大一高数总结上册.pdf

(完整)大一高数总结上册(word 版可编辑修改)1/10第一章(完整)大一高数总结上册(word 版可编辑修改)第二章第三章 第四章 编辑整理：第五章第六章第七章第八章第九章尊敬的读者朋友们：第十章这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)大一高数总结上册(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。第十一章本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为(完整)大一高数总结上册(word 版可编辑修改)的全部内容。第十二章(完整)大一高数总结上册(word 版可编辑修改)2/10第十三章函数、极限、连续（小结)第十三章函数、极限、连续（小结)一、函数一、函数1.邻域：1.邻域：以为中心的任何开区间开区间;()U a,()U aa2。定义域：2。定义域：tan;2yxxkcot;yxxk;arctan,(,)2 2yxxR y arcsin 1,1,2 2yxxy 。arccos 1,1,0,yxxy 二、极限二、极限1。极限定义：1。极限定义：(了解）若对于,，当时，有；limnnxa0 NZ.stnN|nxa Note：Note：|?nxan，当时,有；0lim()xxf xA0 0.st00 xx()f xA Note：Note：0()?f xAxx，,当时，有；lim()xf xA0 0X.stxX()f xA Note：Note：()?f xAx2。函数极限的计算2。函数极限的计算（掌握）(1）定理：；（分段函数）(1）定理：；（分段函数）0lim()xxf xA0()f x0()f x0lim()xxf xA（2）型：（2）型：约公因子，有理化;比如：，;比如：，;002311lim1xxx2131lim2xxxxx 重要极限;0()0sinsin()limlim1()xu xxu xxu x 等价无穷小因式代换：，tan,sin,sinxxxx arcxx1 cosx212x，,11nx1nxe1xxln(1)xx 型：型：先通分；比如：比如：2112lim11xxx型：型：转化为无穷小；比如:比如:221lim2xxxx(完整)大一高数总结上册(word 版可编辑修改)3/10型:型:重要极限;111()0()0lim 1lim 1()xu xxu xxu xe（3）无穷小量：（3）无穷小量：无穷小 无穷小=无穷小；无穷小 有界量=无穷小 比如比如：coslim2xxx（4）函数极限与无穷小的关系（4）函数极限与无穷小的关系：（抽象函数)（抽象函数)00lim()(),lim0 xxxxf xAf xA其中：（5）微分中值定理：；比如:（5）微分中值定理：；比如:(第 3 章）()()()f bf afba1arctanarctan1lim1xxx（6）罗必达法则：比如：（6）罗必达法则：比如：（第 3 章)00()()0limlim,()()0 xxxxf xfxg xg x20tanlimsinxxxxx3。数列极限的计算：3。数列极限的计算：夹逼原则:夹逼原则:222111lim12nnnnn积分定义：积分定义：；。（第五章）1011lim 11nniixdxnnlim0(|1)nnqqlim1nna三、连续三、连续1。函数在点处连续1。函数在点处连续：.0 x00lim()()xxf xf x 一切初等函数在其定义域都是连续的.2。闭区间上函数连续的性质：2。闭区间上函数连续的性质：最大最小值定理：最大最小值定理：若在上连续，则在上一定有最大、最小值。()f x,a b()f x,a b零点定理：零点定理：设，且,(),f xC a b()()0f af b 至少有一点，使得(,)a b()0f介值定理:介值定理:设,且，(),f xC a b()f aA(),f bB AB 则对之间的任意常数，至少有一点，使得.,A BC(,)a b()fC四、间断点四、间断点1第一类间断点1第一类间断点:、存在0()f x0()f x 若,则称为可去可去间断点;000()()()f xf xf x0 x(完整)大一高数总结上册(word 版可编辑修改)4/10 若，则称为跳跃跳跃间断点;00()()f xf x0 x2。第二类间断点：2。第二类间断点：、至少一个不存在0()f x0()f x 若其中一个趋向,则称为无穷无穷间断点；0 x 若其中一个为振荡,则称为振荡振荡间断点；0 x第二章 导数与微分（小结）第二章 导数与微分（小结）一、导数的概念一、导数的概念1.1.0()fx0limxyx 000()()limxf xxf xx 000()()limhf xhf xh NoteNote：该定义主要用于相关定理的分析与证明;导函数求导公式：.