2011年辽宁高考数学理科试卷(带详解).doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（理科）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.为正实数，为虚数单位，则 ( )A.2 B. C. D.1【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的除法形式，求解等式得出未知数.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】,.故选B2.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若，则( )A.M B.N C.I D.【测量目标】集合的基本运算（交集，并集，补集）.【考查方式】给出集合并集的结果求交集的结果.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】即是是的真子集，.3.已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )A. B.1 C. D.【测量目标】抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出抛物线上两点与焦点线段之和，利用准线求线段中点到轴的距离.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】F是抛物线的焦点F（）准线方程(步骤1)设A,B|AF|+|BF|=3解得（步骤2）线段AB的中点横坐标为线段AB的中点到轴的距离为.（步骤3）4.ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=，则 ( )A B C D【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形角与边满足的关系式，求两边的比值.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】=由正弦定理可知=（步骤1）=.（步骤2）5.从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（BA）= ( )A. B. C. D.【测量目标】随机事件与概率.【考查方式】给出两事件，通过求出两事件概率去求.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），=.（步骤1）事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），=（步骤2）=（步骤3）6.执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的是 ( )A.8 B.5 C.3 D.2第6题图 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出流程图，将数值带入算法求解.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】=1，满足条件4，则执行循环体，=0+1=1，=1，=1（步骤1）=2，满足条件4，则执行循环体，=1+1=2，=1，=2（步骤2）=3，满足条件4，则执行循环体，=1+2=3，=2，=3（步骤3）=4，不满足条件4，则退出执行循环体，此时=3.（步骤4） 7.设sin，则 ( )A. B. C. D.【测量目标】三角函数的诱导公式.【考查方式】给出三角函数的等式，求解的值.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由sin（）=sincos+cossin=（sin+cos）=，（步骤1）两边平方得：1+2sincos=，即2sincos=，则sin2=2sincos=故选A. （步骤2）8.如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是 ( )A.ACSB B.AB平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角第8题图 【测量目标】两条直线的位置关系，线面角，线面平行的判定.【考查方式】给出四棱锥图示，验证选项结论.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】SD底面ABCD，底面ABCD为正方形，连接BD，AC,则BDAC，根据三垂线定理，可得ACSB，故A正确；（步骤1）ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，AB平面SCD，故B正确；（步骤2）SD底面ABCD，是与平面所成角，是SC与平面SBD所成的角，而SAOCSO，ASO=CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；（步骤3）ABCD，AB与SC所成的角是SCD，DC与SA所成的角是SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；（步骤4）9.设函数，则满足的x的取值范围是 ( )A.，2 B.0，2 C.1，+ D.0，+【测量目标】指数函数与对数函数化简.【考查方式】给出分段函数模型，求满足不等式未知数的取值范围.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】当时，的可变形为，（步骤1）当1时，的可变形为，1，故x的取值范围0，+）（步骤2）10.若，均为单位向量，且，则的最大值为( )A. B.1 C. D.2【测量目标】向量的基本运算.【考查方式】给出向量满足的关系式，求某向量关系的最大值.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】又为单位向量，且=0，（步骤1）而=.的最大值为1（步骤2）11.函数的定义域为，对任意，则的解集为( )A.（，1） B（，+） C（，）D（，+）【测量目标】利用导数求函数的单调区间.【考查方式】给出函数满足的等式，求不等式解集.【难易程度】较难【参考答案】B【试题解析】设又对任意，即在上单调递增，则的解集为（1，+），即的解集为（1，+）故选B12.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，则棱锥SABC的体积为 ( )A B CD1【测量目标】圆的性质的应用，棱锥的体积.【考查方式】给出球直径，及内接三棱锥的部分棱长与角度，求三棱锥的体积.【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】设球心为点O，作AB中点D，连接SD，CD ,因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：SAC=SBC=90, 所以在RtSAC中，SC=4，ASC=30， 得：AC=2，SA=（步骤1）又在RtSBC中，SC=4，BSC=30 ，得：BC=2，SB=2 则SA=SB，AC=BC（步骤2）因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SDAB且SD=,在等腰三角形CAB中，CDAB且=（步骤3）又SD交CD于点D ，所以AB平面SCD ,即棱锥SABC的体积：V=.（步骤4）因为SD=，CD=，SC=4,由余弦定理得：cosSDC= =则sinSDC=（步骤5）由三角形面积公式得SCD的面积S=SDCDsinSDC=3（步骤6）所以棱锥SABC的体积：V=ABSSCD=.（步骤7）第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为 【测量目标】双曲线简单几何性质.【考查方式】定点在双曲线上，给出焦距，求双曲线离心率.【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】，的焦距为4，F1（2，0），F2（2，0），点（2，3）在双曲线上，2=，=1，=214.调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元【测量目标】线性回归方程.【考查方式】给出线性回归方程式，的增加一定值求增加的值.