1、3.4 微分及其运算微分及其运算11线性近似线性近似设设 y=f(x)在在 x0 0 处可导处可导,则有则有记记则则 L(x)是曲线在点是曲线在点 (x0,f(x0)处的切线处的切线,从上式得从上式得 说明：说明：称为函数称为函数 y=f(x)在在点点x0 0 附近的附近的线性近似线性近似(即在即在点点 x0 附近附近以直代曲以直代曲)(1)线性近似的几何意义：线性近似的几何意义：2 微分微分若若 y=f(x)在在 x0 处可导处可导,则则即即定义定义 设函数设函数 y=f(x)在点在点 x0 的某邻域内有定义的某邻域内有定义,如果增量如果增量 y=f(x0+x)-f(x0)可以表示为可以表示
2、为其中其中A是不依赖于是不依赖于 x 的常数的常数,则称则称f(x)在点在点 x0 处处可微可微,并称并称 A x 为函数为函数 y=f(x)在点在点 x0 处对应于自变量增处对应于自变量增量量 x 的的微分微分,记作记作 dy(或或 ）,即即定理定理(可微的充要条件可微的充要条件)函数函数 f(x)在点在点 x0 处可微的充要条件是处可微的充要条件是 f(x)在在 x0处可导处可导,且且证明证明 只需证必要性只需证必要性 若若 f(x)在点在点 x0 处可微，则对处可微，则对 x，有有 在在 x0 处可导处可导,且且说明：说明：(1)(2)若取若取 f(x)=x,则则 dx=x 即自变量的微
3、分即即自变量的微分即为自变量的增量，为自变量的增量，从而微分从而微分 即即 y对对 x的导数的导数 即为微分即为微分dy与自变量的微分与自变量的微分 dx 之比之比微分的几何意义微分的几何意义:x0 x0+x y微分的四则运算法则：微分的四则运算法则：复合函数的微分复合函数的微分(一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性)设设 y=f(u),u=(x)都为可微函数都为可微函数,考察复合函数考察复合函数 y=f(x)的的微分微分即有即有 (一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性)此式说明：此式说明：(1)不论不论 u 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,函数微分函数微分 dy 的形式完全
4、相同的形式完全相同(2)dy 与与 du 之比表示之比表示 y 对对 u 的导数的导数(a)复合函数求导法则复合函数求导法则:(b)反函数求导法则反函数求导法则:(c)参数方程的求导公式参数方程的求导公式:例例 设设 ,求求 dy 及及解解(一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性)将方程中的将方程中的 y 看作看作 y(x),则方程成为恒等式则方程成为恒等式,解得解得例例 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数的微分的微分 dy 解解在方程两边取微分在方程两边取微分,有有 由于由于取微分有取微分有例例设曲线既可用参数式设曲线既可用参数式 x=x(t),y=y(t)表示表示,又又可用极坐标可用极坐标 =()表示表示,求证：求证：解解
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