()fx0()()limhf xhf xh2.分段函数在分段点处可导性判别：2.分段函数在分段点处可导性判别：定理：定理：在处可导在处即左可导，又右可导()f x0 x()f x0 x，.0()fx000()()limxxf xf xxx0()fx000()()limxxf xf xxx3.导数的几何意义：切线斜率3.导数的几何意义：切线斜率，即0()kfx当时，曲线在点处的切线、法线方程为：0()fx 00(,)xy切线方程：;法线方程：000()()yyfxxx0001()()yyxxfx 二、导数的运算二、导数的运算1。四则运算：1。四则运算：；00()()()()u xv xu xv x()()()()()()u x v xu x v xu x v x；2()()()()()()()u xu x v xu x v xv xvx2.反函数求导：2.反函数求导：，互为反函数,则()yf x()xy1()()fxy3.复合函数求导：3.复合函数求导：，则.()yfxd()()dyf uxx(完整)大一高数总结上册(word 版可编辑修改)5/104.隐函数求导：两边关于求导，把看成是的函数.4.隐函数求导：两边关于求导，把看成是的函数.(,)0F x y xyx5.参数方程5.参数方程:则(),(),xx tyy t()()dydy dty tdydxdtdtdxdt dxx t三、微分三、微分1。微分的概念：1。微分的概念：若有成立，记作：00()()yf xxf x()dyA xox dyA xNote：Note：，;()dyA xAdxfx dx(),()yf x dyfx dx2.微分在近似计算中的应用2.微分在近似计算中的应用（1）近似计算（1）近似计算 .000()()()()f xf xfxxx第三章 微分中值定理及导数的应用第三章 微分中值定理及导数的应用一、微分中值定理一、微分中值定理1、罗尔(Rolle）中值定理1、罗尔(Rolle）中值定理：内至少存在一点,使得。(,)a b()0fNote：Note：证明导函数根的存在性。证明原函数根的唯一性。2、拉格朗日中值定理:拉格朗日中值定理:在内至少存在一点，使得.(,)a b()()()f bf afbaNote：Note：把用做代换,求极限。()()f bf aba()f 由建立不等式，用于证明不等式。ab3、柯西中值定理：3、柯西中值定理：在内至少存在一点，使得：(,)a b()()()()()()ff bf agg bg aNote：Note：用于说明洛必达法则.二、洛必达法则二、洛必达法则（1）可结合两个重要极限、等价无穷小代换,约公因子等方法灵活运用。（2）若，不为分式，可通过令：，创造分式.-1xt比如：比如：21limln(1)xxxx0000-0 01 通分取倒数取对数(完整)大一高数总结上册(word 版可编辑修改)6/10三、函数图形的描绘三、函数图形的描绘(1）写定义域，研究的奇偶性、周期性;()f x(2)求，；()fx()fx(3）令可疑极值点，可疑拐点；()0()fxfx 不1x()0()fxfx 不2x（4）补充个别特殊点，求渐近线：，;lim()xf xC0lim()xxf x(5）列表分析单调性、凹凸性、拐点、极值点;(6）画图111222()()()xxxxxxxf xfxfx极值点拐点五、最值的计算：五、最值的计算：（1）求在内的可疑极值点：()f x(,)a b12,mxxx(2）最大值：12max(),(),(),(),()mMf xf xf xf af b特别的，特别的，(1）在上只有一个可疑极值点，若此点取得极大值，则也是最大值点.()f x,a b（2）在上单调时,最值必在端点处达到。()f x,a b（3）对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点。第四章 不定积分第四章 不定积分一、不定积分：一、不定积分：，()d()f xxF xCNote：Note：为积分常数不可丢！C ()d()df xxf xdx()d()F xxF xC;。()()d()d()df xg xxf xxg xx()d()dkf xxkf xx(完整)大一高数总结上册(word 版可编辑修改)7/10几个常用的公式，dxx111xCdxax lnxaCa1dxxln xC，sec tan dxx x secxCcsc cot dxx x cscxC二、二、换元积分法:换元积分法:1.1.