2011年湖南省高考数学试卷(文科)答案与解析.doc

2011年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）（2011湖南）设全集U=MN=1，2，3，4，5，MUN=2，4，则N=（）A1，2，3B1，3，5C1，4，5D2，3，4【考点】交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【分析】利用集合间的关系，画出两个集合的韦恩图，结合韦恩图求出集合N【解答】解：全集U=MN=1，2，3，4，5，MCuN=2，4，集合M，N对应的韦恩图为所以N=1，3，5故选B【点评】本题考查在研究集合间的关系时，韦恩图是常借用的工具考查数形结合的数学思想方法2（5分）（2011湖南）若a，bR，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）Aa=1，b=1Ba=1，b=1Ca=1，b=1Da=1，b=1【考点】复数相等的充要条件菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到a，b的值【解答】解：（a+i）i=b+i，ai1=b+i，a=1，b=1，故选C【点评】本题考查复数的乘法运算，考查复数相等的条件，是一个基础题，这种题目一般出现在试卷的前几个题目中3（5分）（2011湖南）“x1”是“|x|1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【考点】充要条件菁优网版权所有【专题】简易逻辑【分析】解绝对值不等式，进而判断“x1”“|x|1”与“|x|1”“x1”的真假，再根据充要条件的定义即可得到答案【解答】解：当“x1”时，“|x|1”成立，即“x1”“|x|1”为真命题，而当“|x|1”时，x1或x1，即“x1”不一定成立，即“|x|1”“x1”为假命题，“x1”是“|x|1”的充分不必要条件故选A【点评】本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“x1”“|x|1”与“|x|1”“x1”的真假，是解答本题的关键4（5分）（2011湖南）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A9+42B36+18CD【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加【解答】解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积332=18，球的体积是，几何体的体积是18+，故选D【点评】本题考查由三视图求面积和体积，考查球体的体积公式，考查四棱柱的体积公式，本题解题的关键是由三视图看出几何图形，是一个基础题5（5分）（2011湖南）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，附表：p（k2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【考点】独立性检验的应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”【解答】解：由题意知本题所给的观测值，7.86.635，这个结论有0.01=1%的机会说错，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”故选A【点评】本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较大，主要要考查运算能力，本题有所创新，只要我们看出观测值对应的意义就可以，是一个基础题6（5分）（2011湖南）设双曲线的渐近线方程为3x2y=0，则a的值为（）A4B3C2D1【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再求a的值【解答】解：的渐近线为y=，y=与3x2y=0重合，a=2故选C【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用7（5分）（2011湖南）曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（）ABCD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=处的导数，从而求出切线的斜率【解答】解：y=y|x=|x=故选B【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算能力，属于基础题8（5分）（2011湖南）已知函数f（x）=ex1，g（x）=x2+4x3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）AB（2，2+）C1，3D（1，3）【考点】函数的零点与方程根的关系菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可【解答】解：f（a）=g（b），ea1=b2+4b3b2+4b2=ea0即b24b+20，求得2b2+故选B【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）9（5分）（2011湖南）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p（cossin）+1=0，则C1与C2的交点个数为2【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先根据同角三角函数的关系消去参数可求出曲线C1的普通方程，然后利用极坐标公式2=x2+y2，x=cos，y=sin进行化简即可求出曲线C2普通方程，最后利用直角坐标方程判断C1与C2的交点个数即可【解答】解：由曲线C2的方程为p（cossin）+1=0，xy+1=0即y=x+1；将曲线C1的参数方程化为普通方程为消去y整理得：7x2+8x8=00，此方程有两个不同的实根，故C1与C2的交点个数为2故答案为2【点评】本题主要考查椭圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程，求直线与椭圆的交点个数，考查运算求解能力及转化的思想，属于基础题10（2011湖南）【选做】已知某试验范围为10，90，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是40或60（只写出其中一个也正确）【考点】分数法的最优性菁优网版权所有【分析】由题知试验范围为10，90，区间长度为80，故可把该区间等分成8段，利用分数法选取试点进行计算【解答】解：由已知试验范围为10，90，可得区间长度为80，将其等分8段，利用分数法选取试点：x1=10+（9010）=60，x2=10+9060=40，由对称性可知，第二次试点可以是40或60故答案为：40或60【点评】本题考查的是分数法的简单应用一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑：（1）可能的试点总数正好是某一个（Fn1）（2）所有可能的试点总数大于某一（Fn1），而小于（Fn+11）11（5分）（2011湖南）若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=4，x4=8则输出的数等于【考点】循环结构菁优网版权所有【专题】算法和程序框图【分析】先根据流程图分析出该算法的功能，然后求出所求即可【解答】解：该算法的功能是求出四个数的平均数故输出的数=故答案为：【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图（从流程图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型），根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模12（5分）（2011湖南）已