微分方程和解.pptx

常微分方程 绵阳师范学院1常微分方程课程简介常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体的运动现象、演化和变化规律的最为基本的数学理体的运动现象、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的成适当的常微分方程，常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨跌趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化涨跌趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化常微分方程常微分方程 常微分方程 绵阳师范学院2等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。个领域。学习学习常微分方程常微分方程的目的是用微积分的思想的目的是用微积分的思想,结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础。程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础。常微分方程 绵阳师范学院3同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。准备。教材及主要参考资料教材及主要参考资料教教 材：常微分方程材：常微分方程,东北师大数学系编东北师大数学系编,高教出版社高教出版社.参考书目：常微分方程参考书目：常微分方程 (第二版）王高雄等编第二版）王高雄等编(中山中山 大学大学)高教出版社。高教出版社。常微分方程讲义常微分方程讲义,王柔怀、伍卓群编，高教出版社。王柔怀、伍卓群编，高教出版社。常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。常微分方程稳定性理论常微分方程稳定性理论,许松庆编上海科技出版社。许松庆编上海科技出版社。常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。常微分方程 绵阳师范学院4第一章第一章 初等初等积分法分法 本章将通过几个具体例子本章将通过几个具体例子,浅显地介绍常微分方浅显地介绍常微分方程的应用程的应用,并引出讲述一些最基本概念并引出讲述一些最基本概念.1.1 1.1 微分方程和解微分方程和解1.1.1 1.1.1 微分方程微分方程 为了定量地研究一些实际问题的变化规律为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数建立数学模型学模型,当问题涉及变量的变化率时当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分该模型就是微分方程方程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程模型的过程.常微分方程 绵阳师范学院5例例1 镭的衰变规律镭的衰变规律:解解:设镭的衰变规律与该时刻的存镭量成正比设镭的衰变规律与该时刻的存镭量成正比,且已知且已知 时时,存镭量为存镭量为 克克,试确定在任意时试确定在任意时刻刻 的存镭量的存镭量.常微分方程 绵阳师范学院6含有导数的方程含有导数的方程初始条件初始条件(积分常数积分常数)(记记 常数常数)含有常数含有常数C的解的解 常微分方程 绵阳师范学院7即任何时刻镭元素的存量可计算即任何时刻镭元素的存量可计算.K K可实验测定可实验测定,称为反应率常数称为反应率常数.这类反应叫这类反应叫一阶反应一阶反应.因提出这种测定有机性古生物年龄的方法因提出这种测定有机性古生物年龄的方法,Libby(,Libby(李倍李倍)获获6060年诺贝尔化学奖年诺贝尔化学奖.古生物的年龄就可借用此公式计算古生物的年龄就可借用此公式计算:如碳的一如碳的一种放射性同位素种放射性同位素(存在于有机物存在于有机物)半衰期为半衰期为56005600年年,一块古木的放射性只有活树的一半一块古木的放射性只有活树的一半,那么它就是那么它就是56005600年前后活树上砍下的年前后活树上砍下的,若放射性只有活树的四若放射性只有活树的四分之一分之一,它的生活期约为它的生活期约为1120011200年年.(.(都江堰二王庙有都江堰二王庙有乌木用乌木用 测定年龄的例子测定年龄的例子).).常微分方程 绵阳师范学院8 求平面上求平面上过点点(1,3)且每点切且每点切线斜率斜率为横坐横坐标2倍倍的曲的曲线所所满足的微分方程足的微分方程.