数学：2.2.4点到直线的距离--教案(新人教B版必修2).doc

《点到直线的距离》说案
各位老师，大家好！我说课的内容是《点到直线的距离》．我将通过教材分析、目标分析、教学方法、教学程序和板书设计五个部分，阐述本课的教学设计．
一、教材分析
1．教学内容
这节课是新教材高二第二学期§11．4“点到直线的距离”的第一节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．
2．地位与作用
本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．本节课是解析几何的重要内容，对本节的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用．
二、目标分析
１．学情分析
　 我校高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．我班学生基础知识比较扎实、思维活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高．
２．教学目标
根据新课程标准的理念以及前面对教材、学情的分析，我制定了如下教学目标．
（1）知识与技能目标
理解点到直线的距离公式的推导过程；掌握点到直线的距离公式；掌握点到直线的距离公式的应用．
（2）过程与方法目标
通过对公式推导方法的探索与发现，体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，提高观察、类比、抽象、概括、数形结合等能力。
（3）情感、态度与价值观
通过对问题的探究活动，获得成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，优化数学思维品质。
３．教学重点、难点
　根据刚才对教材的分析和学生情况的分析，本节课教学重点设置为：
【重点】
⑴ 点到直线的距离公式的推导思路；
⑵ 点到直线的距离公式的应用．[来源:Zxxk.Com]
【难点】
用向量的方法推导点到直线的距离公式．
【难点突破】
二期课改数学教材是用向量来推导“点到直线的距离”的公式，与传统的解析法不同。但这种方法在思维上有较高的难度，如果把推导过程一步步讲给学生听，这样做有悖学生的认知规律。所以我在教案设计时把重点放在用向量来推导“点到直线的距离”的公式的思维过程是怎样产生的这一环节上。
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用类比归纳的思想，由浅入深，让学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助于多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过逐步深入的课堂练习，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．
三、教学方法
  教学方法的选择是以教学内容为载体，以学生参与为标志，以启迪学生思维、培养学生创新能力为核心，以育人为宗旨的。数学的高度抽象性，造成了许多学生害怕数学的心理。作为一名数学教师，我觉得我们在教给学生知识的同时，更应该关注学习者的感受体验和思考过程。因此，在数学公式的教学中，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系．即要使学生“知其然”且 “知其所以然”。
1．教法。在教学方法的选择上我考虑到高中生的心理特征和现有的知识水平等特征,主要采用启发式教学法和类比发现式教学模式，从学生熟知的实际生活背景出发，激发学生求知欲，引导学生积极参与课堂活动；考虑到公式的推导过程含有字母运算，比较抽象，为帮助学生更好地理解，因此采用由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，通过设计三个由浅入深的问题，让学生的思维活动层层展开，步步深入。
另外，利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．
    2．学法。 在学习中，应关注平时抽象思维较弱的学生，鼓励他们积极参与，在解决一些具体问题的过程中增强学好数学的信心；对于平时抽象思维较高的学生，应积极引导他们学会合作、交流，在抽象概括环节中进一步提高其抽象思维能力。
因此，在教学中始终坚持“以学生为主体，教师为主导”的原则，通过问题设置让学生主动参与思考和探究,让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化的数学思维能力，逐步将知识内化为自身的认识结构。总之，本堂课倡导的是：以“主动参与、乐于探究交流合作”为主要特征的学习方式。.
四、教学程序
　从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动，在数学活动过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质。基于这一理论，本课分为以下几个教学环节．
1．创设情境，提出问题
在教学环节1中，我从学生的生活经验和已有的知识背景出发来创设情景，如让学生欣赏地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离等生活图片，并给出一个具体实例：当火车在高速行驶时，如果旅客离铁轨中心的距离小于的安全距离时，就可能被吸入车轮下而发生危险。通过这些例子让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”和我们的生活息息相关，从而有效调动学生的学习兴趣．并引发思考：如何求点到直线的距离呢？带着这个问题，教学进入下一环节。
2．师生互动，探究问题
在这一环节中，师生共同探讨如何求点到直线的距离．考虑到如果直接给出点的坐标和直线的一般式方程，由于含有字母运算，比较抽象，不符合学生的认知规律，也容易打消学生学习数学新知识的积极性。因此我采用由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，以问题的形式，设置了两个由浅入深的具体问题，为后面研究一般情况作好铺垫．
问题1 如何求点到直线的距离？
问题1中，由于点和直线的位置非常特殊，学生比较容易回答，可以鼓励利用多种解法解决本问题，并让平时数学学习有困难的学生来回答，让他们感受成功的喜悦。