()()()d()duxfxxxf uuNote：Note：常见凑微分：2111(),(),2(),(ln|)2dxd xcxdxd xcdxdxcdxdxcxx 2211(tan)(cot),(arcsin)(cos)1+1dxd arcxd arcxdxdxd arcxxx 适用于被积函数为两个函数相乘的情况，若被积函数为一个函数，比如：，若21 dxex被积函数多于两个，比如：，要分成两类；4sin cosd1 sinxxxx 一般选择“简单“熟悉”的那个函数写成；()x 若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方,拆项；2。2。()()d()()duxf uufxxxNoteNote：常见代换类型：，(,)dnf xaxbxntaxb22(,)df xxaxsecxat，22(,)df xaxxsinxat22(,)df xaxxtanxat ，,()dxf axxta(,)dax bncx df xxax bncx dt三、分部积分法：三、分部积分法：.duvxuvu v dxNoteNote：按“反对幂指三”“反对幂指三”的顺序，谁在前谁为u 要比容易计算；u v uv 适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个,比如：(完整)大一高数总结上册(word 版可编辑修改)8/10，（）;arcsin1xdxxedxtx 多次使用分部积分法：uuuvvv求导积分三、三、有理函数的积分有理函数的积分1.1.假分式=多项式+真分式;()()P xQ x2 2.真分式=（拆成）若干部分分式之和；Note：拆项步骤Note：拆项步骤:将分母分解：()Q x2()xa22()xp xq240pq 根据因式的情况将真分式拆成分式之和：11211222222()()()P xAAB xCB xCQ xxaxp xqxp xqxa3.逐项积分.3.逐项积分.注：有时一个题目会用到几种积分方法，要将所有的方法灵活运用，融会贯通！注：有时一个题目会用到几种积分方法，要将所有的方法灵活运用，融会贯通！第五章第五章定积分定积分一、一、定积分的概念及性质定积分的概念及性质1。定义：1。定义：，其中；01()lim()nbiiaif x dxfx()=iba in2几何意义2几何意义：-曲边梯形面积()0,()dbaf xf xx曲边梯形面积的负值()0,()dbaf xf xx3.性质：3.性质：（1）（1），;()d()dbaabf xxf xx()d0aaf xx（2)（2)dbaxba(完整)大一高数总结上册(word 版可编辑修改)9/10（3）（3）;()d()dbbaak f xxkf xx（4）（4）;()()d()d()dbbbaaaf xg xxf xxg xx（5）（5）；()d()d()dbcbaacf xxf xxf xx（6)（6)若在上，则；,a b()0f x()d0baf xx（7）设，则;（7）设，则;,max(),min()a ba bMf xmf x()()d()bam baf xxM ba（8)积分中值定理：，（8)积分中值定理：，。()d()()baf xxfba,a b4。变上限函数：4。变上限函数：()()dxaxf ttNote：Note：；d()ddbxf ttx()f x()d()ddxaf ttx()()fxx()()d()ddxxf ttx()()d()d()ddaxxaf ttf ttx()()()()fxxfxx5.牛顿莱布尼茨公式:5.牛顿莱布尼茨公式:。()d()()()bbaaf xxF xF bF a二、二、定积分的计算定积分的计算1.换元积分：换元积分：换元必须换限,无需变量回代,凑微分不必换限；2.2.分部积分：；分部积分：；=uv bbbaaauv dxu vdx3.3.若为奇函数，若为奇函数，则；()f x()0 aaf x dx若为偶函数,若为偶函数,则.()f x0()2()aaaf x dxf x dx4.广义积分：4.广义积分：()lim();()lim();aaabbbbaf x dxf x dxf x dxf x dx三、三、定积分的应用定积分的应用 1。平面图形的面积 1。平面图形的面积直角坐标：直角坐标：()dbaAf xx推广推广：()()()()bdacf xg x dxf yg y dyA=A=(完整)大一高数总结上册(word 版可编辑修改)10/10极坐标：极坐标：21()d2A 2.曲线的弧长2.曲线的弧长(1）,(1）,21dbasyx21()dbafxx()()yf xaxb(2）(2），22()()dsttt()()()xttyt（3）（3），22()()dsrr()()rr3 3。已知平行截面面积函数为的立体体积 已知平行截面面积函数为的立体体积:()A x()dbaVA xxNote:Note:特别的,当立体为曲线绕坐标轴形成的旋转体时，()f x绕轴：()f xx2()dbaVf xx绕轴：()f xy2()dbaVyy