解解:设所求的曲所求的曲线方程方程为由由导数的几何意数的几何意义,应有有即即又由条件又由条件:曲曲线过(1,3),即即于是得于是得故所求的曲故所求的曲线方程方程为:例例2 数学涉及切线的问题数学涉及切线的问题:含有导数的含有导数的方程方程含有常数含有常数C C的解的解由条件确由条件确定了常数定了常数又由条件又由条件:曲曲线过(1,3),即即 常微分方程 绵阳师范学院9定义定义1:1:联系自变量、未知函数及联系自变量、未知函数及未知函数导数未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程（或微分）的关系式称为微分方程.例例1 1：下列关系式都是微分方程下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程一、常微分方程与偏微分方程 常微分方程 绵阳师范学院10 如果在一个微分方程中，自如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，量的个数只有一个，则这样的微分方程称的微分方程称为常微分方程常微分方程.如如(1).(2).(3)1.常微分方程常微分方程 如果在一个如果在一个微分方程中微分方程中,自自变量的个数量的个数为两个或两两个或两个以上个以上,称称为偏微分方程偏微分方程.如如(4).2.偏微分方程偏微分方程 注注:本本课课程程主主要要研研究究常常微微分分方方程程.同同时时把把常常微微分分方方程简称为微分方程或方程程简称为微分方程或方程.常微分方程 绵阳师范学院11 定定义2 2：微微分分方方程程中中出出现的的未未知知函函数数的的导数数的的最高最高阶数数(或微分的或微分的阶数数)称称为微分方程的微分方程的阶数数.是一是一阶微分方程；微分方程；是二是二阶微分方程微分方程；是四是四阶微分方程微分方程.二、微分方程的阶二、微分方程的阶如如:常微分方程 绵阳师范学院12n 阶微分方程的一般形式为阶微分方程的一般形式为函数中一定含有函数中一定含有 是未知函数是未知函数,是自变量是自变量.常微分方程 绵阳师范学院13 是线性微分方程是线性微分方程.三三 线性和非线性线性和非线性如如定义定义3.如果方程如果方程(关于关于函数函数及及各阶导数各阶导数是线性的是线性的)左端为关于左端为关于的一次有理式的一次有理式,则称其为则称其为n阶线性方程阶线性方程.常微分方程 绵阳师范学院14 是非线性微分方程是非线性微分方程.如如2.n 阶线性微分方程的一般形式阶线性微分方程的一般形式不是线性方程的方程称为非线性方程不是线性方程的方程称为非线性方程 常微分方程 绵阳师范学院151.1.2 微分方程的通解与特解微分方程的通解与特解定义定义4 常微分方程 绵阳师范学院16通解与特解通解与特解定义定义5 如果微分方程的解中含有任意常数如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的且所含的相相互独立的互独立的任意常数的任意常数的个数个数与微分方程的与微分方程的阶数阶数相同相同,则称则称这样的解为该方程的这样的解为该方程的通解通解.例如例如:n 阶微分方程通解的一般形式为阶微分方程通解的一般形式为 常微分方程 绵阳师范学院17 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的称为方程的特解特解.例如例如定义定义6 常微分方程 绵阳师范学院18例例3证明证明:常微分方程 绵阳师范学院19 当定解条件是初始条件时当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为相应的定解问题称为初值问题初值问题.(从例从例2看看)1.1.3 初值问题初值问题 为了从通解中得到合乎要求的特解为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际必须根据实际问题给微分方程附加一定的初值条件问题给微分方程附加一定的初值条件,又称为又称为定解条件定解条件.求满足定解条件的求解问题称为求满足定解条件的求解问题称为定解问题定解问题.常见的定解条件是常见的定解条件是初始条件初始条件,n 阶微分方程的初始阶微分方程的初始条件是指如下的条件是指如下的n个条件个条件:在于在于 常微分方程 绵阳师范学院20 求平面上求平面上过点点(1,3)且每点切且每点切线斜率斜率为横坐横坐标2倍倍的曲的曲线所所满足的微分方程足的微分方程.解解:设所求的曲所求的曲线方程方程为由由导数的几何意数的几何意义,应有有即即又由条件又由条件:曲曲线过(1,3),即即于是得于是得故所求的曲故所求的曲线方程方程为:例例2 数学涉及切线的问题数学涉及切线的问题:含有导数的含有导数的方程方程含有常数含有常数C C的解的解通解通解由条件确定由条件确定常数常数特解特解又由条件又由条件:曲曲线过(1,3),即即 常微分方程 绵阳师范学院21一阶微分方程一阶微分方程称为微分方程的称为微分方程的积分曲线积分曲线.1.1.4 积分曲线积分曲线例例2 的积分曲线族如图的积分曲线族如图.常微分方程 绵阳师范学院22作作 业业(课堂练习课堂练习p8.1Q)p8.2:(1)、(2)、(3)、()