初二函数知识点及经典例题.pdf

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是否有唯一确定的值与之对应3、定义域:3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法：4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；(2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零;(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5、函数的解析式：5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象7、描点法画函数图形的一般步骤7、描点法画函数图形的一般步骤第一步:列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）.8、函数的表示方法8、函数的表示方法列表法:一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法:简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示.图象法:形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系.（二二）一次函数一次函数1、一次函数的定义1、一次函数的定义一般地，形如(，是常数，且）的函数，叫做一次函数,ykxbkb0k 其中 x 是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。0b ykx一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函ykxb数，就是判断是否能化成以上形式当,时，仍是一次函数0b 0k ykx当，时，它不是一次函数0b 0k 正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数2、正比例函数及性质2、正比例函数及性质一般地，形如 y=kx（k 是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数。注：正比例函数一般形式 y=kx（k 不为零)k 不为零 x 指数为 1 b 取零当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y也增大；当 k0 时,直线 y=kx 经过二、四象限,从左向右下降，即随 x 增大 y 反而减小(1)解析式解析式:y=kx（k 是常数,k0）(2)必过点必过点：（0，0）、（1，k)(3)走向：走向：k0 时，图像经过一、三象限；k0 时，向上平移;当 b0 时，向下平移)（1)解析式（1)解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k0)(2)必过点(2)必过点：（0，b）和（，0）kb(3）走向：(3）走向：k0，图象经过第一、三象限；k0,图象经过第一、二象限;b0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位.一次函数0kkxb k0k 0k,kb符号0b 0b 0b 0b 0b 0b 图象性质随的增大而增大yx随的增大而减小yx4、一次函数 y=kxb 的图象的画法。4、一次函数 y=kxb 的图象的画法。根据几何知识：经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时,只要先描出两点，再连成直线即可。一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b),.即横坐标或纵坐标为 0 的点。b0b0图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限k0图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kxb的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移b|个单位长度而得到(当 b0 时，向上平移；当 b0 时，直线经过一、三象限；k0 时，直线经过二、四象限k0，b0，直线经过第一、二、三象限k0，b0 直线经过第一、三、四象限k0，b0 直线经过第一、二、四象限k0，b0 直线经过第二、三、四象限增减性增减性k0，y 随 x 的增大而增大;（从左向右上升）k0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移个单b位；b0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移个b单位。6、直线（）与（)的位置关系6、直线（）与（)的位置关系11bxky01k22bxky02k（1）两直线平行且 （2）两直线相交21kk 21bb 21kk(3）两直线重合且 （4）两直线垂直21kk 21bb 121kk7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；(2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;（3）解方程得出未知系数的值;(4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.反比例函数反比例函数一、基础知识一、基础知识11.定义：一般地，形如（为常数,）的函数称为反比例函数.定义：一般地，形如（为常数,）的函数称为反比例函数.xky kok 还可以写成还可以写成xky kxy 12.2.反比例函数解析式的特征：反比例函数解析式的特征：等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也yk(完整)初二函数知识点及经典例题(word 版可编辑修改)叫做比例系数),分母中含有自变量,且指数为 1.叫做比例系数),分母中含有自变量,且指数为 1.kx比例系数比例系数0k自变量的取值为一切非零实数。自变量的取值为一切非零实数。x函数的取值是一切非零实数函数的取值是一切非零实数。y3.3.