高考数学易错题解题方法(1)共7套免费.doc

高考数学易错题解题方法（1）(共7套)
一.选择题
【范例1】已知集合A={x|x=2n—l，n∈Z}，B={x|x2一4x<0}，则A∩B=（ ）
A． B． C． D．{1，2，3，4}
答案：C
【错解分析】此题容易错选为B，错误原因是对集合元素的误解。
【解题指导】集合A表示奇数集，集合B={1，2，3，4}.
【练习1】已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【范例2】若A、B均是非空集合，则A∩B≠φ是AB的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
答案：B
【错解分析】考生常常会选择A，错误原因是混淆了充分性，与必要性。
【解题指导】考查目的：充要条件的判定。
【练习2】已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围可以是（ ）
A．； B．； C．； D．；
【范例3】定义在R上的偶函数满足，且在[-1，0]上单调递增，设， ，，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【错解分析】此题常见错误A、B，错误原因对这样的条件认识不充分，忽略了函数的周期性。
【解题指导】 由可得，是周期为2 的函数。利用周期性和奇偶性将转化为[-1，0]的函数值，再利用单调性比较.
【练习3】设函数f (x)是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，若，，则的取值范围是（ ）
A.(－∞, 0) B.(0, 3) C.(0, +∞) D.(－∞, 0)∪(3, +∞)
【范例4】的值为（ ）
A．－4 B．4 C．2 D．－2
答案：D
【错解分析】此题常见错误A、C，错误原因是对两倍角公式或对对数运算性质不熟悉。
【解题指导】结合对数的运算性质及两倍角公式解决.
【练习4】式子值是（ ）
A．－4 B．4 C．2 D．－2
【范例5】设是方程的解，且，则（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
答案：C
【错解分析】本题常见错误为D，错误原因没有考虑到函数y=8-x与y=lgx图像的结合。
【解题指导】考查零点的概念及学生的估算能力.
【练习5】方程的实数根有( )个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【范例6】已知∠AOB=lrad，点Al，A2，…在OA上，
B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和
虚线段氏均为1个单位，一个动点M从O点
出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速
运动，速度为l单位／秒，则质点M到达A10
点处所需要的时间为( ) 秒。

A．62 B．63 C．65 D．66
答案：C
【错解分析】本题常见错误B、D，这样的错误常常由于是信息图片信息把握力不强。
【解题指导】本题综合考察等差数列求和，及扇形的弧长公式。要细读题，理解动点的运动规律。
【练习6】如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：

1
2
13
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
原点处标0，点（1，0）处标1，点（1，-1）处
标2，点（0，-1）处标3，点（-1，-1）处标4，
点（-1，0）标5，点（-1，1）处标6，点（0，1）
处标7，以此类推，则标签的格点的坐标
为( )
A．(1005,1004) B．(1004.1003)
C．(2009,2008) D．(2008,2007)

二.填空题

O
P1
P0
P2
【范例7】如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置开
始沿单位圆按逆时针方向运动角（）到达点，
然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横
坐标为，则的值等于 .
答案：

【错解分析】本题常见错误写成的相反数，这样的错误常常是忽略角度所在的象限。
【解题指导】本题主要考察三角函数的定义，及对两角和与差公式的理解。
【练习7】已知 .
【范例8】已知向量，其中、均为非零向量，则的取值范围是 .
答案：
【错解分析】本题常见错误五花八门，错误原因是没有理解向量的模的不等式的性质。
【解题指导】分别表示与、同向的单位向量,
【练习8】△ABC中，，，则的最小值是 .
【范例9】若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
答案：
【错解分析】解含绝对值不等式也是考生常常出现错误的，错误原因有解法单一，比如只会运用去绝对值的方法，这样会导致计算量较多，易错。通常简捷的方法可以是利用绝对值的几何意义。
【解题指导】由绝对值的几何意义知的最小值为3.
【练习9】不等式｜x＋1｜(2x－1)≥0的解集为 .
【范例10】圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为 .
答案：1∶3
【错解分析】圆与直线的位置关系的错误点通常是考生找错了圆的圆心，判断不了圆的位置，在花函数图像是产生了偏差。
【解题指导】对直线与圆的位置关系通常考查两点，（1）直线与圆相切时利用d=r建立关系式，
（2）直线与圆相交时画图利用勾股定理建立关系式.
【练习10】已知直线与圆交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足|+|=|-|，则实数的值是 .
【范例11】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为__________.
答案：8π
【错解分析】球体是近年高考通常所设计的集合体，通常也是考生容易
出错的一个地方，通常的错误是对球体的与题目结合时候空间想象力缺乏
导致，或者计算的时候计算不出球的半径等。
【解题指导】过球心与小圆圆心做球的截面，转化为平面几何来解决.
【练习11】如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方
体和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是 ．
【范例12】已知过点的直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于、两点，则的面积最小为 .
答案：4
【错解分析】本题考查均值不等式和数形结合，也是考生容易错误的地方，例如不会利用均值不等式，或者没有看出均值不等式中隐含的“面积”。
【解题指导】设直线方程为,代点得: .由于,所以,所以