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（2）=3，则f（2）=6【考点】函数奇偶性的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】将等式中的x用2代替；利用奇函数的定义及g（2）=3，求出f（2）的值【解答】解：g（2）=f（2）+9f（x）为奇函数f（2）=f（2）g（2）=f（2）+9g（2）=3所以f（2）=6故答案为6【点评】本题考查奇函数的定义：对于定义域中的任意x都有f（x）=f（x）13（5分）（2011湖南）设向量，满足|=2，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为（4，2）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有【专题】计算题【分析】要求向量的坐标，我们可以高设出向量的坐标，然后根据与的方向相反，及|=2，我们构造方程，解方程得到向量的坐标【解答】解：设=（x，y），与的方向相反，故=（2，）（0）又|=2，52=20解得=2则=（4，2）故答案为（4，2）【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量模的计算，其中根据与的方向相反，给出向量的横坐标与纵坐标之间的关系是解答本题的关键14（5分）（2011湖南）设m1，在约束条件 下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为3【考点】简单线性规划的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；数形结合【分析】根据m1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+5y在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m 的取值范围【解答】解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：目标函数z=x+5y可看做斜率为的动直线，其纵截距越大z越大，由可得A点（，）当x=，y=时，目标函数z=x+5y取最大值为4，即；解得m=3故答案为：3【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中判断出目标函数z=x+my在点取得最大值，并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键15（5分）（2011湖南）已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25（1）圆C的圆心到直线l的距离为5；（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为【考点】直线与圆的位置关系；几何概型；点到直线的距离公式菁优网版权所有【专题】直线与圆【分析】（1）根据所给的圆的标准方程，看出圆心，根据点到直线的距离公式，代入有关数据做出点到直线的距离（2）本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60，根据几何概型概率公式得到结果【解答】解：（1）由题意知圆x2+y2=12的圆心是（0，0），圆心到直线的距离是d=5，（2）圆心C到直线l的距离是5，到直线l的距离是3，则劣弧AB所对应的弧上的点到直线l的距离都小于2，优弧AB所对应的弧上的点到直线l的距离都大于2，AC=2，CD=3，AD=，AB=2，ACB=60，根据几何概型的概率公式得到P=故答案为：5；【点评】本题考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系，考查几何概型的概率公式，本题是一个基础题，运算量不大16（5分）（2011湖南）给定kN*，设函数f：N*N*满足：对于任意大于k的正整数n：f（n）=nk（1）设k=1，则其中一个函数f（x）在n=1处的函数值为a（a为正整数）；（2）设k=4，且当n4时，2f（n）3，则不同的函数f的个数为16【考点】函数的概念及其构成要素；分步乘法计数原理菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；探究型【分析】题中隐含了对于小于或等于K的正整数n，其函数值也应该是一个正整数，但是对应法则由题意而定（1）n=k=1，题中给出的条件“大于k的正整数n”不适合，但函数值必须是一个正整数，故f（1）的值是一个常数（正整数）；（2）k=4，且n4，与条件“大于k的正整数n”不适合，故f（n）的值在2、3中任选其一，再由乘法原理可得不同函数的个数【解答】解：（1）函数f：N*N*满足：对于任意大于k的正整数n：f（n）=nk，对应法则f是正整数到正整数的映射，k=1，从2开始都是一一对应的，而且可以和任何一个正整数对应，其中一个函数f（x）在n=1处的函数值为a（a为正整数），f（1）=a（a为正整数）即f（x）在n=1处的函数值为 a（a为正整数）（2）n4，k=4，f（n）为正整数且2f（n）3f（1）=2或3且f（2）=2或3且f（3）=2或3且f（4）=2或3根据分步计数原理，可得共24=16个不同的函数故答案为：a（a为正整数）；16【点评】本题题意有点含蓄，发现题中的隐含条件，是解决本题的关键，掌握映射与函数的概念是本题的难点三、解答题（共6小题，满分75分）17（12分）（2011湖南）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC（1）求角C的大小；（2）求sinAcos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小【考点】三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）利用正弦定理化简csinA=acosC求出tanC=1，得到C=（2）B=A，化简sinAcos （B+）=2sin（A+）因为0A，推出求出2sin（A+）取得最大值2得到A=，B=【解答】解：（1）由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC，因为0A，所以sinA0从而sinC=cosC，又cosC0，所以tanC=1，C=（2）有（1）知，B=A，于是=sinA+cosA=2sin（A+）因为0A，所以从而当A+，即A=时2sin（A+）取得最大值2综上所述，cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=【点评】本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型18（12分）（2011湖南）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160（）完成如下的频率分布表近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率（）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率【考点】频率分布表；互斥事件的概率加法公式菁优网版权所有【专题】应用题；综合题【分析】（）从所给的数据中数出降雨量为各个值时对应的频数，求出频率，完成频率分布图（）将发电量转化为降雨量，利用频率分布表，求出发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率【解答】解：（）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为：降雨量70110140160200220频率（）根据题意，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；则Y=460+5=X+425，解可得，X130或X210；故P=P（Y490或Y530）=P（X130或X210）=