反比例函数的图像反比例函数的图像图像的画法：描点法图像的画法：描点法列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）描点（有小到大的顺序）连线(从左到右光滑的曲线）连线(从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线，（为常数,）中自变量，反比例函数的图像是双曲线，（为常数,）中自变量，xky k0k0 x函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分0y逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。xy xy反比例函数（)中比例系数的几何意义是：过双曲线 反比例函数（)中比例系数的几何意义是：过双曲线 xky 0kkxky（)上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。（)上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。0kxyk4反比例函数性质如下表：4反比例函数性质如下表：的取值的取值k图像所在象限图像所在象限函数的增减性函数的增减性ok 一、三象限一、三象限在每个象限内,值随的增大而减小在每个象限内,值随的增大而减小yxok 二、四象限二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大在每个象限内，值随的增大而增大yx5.反比例函数解析式的确定：利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出)5.反比例函数解析式的确定：利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出)k6“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，6“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。xky 7。反比例函数的应用7。反比例函数的应用二、例题二、例题【例 1】如果函数的图像是双曲线,且在第二,四象限内，那么的【例 1】如果函数的图像是双曲线,且在第二,四象限内，那么的222kkkxy值是多少？值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，（）即【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，（）即xky 0k（）又在第二,四象限内，则可以求出的值（）又在第二,四象限内，则可以求出的值kxy 10k0k【答案】由反比例函数的定义，得：【答案】由反比例函数的定义，得：解得解得01222kkk0211kkk或1k时函数为时函数为1k222kkkxyxy1【例 2】在反比例函数的图像上有三点，,，,，【例 2】在反比例函数的图像上有三点，,，,，xy11x1y2x2y3x。若则下列各式正确的是（)。若则下列各式正确的是)3y3210 xxxA B C D A B C D 213yyy123yyy321yyy231yyy【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法,还可取特殊值法.【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法,还可取特殊值法.解法一：由题意得，解法一：由题意得，111xy221xy331xy,所以选 A,所以选 A3210 xxx213yyy(完整)初二函数知识点及经典例题(word 版可编辑修改)oyxyxoyxoyxoA B C D解法二：用图像法，在直角坐标系中作出的图像解法二：用图像法，在直角坐标系中作出的图像xy1描出三个点，满足观察图像直接得到选 A描出三个点，满足观察图像直接得到选 A3210 xxx213yyy解法三:用特殊值法解法三:用特殊值法213321321321,1,1,211,1,2,0yyyyyyxxxxxx令【例 3】如果一次函数相【例 3】如果一次函数相的图像与反比例函数xmnymnmxy30交于点（），那么该直线与双曲线的另一个交点为（）交于点（），那么该直线与双曲线的另一个交点为（）221，【解析】【解析】12132212213nmmnnmxxmnynmxy解得，相交于与双曲线直线221111121,122211yxyxxyxyxyxy得解方程组双曲线为直线为11，另一个点为【例 4】如图,在中，点是直线与双曲线在第一【例 4】如图,在中，点是直线与双曲线在第一AOBRtAmxyxmy 象限的交点，且，则的值是_.象限的交点，且，则的值是_.2AOBSm图图解:因为直线与双曲线过点,设点的坐标为.解:因为直线与双曲线过点,设点的坐标为.mxyxmy AAAAyx,则有。所以.则有。所以.AAAAxmymxy,AAyxm 又点在第一象限，所以.又点在第一象限，所以.AAAAAyyABxxOB,所以。而已知。所以。而已知。myxABOBSAAAOB2121212AOBS 所以.所以.4m三、练习题三、练习题1.反比例函数的图像位于（）1.反比例函数的图像位于（）xy2A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限2.若与成反比例，与成正比例，则是的（）2.若与成反比例，与成正比例，则是的（）yxxzyzA、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数D、不能确定A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数D、不能确定3。如果矩形的面积为 6cm3。如果矩形的面积为 6cm2 2,那么它的长cm 与宽cm 之间的函数图象大致为,那么它的长cm 与宽cm 之间的函数图象大致为yx（）（）(完整)初二函数知识点及经典例题(word 版可编辑修改)4。某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，4。某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P（kPa）是气体体积 V(m气球内气体的气压 P（kPa）是气体体积 V(m3 3）的反比例函数,其图象如图所示当气球内气压大于 120 kPa 时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（)的反比例函数,其图象如图所示当气球内气压大于 120 kPa 时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（)A、不小于mA、不小于m3 3 B、小于m B、小于m3 3 C、不小于m C、不小于m3 3 D、小于m D、小于m3 3545445455如图,A、C 是函数的图象上的任意两点，过 A 作轴的垂线，垂足5如图,A、C 是函数的图象上的任意两点，过 A 作轴的垂线，垂足xy1x为 B,过 C 作 y 轴的垂线,垂足为 D，记 RtAOB 的面积为 S为 B,过 C 作 y 轴的垂线,垂足为 D，记 RtAOB 的面积为 S1 1，RtCOD 的面积为 S，RtCOD 的面积为 S2 2则(）则(）AAS S1 1 S S2 2 B S B S1 1 S S2 2 C SC S1 1=S=S2 2 D S D S1 1与 S与 S2 2的大小关系不能确定的大小关系不能确定6 关于 x 的一次函数 y=2x+m 和反比例函数 y=的图象都经过点 A（-2，6 关于 x 的一次函数 y=2x+m 和反比例函数 y=的图象都经过点 A（-2，1nx1）。