2011年辽宁高考数学理科试卷(带详解).doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（理科）

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.为正实数，为虚数单位，，则 ( )
A.2 B. C. D.1
【测量目标】复数代数形式的四则运算.
【考查方式】给出复数的除法形式，求解等式得出未知数.
【难易程度】容易
【参考答案】B
【试题解析】∵,
.故选B
2.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，则 ( )
A.M B.N C.I D.
【测量目标】集合的基本运算（交集，并集，补集）.
【考查方式】给出集合并集的结果求交集的结果.
【难易程度】容易
【参考答案】A
【试题解析】即是是的真子集，.
3.已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )
A. B.1 C. D.
【测量目标】抛物线的简单几何性质.
【考查方式】给出抛物线上两点与焦点线段之和，利用准线求线段中点到轴的距离.
【难易程度】容易
【参考答案】C
【试题解析】∵F是抛物线的焦点
F（）准线方程(步骤1)
设A,B
∴|AF|+|BF|==3
解得（步骤2）
∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到轴的距离为.（步骤3）
4.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=，则 ( )
A． B． C． D．
【测量目标】正弦定理，余弦定理.
【考查方式】给出三角形角与边满足的关系式，求两边的比值.
【难易程度】容易
【参考答案】D
【试题解析】∵=
∴由正弦定理可知=（步骤1）
∴=
∴.（步骤2）
5.从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和
为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）= ( )
A. B. C. D.
【测量目标】随机事件与概率.
【考查方式】给出两事件，通过求出两事件概率去求.
【难易程度】容易
【参考答案】B
【试题解析】事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），∴=.（步骤1）
事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴=（步骤2）
∴=．（步骤3）
6.执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的是 ( )
A.8 B.5 C.3 D.2

第6题图
【测量目标】循环结构的程序框图.
【考查方式】给出流程图，将数值带入算法求解.
【难易程度】中等
【参考答案】C
【试题解析】=1，满足条件＜4，则执行循环体，=0+1=1，=1，=1（步骤1）
=2，满足条件＜4，则执行循环体，=1+1=2，=1，=2（步骤2）
=3，满足条件＜4，则执行循环体，=1+2=3，=2，=3（步骤3）
=4，不满足条件＜4，则退出执行循环体，此时=3.（步骤4）
7.设sin，则 ( )
A. B. C. D.
【测量目标】三角函数的诱导公式.
【考查方式】给出三角函数的等式，求解的值.
【难易程度】容易
【参考答案】A
【试题解析】由sin（）=sincos+cossin=（sin+cos）=，（步骤1）
两边平方得：1+2sincos=，即2sincos=，
则sin2=2sincos=．故选A. （步骤2）
8.如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，
则下列结论中不正确的是 ( )
A.AC⊥SB
B.AB平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

第8题图
【测量目标】两条直线的位置关系，线面角，线面平行的判定.
【考查方式】给出四棱锥图示，验证选项结论.
【难易程度】中等
【参考答案】D
【试题解析】∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
∴连接BD，AC,则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；（步骤1）
∵ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，
∴AB平面SCD，故B正确；（步骤2）
∵SD⊥底面ABCD，
是与平面所成角，是SC与平面SBD所成的角，
而△SAO≌△CSO，
∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；（步骤3）
∵ABCD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，
而这两个角显然不相等，故D不正确；（步骤4）
9.设函数，则满足的x的取值范围是 ( )
A.，2] B.[0，2] C.[1，+] D.[0，+]
【测量目标指数函数与对数函数化简.
【考查方式】给出分段函数模型，求满足不等式未知数的取值范围.
【难易程度】中等
【参考答案】D
【试题解析】当时，的可变形为，．（步骤1）
当＞1时，的可变形为，
∴＞1，故x的取值范围[0，+∞）．（步骤2）
10.若，，均为单位向量，且，，则的最大值为 ( )
A. B.1 C. D.2
【测量目标】向量的基本运算.
【考查方式】给出向量满足的关系式，求某向量关系的最大值.
【难易程度】中等
【参考答案】B
【试题解析】∵
又∵为单位向量，且=0，∴，（步骤1）
而=.
∴的最大值为1．（步骤2）
11.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为( )
A.（，1） B．（，+） C．（，） D．（，+）
【测量目标】利用导数求函数的单调区间.
【考查方式】给出函数满足的等式，求不等式解集.
【难易程度】较难
【参考答案】B
【试题解析】设
又对任意，即在上单调递增，
则的解集为（1，+∞），即的解集为（1，+∞）．故选B
12.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S—ABC的体积为 ( )
A． B． C． D．1
【测量目标】圆的性质的应用，棱锥的体积.
【考查方式】给出球直径，及内接三棱锥的部分棱长与角度，求三棱锥的体积.
【难易程度】较难
【参考答案】C
【试题解析】设球心为点O，作AB中点D，连接SD，CD ,因为线段SC是球的直径，
所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90,
所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30， 得：AC=2，SA=（步骤1）
又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30 ，得：BC=2，SB=2 则SA=SB，AC=BC（步骤2）
因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=,
在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且=步骤3）
又SD交CD于点D ，所以AB⊥平面SCD ,即棱锥SABC的体积：V=.（步骤4）
因为SD=，CD=，SC=4,由余弦定理得：cos∠SDC= =
则sin∠SDC=（步骤5）
由三角形面积公式得△SCD的面积S=SDCDsin∠SDC=3（步骤6）
所以棱锥SABC的体积：V=ABS△SCD=.（步骤7）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为 ．
【测量目标】双曲线简单几何性质.
【考查方式】定点在双曲线上，给出焦距，求双曲线离心率.
【难易程度】容易
【参考答案】2
【试题解析】∵，的焦距为4，
∴F1（2，0），F2（2，0），
∵点（2，3）在双曲线上，∴2=，
∴=1，∴==2．
14.调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．
【测量目标】线性回归方程.
【考查方式】给出线性回归方程式，的增加一定值求增加的值.
【难易程度】容易
【参考答案】0.254
【试题解析】∵对的回归直线方程．
∴=0.254（+1）+0.321，
∴=0.254（+1）+0.3210.2540.321=0.254.
15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯
视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ．

