八年级数学下册16.1二次根式教案(人教版).doc

八年级数学下册16.1二次根式教案（人教版）

16．1 二次根式
教学内容
二次根式的概念及其运用
教学目标
知识与技能目标： 理解二次根式的概念，并利用 （a≥0）的意义解答具体题目．
过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重难点关键
1．重点：形如 （a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．难点与关键：利用“ （a≥0）”解决具体问题．
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；　2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法　通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。
2、阅读的方法　让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3、分组讨论法　将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法　采用不同的练习法，巩固所学的知识利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT，展台。
时安排：1时。

教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：
问题1：已知反比例函数= ，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．
问题2：如图，在直角三角形AB中，A=3，B=1，∠=90°，那么AB边的长是__________． 老师点评：
问题1：横、纵坐标相等，即x=，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x= ，所以所求点的坐标（ ， ）．
问题2：由勾股定理得AB=
二、探索新知
很明显 、 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
议一议：
1．-1有算术平方根吗？
2．0的算术平方根是多少？
3．当a<0， 有意义吗？
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 、 、 （x>0）、 、 、- 、 、 （x≥0，≥0）．
分析：二次根式应满足两个条：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0．
解：二次根式有： 、 （x>0）、 、- 、 （x≥0，≥0）；不是二次根式的有： 、 、 、 ．
例2．当x是多少时， 在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意义．
解：由3x-1≥0，得：x≥
当x≥ 时， 在实数范围内有意义．
三、应用拓展
例3．当x是多少时， + 在实数范围内有意义？
分析：要使 + 在实数范围内有意义，必须同时满足 中的≥0和 中的x+1≠0．
解：依题意，得
由①得：x≥-
由②得：x≠-1
当x≥- 且x≠-1时， + 在实数范围内有意义．
例4(1)已知= + +，求 的值．(答案:2)
(2)若 + =0，求a2004+b2004的值．(答案: )
四、归纳小结
本节要掌握：
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
五、布置作业
一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．- B． ． D．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． ． D．
3．已知一个正方形的面积是，那么它的边长是（ ）
A． B． ． D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为13的产品包装盒，其高为02，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x是多少时， +x2在实数范围内有意义？
3．若 + 有意义，则 =_______．
4使式子 有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 ．2 D．无数
已知a、b为实数，且 +2 =b+4，求a、b的值．

答案:
一、1．A 2．D 3．B二、1． （a≥0） 2． 3．没有
三、1．设底面边长为x，则02x2=1，解答：x= ． 2．依题意得： ，
∴当x>- 且x≠0时， ＋x2在实数范围内没有意义．
3 4．B ．a=，b=-4
板书设计：
§1611二次根式（1）
情境引入 例2 学生板演

二次根式的定义 例3
例1 例4 小结

161 二次根式(2)
教学内容
1． （a≥0）是一个非负数；
2．（ ）2=a（a≥0）．
教学目标
知识与技能目标：理解 （a≥0）是一个非负数和（ ）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
过程与方法目标：过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 （a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（ ）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重难点关键
1．重点： （a≥0）是一个非负数；（ ）2=a（a≥0）及其运用．
2．难点、关键：用分类思想的方法导出 （a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（ ）2=a（a≥0）．
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；　2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读、类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法　通过观察、类比，使学生理解 （a≥0）是一个非负数和（ ）2=a（a≥0），形成有效的学习策略。
2、阅读的方法　让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3、分组讨论法　将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法　采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT，展台。
时安排：1时。

教学过程
一、复习引入
（学生活动）口答
1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时， 叫什么？当a<0时， 有意义吗？
老师点评（略）．
二、探究新知
议一议： （a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：
（a≥0）是一个非负数．
做一做：根据算术平方根的意义填空：
（ ）2=_______；（ ）2=_______；（ ）2=______；（ ）2=_______；
（ ）2=______；（ ）2=_______；（ ）2=_______．
老师点评： 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于4的非负数，因此有（ ）2=4．
同理可得：（ ）2=2，（ ）2=9，（ ）2=3，（ ）2= ，（ ）2= ，（ ）2=0，所以
（ ）2=a（a≥0）
例1、 计算
1．（ ）2 2．（3 ）2 3．（ ）2 4．（ ）2
分析：我们可以直接利用（ ）2=a（a≥0）的结论解题．
解：（ ）2 = ，（3 ）2 =32•（ ）2=32•=4，
（ ）2= ，（ ）2= ．
三、巩固练习
计算下列各式的值：
（ ）2 （ ）2 （ ）2 （ ）2 （4 ）2