P（X=70）+P（X=110）+P（X=220）=故今年六月份该水利发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为：【点评】本题考查频率公式：频率=；考查将问题等价转化的能力19（12分）（2011湖南）如图，在圆锥PO中，已知PO=，OD的直径AB=2，点C在上，且CAB=30，D为AC的中点（）证明：AC平面POD；（）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值【考点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】（I）由已知易得ACOD，ACPO，根据直线与平面垂直的判定定理可证（II）由（I）可证面POD平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OHPD于H，则OH平面PAC，OCH是直线OC和平面PAC所成的角，在RtOHC中，求解即可【解答】解（I）因为OA=OC，D是AC的中点，所以ACOD又PO底面O，AC底面O所以ACPO，而OD，PO是平面内的两条相交直线所以AC平面POD（II）由（I）知，AC平面POD，又AC平面PAC所以平面POD平面PAC在平面POD中，过O作OHPD于H，则OH平面PAC连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以OCH是直线OC和平面PAC所成的角在RtODA中，OD=DAsin30=在RtPOD中，OH=在RtOHC中，故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，空间直线与平面所成角的求解，考查了运算推理的能力及空间想象的能力20（13分）（2011湖南）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%（）求第n年初M的价值an的表达式；（）设，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新证明：须在第9年初对M更新【考点】分段函数的应用；数列与函数的综合菁优网版权所有【专题】综合题【分析】（I）通过对n的分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式求出第n年初M的价值an的表达式；（II）利用等差数列、等比数列的前n项和公式求出An，判断出其两段的单调性，求出两段的最小值，与80比较，判断出须在第9年初对M更新【解答】解：（I）当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列an=12010（n1）=13010n当n6时，数列an是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6=70所以因此，第n年初，M的价值an的表达式为（II）设Sn表示数列an的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得当1n6时，Sn=120n5n（n1），An=1205（n1）=1255n当n7时，由于S6=570故Sn=S6+（a7+a8+an）=因为an是递减数列，所以An是递减数列，又所以须在第9年初对M更新【点评】本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式、考查等比数列的通项公式及前n项和公式、考查分段函数的问题要分到研究21（13分）（2011湖南）已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1（）求动点P的轨迹C的方程；（）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；抛物线的定义菁优网版权所有【专题】计算题；综合题；压轴题；分类讨论；函数思想；方程思想【分析】（）设动点P的坐标为（x，y），根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程，并化解即可求得动点P的轨迹C的方程；（）设出直线l1的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l2的方程与抛物线的交点坐标，代入利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值【解答】解：（）设动点P的坐标为（x，y），由题意得，化简得y2=2x+2|x|当x0时，y2=4x；当x0时，y=0，所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x0）和y=0（x0）（）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的方程为y=k（x1）由，得k2x2（2k2+4）x+k2=0设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=2+，x1x2=1l1l2，直线l2的斜率为设D（x3，y3），E（x4，y4），则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1故=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+x3+x4+11+2+1+1+2+4k2+1=8+4（k2+）8+42=16，当且仅当k2=，即k=1时，的最小值为16【点评】此题是个难题考查代入法求抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力22（13分）（2011湖南）设函数f（x）=xalnx（aR）（）讨论函数f（x）的单调性（）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）的直线斜率为k问：是否存在a，使得k=2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件菁优网版权所有【专题】计算题；综合题；压轴题；分类讨论【分析】（）求导，令导数等于零，解方程，跟据f（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（）假设存在a，使得k=2a，根据（I）利用韦达定理求出直线斜率为k，根据（I）函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题【解答】解：（I）f（x）定义域为（0，+），f（x）=1+，令g（x）=x2ax+1，=a24，当2a2时，0，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增，当a2时，0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+）上，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增，当a2时，0，g（x）=0的两根为x1=，x2=，当0xx1时，f（x）0；当x1xx2时，f（x）0；当xx2时，f（x）0；故f（x）分别在（0，x1），（x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减（）由（I）知，a2因为f（x1）f（x2）=（x1x2）+a（lnx1lnx2），所以k=1+a，又由（I）知，x1x2=1于是k=2a，若存在a，使得k=2a，则=1，即lnx1lnx2=x1x2，亦即 （*）再由（I）知，函数在（0，+）上单调递增，而x21，所以112ln1=0，这与（*）式矛盾，故不存在a，使得k=2a【点评】此题是个难题考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f（x）=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力15