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方法① 利用定义。这儿在求Q点的坐标时可帮助学生
一起复习直线方程和两条直线的交点等知识。
方法② 利用三角函数。这种方法强调了数形结合的思想。
由于直线倾斜角为，学生容易联想利用三角
函数知识解决问题。
问题2 如何求点到直线的距离？

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本题中直线和点的位置相对一般，但有了问题1，学生肯定会类比思考，但在实际操作中会碰到困难，如在方法②中点可以在直线上任意选取，但如何求夹角呢？教师可以给学生一定的时间思考和交流，巡视了解学生的做法，对有困难的学生给予启发指导，帮助其树立克服困难的信心。
（设计意图：为了推导点到直线的距离公式，学生会
面临比较抽象的字母运算．通过补充两个由浅入深的具
体问题，使学生能够类比思考，解决当点和直线处在一般
位置时，点到直线的距离的求法．）

[来源:Zxxk.Com]

3．类比联想，解决问题
在解决问题1、2的基础上，将点和直线的位置推广到一般情况，进一步提出问题3．[来源:Zxxk.Com]
问题3 如何求点到直线（）的距离？

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通过前面两个问题，学生已经积累了一些求点到直线距离的经验和方法，尽管含有字母，但难度明显降低，学生肯定会类比考虑刚才的方法，但同时又碰到新的困难，如方法①利用定义，将点到直线的距离转化为点与垂足两点之间距离来处理．这种方法虽然直观自然，但运算较繁琐，同样方法②求点的坐标和夹角运算也很繁琐。
这时教师可以引导学生尝试其它的方法：方法②中能否
将角的正弦转化为角的余弦呢？的几何意义是什
么？学生不难想到在方向上的投影。由此引导学生
借助于方法③向量的数量积来推导
公式。在这一过程中，学生可能会遇到无法表示的困难，
可引导学生用直线的法向量来代换，又考虑到法向量有两个方向，因此可能有正负两种可能，因此得。接下来老师和学生一起完整地写出推导过程，既是帮助学生复习向量的知识，又能让学生体会到利用向量推导公式相比前两种方法计算的简便性和向量在解决几何问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性。
在学生通过多种方法推导得出公式后，引导学生根据公式的形式特点，记忆公式．同时强调：当时，公式仍然适用，也可以结合图象直接求出结论．
点到直线的距离公式
点到直线（其中）的距离
[来源:学科网]
在此基础上，要求学生再利用公式计算问题1、2，并与前面的计算结果进行比较，前后呼应。
4．　即时训练，巩固新知
点到直线的距离公式的应用是本课的一个重点，为了强化学生对公式的记忆和运用，在这一环节中给出下面两个例题：
例1 求点到下列直线的距离：
⑴　 ⑵　 ⑶　⑷　
（设计意图：通过给出直线方程的不同形式，在练习中强化学生对公式的记忆和应用．同时，“代入公式计算前，首先应将直线方程化为一般式，以便确定系数的值”是学生在应用公式中，容易忽略的环节．）
例2 直线 l经过点 P (-2,1),且A (-1,-2)到l的距离等于1,求直线l的方程 ．[来源:Z。xx。k.Com]
在教学中我们经常会遇到这样的现象：很多中学生在解题时往往只关心解题的方法，解完一道题后就觉得万事大吉，而对推理过程中重要的细节问题则常常容易忽视，出现错解、漏解的现象较多。例2正是出于这样的设计意图，通过对学生在设直线方程的过程中产生的漏解问题，鼓励学生寻找思维上的漏洞，使学生在 “错误体验”中 加深记忆，突出几何直观和数形结合的思想方法，培养学生自我发现自我补充的学习能力，增强思维的批判性。
5．　总结反思，提高认识
由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容。教师加以补充说明．
⑴ 点到直线的距离公式的不同的推导方法；
⑵ 点到直线的距离公式；
⑶ 点到直线的距离公式的应用前提条件．
通过小结，使学生本节所学的知识系统化、条理化，进一步巩固知识，明确方法．
课后作业
（1）推导两条平行直线的距离公式(进一步让学生体会类比化归的思想方法，培养数学迁移能力)
（2） 教材P24练习11.4(1)
五、板书设计

课题：点到直线的距离
㈠ 公式推导过程
1．问题1 如何求点到直线的距离？
2．问题2 如何求点到直线的距离？
3．问题3 如何求点到直线
的距离（）？
方法① 利用定义
方法② 利用三角函数
方法③ 利用平面向量的数量积
㈡ 典型例题 ㈢ 课后作业
例1 例2　　　　

◆点到直线的距离公式

◆运用公式的注意点

◆课堂小结