1、主要内容主要内容微分的定义；微分的定义；微分的几何意义；微分的几何意义；求函数的微分；求函数的微分；微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用.一、问题的提出一、问题的提出实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.面积函数面积函数再如再如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有（可微的条件）所有函数的改变量都有（可微的条件）?它是什么（微分的定义）它是什么（微分的定义）?如何求如何求?二、微分的定义二、微分的定义（是什么？）（是什么？）定义定义(微
2、分的实质微分的实质)定义的几点说明定义的几点说明：(定理定理)三、可微的条件三、可微的条件(什么样的函数可微？什么样的函数可微？)定理定理证证(1)必要性必要性(2)充分性充分性例例1 1解解什么意思？什么意思？自变量的增量就是自变量的微分：自变量的增量就是自变量的微分：函数的微分可以写成函数的微分可以写成:该例说明该例说明:即即函数函数 f(x)在点在点 x 处的导数等于函数的处的导数等于函数的微分微分 d y 与自变量的微分与自变量的微分 d x 的商的商,故导数故导数也也可称为微商可称为微商.例例2 2解解例例3 3解解练练 习习解解四、微分的几何意义四、微分的几何意义MNT）几何意义几
3、何意义:(:(如图如图)P 导数与微分的区别导数与微分的区别:五、微分的求法五、微分的求法（如何求（如何求?）求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2.2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则3.3.复合函数的微分法则复合函数的微分法则 设设 ，则复合函数，则复合函数 的微分为的微分为 即即例例4 4解一解一利用微分法则利用微分法则解二解二利用微分与导数的关系利用微分与导数的关系例例5 5解一解一解二解二练练 习习答答 案案六、六、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 在处理实验数据
4、时，经常会遇到一在处理实验数据时，经常会遇到一些比较难算公式。如果直接用公式进行些比较难算公式。如果直接用公式进行计算，那是很费力的。利用微分有时可计算，那是很费力的。利用微分有时可以把有些复杂的计算公式用简单的近似以把有些复杂的计算公式用简单的近似公式代替。公式代替。1 1、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值例例6 6分析分析 而这个运算量是较大的，于是我们而这个运算量是较大的，于是我们想到用微分这个线形主部来近似取代变想到用微分这个线形主部来近似取代变化量。化量。解解练练 习习解解 在计算函数值时在计算函数值时,经常会遇到一些比经常会遇到一些比较难算的函数。如果直接用公式进行计较难算的函数。如果直接用公式进行计算，那是很费力的。利用微分有时可以算，那是很费力的。利用微分有时可以把难算的函数用容易算的点的函数值求把难算的函数用容易算的点的函数值求其近似值代替其近似值代替 。2 2、计算函数的近似值、计算函数的近似值 三角函数的函数值，可以用在特殊点三角函数的函数值，可以用在特殊点处的函数值求微分近似代替。处的函数值求微分近似代替。例例7 7解解练练 习习解解常用近似公式常用近似公式证明证明例例9 9解解练练 习习解解
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