1、 微分中值定理是极值问题、洛必达微分中值定理是极值问题、洛必达法则的理论基础。法则的理论基础。Taylor展式开辟了计展式开辟了计算数学的先河，是计量经济学、精算数算数学的先河，是计量经济学、精算数学必不可少的基础理论。学必不可少的基础理论。第一节第一节 导数的应用导数的应用-中值定理中值定理本节课的主要内容：本节课的主要内容：一个引理（费尔马定理），三一个引理（费尔马定理），三个定理（罗尔定理、拉格朗日中值个定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）。定理、柯西中值定理）。费马定理费马定理罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理 微微分分中中值值
2、定定理理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理 通常称导数为零的点为函数驻点（或称通常称导数为零的点为函数驻点（或称为稳定点，临界点）。为稳定点，临界点）。引理（费尔马引理（费尔马Fermat定理）定理）局部最值局部最值（极值点）（极值点）可微函数在区间内部取极值的必要条件可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零是函数在该点的导数值为零.费马定理的几何解释费马定理的几何解释 如如何何证证明明？引理（费尔马引理（费尔马Fermat定理）定理）证明思路：证明思路：证明证明保号性保号性例如例如,The theorem of Rolle点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停物理
3、解释物理解释:变速直线运动变速直线运动在折返点处在折返点处,瞬瞬时速度等于零时速度等于零.几何解释几何解释:分析：分析：证明：证明：注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不若罗尔定理的三个条件中有一个不满足满足,其结论可能不成立其结论可能不成立.例如例如,例如例如,例如例如,例例1 1分析分析134134页页1212证证例例1 1练练 习习证证证证134134页页 5 5其中其中,综上所述综上所述,连续连续可微可微端点函数值相等端点函数值相等例例2 2分析分析由罗尔定理由罗尔定理,至少存在一点至少存在一点证证分分析析问问题题的的条条件件,作作出出辅辅助助函数是证明的关键函数是证明的关键 .练练
4、 习习证证证证 对于罗尔定理中的第三个条件对于罗尔定理中的第三个条件 ，很多函，很多函数都数都不满足不满足，这样就限制了罗尔定理的适用范围。，这样就限制了罗尔定理的适用范围。要是能取消就好了。要是能取消就好了。拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理几何解释几何解释:分析分析:分析分析:证明：证明：注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系数之间的关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.微分中值定
5、理微分中值定理拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.某一时刻达到它的平均速度某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们拉格朗日中值定理告诉我们,在在 t=a 到到t=b 的时间段内的时间段内,连续运动的物体至少会在连续运动的物体至少会在推论推论注：注：证明：证明：例例3 3证证 练练 习习证证证证由上式得由上式得例例4 4证证 练练 习习 对于对于拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，需要求函数的导，需要求函数的导数，我们知道对于参数方程（尤其是无法消数，我们知道对于参数方程（尤其是无法消参的参数方程）求导比较困难。于是我们，参的参数方程）求导比较困难。于是我们
6、，找到了更一般的找到了更一般的柯西中值定理柯西中值定理。如何用中值定理表述？如何用中值定理表述？三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理几何解释几何解释:有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了就可证明柯西中值定理了.分析分析:证明：证明：例例4 4分析分析:证证分析分析 练练 习习证证证证 总结总结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤骤.作业作业习题习题3-1 13-1 1、4 4、5 5、7 7、8 8、9 9、1212、1414
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