【难易程度】容易【参考答案】0.254【试题解析】对的回归直线方程=0.254（+1）+0.321，=0.254（+1）+0.3210.2540.321=0.254.15一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 第15题图 【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】给出三棱锥的体积，及俯视图，求三棱锥左视图的面积. 【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】设正三棱柱的侧棱长为a，由题意可知,所以=2，底面三角形的高为，所以左视图矩形的面积为2=216.已知函数=Atan（x+）（），y=的部分图象如下图，则 第16题图 【测量目标】的图象与性质. 【考查方式】结合正切函数图象，在给定范围内求出周期，进而得出解析式和函数值.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】由题意可知A=1，=，所以=2，函数的解析式为：因为函数过（0，1），所以，1=tan，所以=，所以则=tan（）=.三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=10 （I）求数列an的通项公式； （II）求数列的前n项和【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式与前项和的关系.【考查方式】已知递推关系求通项，再结合给出的关系式，求数列的前n项和.【难易程度】容易【试题解析】（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得 故数列的通项公式为（步骤1） （II）设数列的前项和为，即故（步骤2） 所以，当时， （步骤3）所以综上，数列（步骤4）18（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD （I）证明：平面PQC平面DCQ； （II）求二面角QBPC的余弦值第18题图 【测量目标】面面平行的判定，二面角.【考查方式】给出空间线线、线面的关系，利用空间直角坐标系求解.【难易程度】中等【试题解析】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D.第18题（I）图 （I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则所以（步骤1）即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ. （步骤2）又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. （步骤3） （II）依题意有（1，0，1），设是平面PBC的法向量，则因此可取（步骤4）设是平面PBQ的法向量，则可取故二面角QBPC的余弦值为（步骤5）19.（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙 （I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望； （II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出种植方式求分布列与数学期望，再根据样本方差与样本平均数判断应选品种.【难易程度】中等【试题解析】（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且即X的分布列为X0134P（步骤1） X的数学期望为 （步骤2） （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：（步骤3） 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：（步骤4）由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D （I）设，求与的比值； （II）当变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由 第20题图 【测量目标】椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】给出离心率求线段比值，判断在离心率变化时，是否存在直线使已知两直线平行. 【难易程度】较难【试题解析】（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设(步骤1)设直线，分别与，的方程联立，求得 (步骤2)当表示的纵坐标，可知 (步骤3) （II）=0时的l不符合题意.时，BO/AN当且仅当BO的斜率与AN的斜率相等，即解得(步骤4)因为(步骤5)所以当时，不存在直线l，使得BOAN； 当时，存在直线l使得BOAN. (步骤6)21.（本小题满分12分）已知函数 （I）讨论的单调性； （II）设，证明：当时，； （III）若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）0【测量目标】利用导数判断函数的单调性，利用导数解决不等式问题.【考查方式】给出含参的函数式，利用导数判断函数的单调性，通过限定参数范围，证明不等式.【难易程度】较难【试题解析】（I）的定义域为 （i）若则所以在单调增加. （ii）若则由得且当时当时(步骤1)所以单调增加，在单调减少. (步骤2) （II）设函数则(步骤3)当时而.故当， (步骤4) （III）由（I）可得，当时函数的图象与轴至多有一个交点，故，从而的最大值为(步骤5)不妨设则由（II）得又在单调递减，从而于是(步骤6) 由（I）知， (步骤7)请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED （I）证明：CD/AB； （II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆第22题图 【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】根据圆的性质和直线的位置关系证明出线段的平行，结合圆和三角形中的角度关系证明圆上各点对应关系.【难易程度】容易【试题解析】（I）因为EC=ED，所以EDC=ECD. （步骤1）因为四点在同一圆上，所以EDC=EBA. 故ECD=EBA，所以CD/AB. （步骤2） （II）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故EFD=EGC从而FED=GEC. （步骤3） 连结AF，BG，则EFAEGB，故FAE=GBE，（步骤4）又CDAB，EDC=ECD，所以FAB=GBA. （步骤5）所以AFGGBA=180.故四点共圆.（步骤6）23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：=与C1，C2各有一个交点当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合 （I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值； （II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】根据圆和椭圆的位置关系求出参数方程中各参数.【难易程度】中等【试题解析】（I）是圆，是椭圆. 当时，射线l与交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3. 当时，射线l与交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1. （步骤1） （II）的普通方程分别为（步骤2） 当时，射线l与交点的横坐标为，与交点的横坐标为 当时，射线l与的两个交点分别与关于x轴对称，因此，四边形为梯形. （步骤3） 故四边形的面积为（步骤4）24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数=|x2|x5| （I）证明：3； （II）求不等式x2x+15的解集【测量目标】不等式的证明，分段函数.【考查方式】对绝对值函数的分段讨论，进而得出不等式的解集.【难易程度】中等【试题解析】（I）（步骤1） 当 所以 （步骤2） （II）由（I）可知， 当的解集为空集； 当； 当.（步骤3） 综上，不等式 （步骤4）