四、应用拓展
例2、 计算
1．（ ）2（x≥0） 2．（ ）2 3．（ ）2
4．（ ）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x2-12x+9=（2x）2-2•2x•3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都可以运用（ ）2=a（a≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0
（ ）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（ ）2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴ =a2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2•2x•3+32=（2x-3）2
又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0，∴（ ）2=4x2-12x+9
例3、在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
分析：(略)
五、归纳小结
本节应掌握：
1． （a≥0）是一个非负数；
2．（ ）2=a（a≥0）;反之:a=（ ）2（a≥0）．
六、布置作业
一、选择题
1．下列各式中 、 、 、 、 、 ，二次根式的个数是（ ）．
A．4 B．3 ．2 D．1
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）．
A．a>0 B．a≥0 ．a<0 D．a=0
二、填空题
1．（- ）2=________．
2．已知 有意义，那么是一个_______数．
三、综合提高题
1．计算
（1）（ ）2 （2）-（ ）2 （3）（ ）2 4）（-3 ）2
()
2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1） （2）34 （3） （4）x（x≥0）
3．已知 + =0，求x的值．
4．在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-

答案: 一、1．B 2． ； 二、1．3 2．非负数；三、1．（1）（ ）2=9 （2）-（ ）2=-3 （3）（ ）2= ×6= ；（4）（-3 ）2=9× =6 ()-6
2．（1）=（ ）2 ；（2）34=（ ）2 ；（3） =（ ）2 ； （4）x=（ ）2（x≥0）
3． x=34=81； 4（1）x2-2=（x+ ）（x- ）
（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+ ）（x- ）； (3)略
板书设计：
§161二次根式（2）
情境引入 例1 学生板演

1． （a≥0）是一个非负数； 例2
2．（ ）2=a（a≥0）;
反之:a=（ ）2（a≥0）． 例3 小结

161 二次根式(3)
教学内容: ＝a（a≥0）
教学目标
知识与技能目标：理解 =a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
过程与方法目标： 通过具体数据的解答，探究 =a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．
情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重难点关键
1．重点： ＝a（a≥0）．
2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0时， ＝a才成立．
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；　2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式
学法：1、类比的方法　通过观察、类比，使学生感悟 ＝a（a≥0），形成有效的学习策略。
2、阅读的方法　让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3、分组讨论法　将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法　采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT，展台。
时安排：1时。
教学过程:一、复习引入
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式；
2． （a≥0）是一个非负数；
3．( )2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0时， =a是否也成立呢？下面我们就探究这个问题．
二、探究新知
填空：
=_______； =_____ =______；
=________； =________； =_______．
（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
=2； =001； = ； = ； =0； = ．
因此，一般地： =a（a≥0）
例1、化简
（1） （2） （3） （4）
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）2=2，
（4）（-3）2=32，所以都可运用 =a（a≥0）去化简．
解：（1） = =3 （2） = =4
（3） = = （4） = =3
三、应用拓展
例2、 填空：当a≥0时， =_____；当a<0时， =_并根据这一性质回答下列问题．
（1）若 =a，则a可以是什么数？
（2）若 =-a，则a可以是什么数？
（3） >a，则a可以是什么数？
分析：∵ =a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时， = ，那么-a≥0．
（1）根据结论求条；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知 =│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．
解：（1）因为 =a，所以a≥0；
（2）因为 =-a，所以a≤0；
（3）因为当a≥0时 =a，要使 >a，即使a>a所以a不存在；当a<0时， =-a，要使 >a，即使-a>a，a<0综上，a<0
例3、当x>2，化简 - ．
分析：(略)
四、归纳小结
本节应掌握： =a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时， ＝－a的应用拓展．
五、布置作业
一、选择题
1． 的值是（ ）．
A．0 B． ．4 D．以上都不对
2．a≥0时， 、 、- ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．
A． = ≥- B． > >-
． < <- D．- > =
二、填空题
1．- =________．
2．若 是一个正整数，则正整数的最小值是________．
三、综合提高题
1．先化简再求值：当a=9时，求a+ 的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+ =a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+ =a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
2．若│199-a│+ =a，求a-1992的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断199-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）
3 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+ + 。

答案:一、1． 2．A；二、1．-0．02 2．；三、1．甲 甲没有先判定1-a是正数还是负数
2．由已知得a-2000≥0，a≥2000
所以a-199+ =a， =199，a-2000=1992，
所以a-1992=2000．
3 10-x
板书设计：
§161二次根式（3）
情境引入 例2 学生板演

＝a（a≥0）． 例3

例1 练习 小结