第15题图
【测量目标】由三视图求几何体的表面积.
【考查方式】给出三棱锥的体积，及俯视图，求三棱锥左视图的面积.
【难易程度】容易
【参考答案】
【试题解析】设正三棱柱的侧棱长为a，由题意可知,所以=2，底面三角形的高为，所以左视图矩形的面积为2×=2．
16.已知函数=Atan（x+）（），y=
的部分图象如下图，则 ．

第16题图
【测量目标】的图象与性质.
【考查方式】结合正切函数图象，在给定范围内求出周期，进而得出解析式和函数值.
【难易程度】中等
【参考答案】
【试题解析】由题意可知A=1，=，所以=2，函数的解析式为：
因为函数过（0，1），所以，1=tan，所以=，
所以则=tan（）=.
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=10
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求数列的前n项和．
【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式与前项和的关系.
【考查方式】已知递推关系求通项，再结合给出的关系式，求数列的前n项和.
【难易程度】容易
【试题解析】（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得
解得 故数列的通项公式为（步骤1）
（II）设数列的前项和为，即故（步骤2）
所以，当时，

（步骤3）
所以
综上，数列（步骤4）
18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD．
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．

第18题图
【测量目标】面面平行的判定，二面角.
【考查方式】给出空间线线、线面的关系，利用空间直角坐标系求解.
【难易程度】中等
【试题解析】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—.

第18题（I）图
（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.
则
所以（步骤1）
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
故PQ⊥平面DCQ. （步骤2）
又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. （步骤3）
（II）依题意有（1，0，1），
设是平面PBC的法向量，则
因此可取（步骤4）
设是平面PBQ的法向量，则
可取
故二面角Q—BP—C的余弦值为（步骤5）
19.（本小题满分12分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
品种甲
403
397
390
404
388
400
412
406
品种乙
419
403
412
418
408
423
400
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．
【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.
【考查方式】给出种植方式求分布列与数学期望，再根据样本方差与样本平均数判断应选品种.
【难易程度】中等
【试题解析】（IX可能的取值为0，1，2，3，4，且

即X的分布列为
X
0
1

3
4
P

（步骤1）

X的数学期望为
（步骤2）
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
（步骤3）

品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
（步骤4）
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.
20.（本小题满分12分）
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
（I）设，求与的比值；
（II）当变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由．

第20题图
【测量目标】椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系.
【考查方式】给出离心率求线段比值，判断在离心率变化时，是否存在直线使已知两直线平行.
【难易程度】较难
【试题解析】（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
(步骤1)
设直线，分别与，的方程联立，求得
(步骤2)
当表示的纵坐标，可知
(步骤3)
（II）=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率与AN的斜率相等，即

解得(步骤4)
因为(步骤5)
所以当时，不存在直线l，使得BOAN；
当时，存在直线l使得BOAN. (步骤6)
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（I）讨论的单调性；
（II）设，证明：当时，；

（III）若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0．
【测量目标】利用导数判断函数的单调性，利用导数解决不等式问题.
【考查方式】给出含参的函数式，利用导数判断函数的单调性，通过限定参数范围，证明不等式.
【难易程度】较难
【试题解析】（I）的定义域为
（i）若则所以在单调增加.
（ii）若则由得
且当时当时(步骤1)
所以单调增加，在单调减少. (步骤2)
（II）设函数则
(步骤3)
当时而.
故当， (步骤4)
（III）由（I）可得，当时函数的图象与轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为(步骤5)
不妨设则
由（II）得
又在单调递减，
从而于是(步骤6)
由（I）知， (步骤7)
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．
（I）证明：CD//AB；
（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F
四点共圆．

第22题图
【测量目标】直线与圆的位置关系.

【考查方式】根据圆的性质和直线的位置关系证明出线段的平行，结合圆和三角形中的角度关系证明圆上各点对应关系.
【难易程度】容易
【试题解析】（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD. （步骤1）
因为四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.
故∠ECD=∠EBA，所以CD//AB. （步骤2）
（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC. （步骤3）
连结AF，BG，则△EFA△EGB，故∠FAE∠GBE，（步骤4）
又CDAB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA. （步骤5）
所以∠AFG∠GBA=180.
故四点共圆.（步骤6）
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
【测量目标】极坐标与参数方程.
【考查方式】根据圆和椭圆的位置关系求出参数方程中各参数.
【难易程度】中等
【试题解析】（I）是圆，是椭圆.
当时，射线l与交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.
当时，射线l与交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1. （步骤1）
（II）的普通方程分别为（步骤2）
当时，射线l与交点的横坐标为，与交点的横坐标为

当时，射线l与的两个交点分别与关于x轴对称，因此，
四边形为梯形. （步骤3）
故四边形的面积为（步骤4）
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数=|x2|x5|．
（I）证明：3；
（II）求不等式x2x+15的解集．
【测量目标】不等式的证明，分段函数.
【考查方式】对绝对值函数的分段讨论，进而得出不等式的解集.
【难易程度】中等
【试题解析】（I）（步骤1）
当
所以 （步骤2）
（II）由（I）可知，
当的解集为空集；
当；
当.（步骤3）
综上，不等式 （步骤4）