1）。求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点 B 的坐标；（3）AOB 的面积 求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点 B 的坐标；（3）AOB 的面积7.如图所示,一次函数yaxb的图象与反比例函数y7.如图所示,一次函数yaxb的图象与反比例函数yError!Error!的图象交于A、B两点,与x轴交于点C 已知点A的坐标为（2，1)，点B的坐标为（，m）的图象交于A、B两点,与x轴交于点C 已知点A的坐标为（2，1)，点B的坐标为（，m）（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（1）求反比例函数和一次函数的解析式；(2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围(2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围 O OC CA AB B8 某蓄水池的排水管每小时排水 8m8 某蓄水池的排水管每小时排水 8m3 3,6 小时可将满池水全部排空,6 小时可将满池水全部排空(1）蓄水池的容积是多少？(1）蓄水池的容积是多少？（2)如果增加排水管，使每小时的排水量达到 Q(m（2)如果增加排水管，使每小时的排水量达到 Q(m3 3),那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？),那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？（3）写出t与 Q 的关系式（3）写出t与 Q 的关系式（4)如果准备在 5 小时内将满池水排空，那 么每小时的排水量至少为多少？（4)如果准备在 5 小时内将满池水排空，那 么每小时的排水量至少为多少？（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3 3,那么最少需多长时间可将满池水全部排空？,那么最少需多长时间可将满池水全部排空？.9。某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为 60 元,在营销 中发现，该衬衣的日销售量 y(件）是日销售价 x 元的反比例函数,且当售价定为 100 元/件时，每日可售出 30 件.9。某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为 60 元,在营销 中发现，该衬衣的日销售量 y(件）是日销售价 x 元的反比例函数,且当售价定为 100 元/件时每日可售出 30 件.(1）请写出 y 关于 x 的函数关系式;(1）请写出 y 关于 x 的函数关系式;(2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？(2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？10如图，在直角坐标系 xOy 中,一次函数 ykxb 的图象与反比例函数的图象交于 A(-2,1）、B(1,n）10如图，在直角坐标系 xOy 中,一次函数 ykxb 的图象与反比例函数的图象交于 A(-2,1）、B(1,n）myx两点。两点。(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求OyxABCD(完整)初二函数知识点及经典例题(word 版可编辑修改)AOB 的面积。AOB 的面积。四、课后作业四、课后作业1对与反比例函数,下列说法不正确的是（)1对与反比例函数,下列说法不正确的是（)xy2A点（）在它的图像上 B它的图像在第一、三象限A点（）在它的图像上 B它的图像在第一、三象限1,2 C当时，D当时，C当时，D当时，0 x的增大而增大随xy0 x的增大而减小随xy2.已知反比例函数的图象经过点（1，2），则这个函数的图象2.已知反比例函数的图象经过点（1，2），则这个函数的图象0kykx一定经过()一定经过()A、（2，1）B、（2，-1）C、（2，4）D、（-12）A、（2，1）B、（2，-1）C、（2，4）D、（-1，2）3 在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点,那么3 在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点,那么xky1xky2和的关系一定是（）和的关系一定是（）1k2kA。+=0B.0C。0 D.=A。+=0B.0C。0 D.=1k2k1k2k1k2k1k2k4.反比例函数y的图象过点 P(1。5，2），则k_4.反比例函数y的图象过点 P(1。5，2），则k_5.点 P（2m3，1)在反比例函数y的图象上，则m_5.点 P（2m3，1)在反比例函数y的图象上，则m_6.已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（2，3）则m的值为_6.已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（2，3）则m的值为_7.已 知 反 比 例 函 数的 图 象 上 两 点，当7.已 知 反 比 例 函 数的 图 象 上 两 点，当xmy212211,yxByxA时，有，则的取值范围是?时，有，则的取值范围是?210 xx21yy m8.已知 y 与 x-1 成反比例，并且 x2 时 y7，求：8.已知 y 与 x-1 成反比例，并且 x2 时 y7，求：(1）求 y 和 x 之间的函数关系式；(2）当 x=8 时，求 y 的值；（3）y-2时，x 的值。(1）求 y 和 x 之间的函数关系式；(2）当 x=8 时，求 y 的值；（3）y-2时，x 的值。