微分中值定理78534.pptx

2024/9/4 周三1第一节第一节 微分中值定理微分中值定理二二 微分中值定理微分中值定理一一 问题的提出问题的提出1 费马（费马（Fermat）定理）定理2 罗尔罗尔(Rolle)定理定理3 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理4 柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理三三 小结与思考判断题小结与思考判断题(The Mean Value Theorem)2024/9/4 周三2一一 问题的提出问题的提出(Introduction)我们知道，导数是刻划函数在一点处变化我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。2024/9/4 周三3二二 微分中值定理微分中值定理(The Mean Value Theorem)微分中值定理的核心是拉格朗日微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。是它的特例，柯西定理是它的推广。1 预备定理预备定理费马（费马（Fermat）定理）定理 费马（费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。共同创立解析几何因提出费马大、小定理而著于世。2024/9/4 周三4几何解释几何解释:2024/9/4 周三5证明证明:2024/9/4 周三6几何解释几何解释:2 罗尔(Rolle)定理(Rolles Theorem)2024/9/4 周三7证证2024/9/4 周三82024/9/4 周三9注注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结其结论可能不成立论可能不成立.例如例如,例如例如,XY-110注注2:若罗尔定理的条件仅若罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的是充分条件，不是必要的.2024/9/4 周三10例例1 12）唯一性）唯一性由零点定理由零点定理即为方程的正实根即为方程的正实根.矛盾矛盾,证：证：1）存在性）存在性2024/9/4 周三113 拉格朗日(Lagrange)中值定理2024/9/4 周三12几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为化化归归证证明明法法2024/9/4 周三13作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.2024/9/4 周三14拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.推论推论1拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的表达方式：2024/9/4 周三15例例2 2证证由上式得由上式得2024/9/4 周三164 柯西(Cauchy)中值定理2024/9/4 周三17几何解释几何解释:证证作辅助函数作辅助函数2024/9/4 周三182024/9/4 周三19例例4 42024/9/4 周三202024/9/4 周三21三三 小结与思考判断题小结与思考判断题Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理1）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；理之间的关系；2）利用中值定理证明等式与不等式）利用中值定理证明等式与不等式.Fermat定理2024/9/4 周三22思考题思考题 1 拉格朗日中值定理的条件缺少一个，拉格朗日中值定理的条件缺少一个，结论就可能不成立结论就可能不成立.2