【练习12】函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 .
三.解答题
【范例13】已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．
【错解分析】本题易错点（1）在于计算椭圆的方程的量本身就大，方法和计算技巧的运用很重要。
解：（1）点A代入圆C方程，得．
∵m＜3，∴m＝1．圆C：．
设直线PF1的斜率为k，则PF1：，
即．∵直线PF1与圆C相切，∴．解得．
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．
2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．
椭圆E的方程为：．
（2），设Q（x，y），，．
∵，即
而，∴－18≤6xy≤18．
∴的取值范围是[0，36]，
即的取值范围是[－6，6]．
∴的取值范围是[－12，0]．
【练习13】已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.
（1）求点G的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.
【范例14】如图，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），点P在BC边上移动，线段OP的垂直平分线交y轴于点E，点M满足
（1）求点M的轨迹方程；
（2）已知点F（0，），过点F的直线l交点M的轨迹于Q、R两点，且求实数的取值范围.

【错解分析】向量的综合题型考察的范围可以很广，这样的题型容易产生画图不准确，题意模糊的错误，导致考生无法作答，因此要理解题意，把握条件，学会精确画图。
解:（1）依题意，设P（t,2）（－2≤t≤2），M（x，y）.
当t=0时，点M与点E重合，则M=（0，1），
当t≠0时，线段OP的垂直平分线方程为：

显然，点（0，1）适合上式 .故点M的轨迹方程为x2=－4(y－1)( －2≤x≤2)
（2）设得x2+4k－2=0.
设Q（x1,y1）、R（x2,y2），则
,.消去x2，得.
解得

【练习14】已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.
（1）写出抛物线C的方程；
（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；
（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.
【范例15】如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，，，，点分别为的中点。
⑴求证：；
⑵求直线与平面所成的角的大小；

⑶求二面角的正切值。
【错解分析】立体几何是高考的必考内容，容易错误的地方通常是求二面角的大小，因此要归纳总结通常寻找二面角的平面角的方法。

解：⑴连结。在中，
，点为的中点，
又面，即为在平面内的射影

分别为的中点

⑵面，
连结交于点，，
平面
为直线与平面所成的角，且
面，，又
，，
在中，，
⑶过点作于点，连结，，
面，即为在平面内的射影
，为二面角的平面角
中，，
【练习15】如图所示，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点。
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求直线与平面所成的角的正弦值。

练习题参考答案：
1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A
7. －1 8. 9. 10. 2或-2 11. 12. 4
13. 解：（1）Q为PN的中点且GQ⊥PN
GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是。
（2）因为，所以四边形OASB为平行四边形
若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形
若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由
矛盾，故l的斜率存在.
设l的方程为

①
②
把①、②代入
∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等.
14. 解：（1）抛物线方程为：y2=2x.
（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-)，代入y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+.
设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.
设△AOB的重心为G（x，y）则，消去k得y2=为所求，
②当直线垂直于x轴时，A（，1），B（，-1），△AOB的重心G（，0）也满足上述方程.
综合①②得，所求的轨迹方程为y2=，
（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=，
根据圆的性质有：|MN|=2.
当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，
设P点坐标为(x0，y0)，则y=2x0.|PQ|2=（x0-3）2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，
∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5，
故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值.

15. 解法一：（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点，
D为AC中点，PD//.
又PD平面D，//平面D
（2）正三棱住， 底面ABC。
又BDACBD
就是二面角的平面角。
=，AD=AC=1tan =
=, 即二面角的大小是
（3）由（2）作AM，M为垂足。
BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=AC
BD平面，AM平面，BDAM
BD = DAM平面，连接MP，则就是直线与平面D所成的角。
=，AD=1，在RtD中，=，
，,
直线与平面D所成的角的正弦值为
解法二：（1）同解法一（2）如图建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）
=（-1，，-），=（-1，0，-）
设平面的法向量为n=（x，y，z）
则n
n
则有，得n=（，0，1）
由题意，知=（0，0，）是平面ABD的一个法向量。
设n与所成角为，则，
二面角的大小是
（3）由已知，得=（-1，，），n=（，0，1）则
直线与平面D所成的角的正弦值为.

10