 ，即证
不妨设，即证：，
即证：，设，即证：，
也就是要证：，其中
事实上：设，
则
所以在单调递增，因此，即结论成立．
【练】己知函数若 ，正实数 满足 ，证明:

【解析】当时，
由，即
从而
令，则由得，
可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以，所以，
因此成立．
【练】已知函数，．
如果是函数的两个零点，且，是的导函数，证明：．

【解析】由题意知，
两式相减，整理得所以
又因为，所以

令则，
所以在上单调递减，故，
又，所以．
【练】已知函数（）.
（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；
（2）若函数有两个零点，，判断的符号，并证明.
【解析】分析：（2）不妨设， ，，化简的表达式为的函数式，利用导数求得这个表达式的取值范围，由此判断的正负.
（2）函数的定义域是.若，则.
令，则.又据题设分析知，∴，.
又有两个零点，且都大于0，∴，不成立.
据题设知
不妨设，，.所以.
所以.又,
所以
引入（）,则.
所以在上单调递减. 而,所以当时,.
易知,,所以当时,;当时,.
放缩
【例】已知函数．
（1）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（2）当时，证明：．

【解析】（1）假设存在实数，使有最小值3，
①当时，在上单调递减，（舍去），
②当时，在上单调递减，在上单调递增
∴，满足条件．
③当时，在上单调递减，（舍去），
综上，存在实数，使得当时有最小值3．
（2）令，由（2）知，．令
，
当时，，在上单调递增
∴，
即

【例】设函数。
（1）若在定义域内为增函数，求的取值范围；
（2）设，当时，
求证：① 在其定义域内恒成立；