重庆市2018届高三上学期期末理科数学考试(一诊含答案).doc

2017年秋高三（上）期末测试卷
理科数学
第I卷
一．选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分。
1. 已知等差数列中，，则的公差为
A. B. 2 C. 10 D. 13
【答案】B
【解析】由题意可得：.
本题选择B选项.
2. 已知集合，则
A. {1，2} B. {5，6} C. {1，2，5，6} D. {3，4，5，6}
【答案】C
【解析】由题意可得：，
结合交集的定义有：.
本题选择C选项.
3. 命题“若，则”，则命题以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】命题“若，则”是真命题，则其逆否命题为真命题；
其逆命题：“若，则”是假命题，则其否命题也是假命题；
综上可得：四个命题中真命题的个数为2.
本题选择B选项.
4. 已知两非零复数，若，则一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】利用排除法：
当时，，而，选项A错误，
，选项B错误，
当时，，而，选项C错误，
本题选择D选项.
5. 根据如下样本数据：

3
5
7
9

6

3
2

得到回归方程，则
A.
B. 变量与线性正相关
C. 当＝11时，可以确定＝3
D. 变量与之间是函数产关系
【答案】D
【解析】由题意可得：,，
回归方程过样本中心点，则：，
求解关于实数的方程可得：，
由可知变量与线性负相关；
当＝11时，无法确定y的值；
变量与之间是相关关系，不是函数关系.
本题选择A选项.
点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
6. 执行如下图所示的程序框图，若输入的值为9，则输出的结果是

A. B. 0 C. D. 1
【答案】C
【解析】由题意可得，该流程图的功能计算的值为：
.
本题选择C选项.
7. 函数的图象大致为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得：，
则函数图象关于坐标原点对称，选项C,D错误；
函数的定义域为，则，选项B错误；
本题选择A选项.
8. 甲、乙、丙、丁五位同学相约去学校图书室借阅四大名著（每种名著均有若干本），已知每人均只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为
A. 72 B. 60 C. 54 D. 48
【答案】C
【解析】分类讨论：
若乙丙丁戊中有人借阅《三国演义》，则满足题意的不同借阅方案种数为种，
若乙丙丁戊中没有人借阅《三国演义》，原问题等价于4个球放入三个盒子，每个盒子均不空，放置的方法为：2+1+1，结合排列组合的结论可得：此时的不同借阅方案种数为种，
综上可得，不同的借阅方案种数为种.
本题选择B选项.
点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
9. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。其意思为“今有持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所税金之和，恰好重1斤。”则在此问题中，第5关收税金为
A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤
【答案】B
【解析】设持有的金为金，由题意可得：
第一关的税金为，第二关的税金为，
第三关的税金为：，
同理，第四关的税金为，第五关的税金为，
由题意可得：，
据此可得：，第五关的税金为：斤.
本题选择C选项.
10. 已知函数在区间[]内单调递减，则的最大值是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】整理函数的解析式有：，
函数在区间[]内单调递减，则：，
求解关于的不等式可得：，
即的最大值是.
本题选择C选项.
11. 已知点，点的坐标满足，则的最小值为
A. B. 0 C. D. －8
【答案】B
【解析】由题意可得：
，
即为点与点的距离的平方，

结合图形知，最小值即为点到直线的距离的平方，
，
故最小值为.
本题选择C选项.

点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
12. 已知关于的不等式存在唯一的整数解，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不等式即，设 ，
，故在上单减，
在上单增，，故的图象大致如图所示，
又直线恒过定点，
由图形知，且不等式的唯一整数解为，
故且，所以且，即.
本题选择B选项.

第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做。第22题－第23题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 二项式的展开式中常数项为___________。
【答案】15
【解析】由二项式展开式的通项公式有：，
令可得：，则展开式中的常数项为：.
14. 已知向量的夹角为，若，则 ___________。
【答案】3
【解析】由题意可得：，
整理可得：，
据此可得：.
15. 当正实数变化时，斜率不为0的定直线始终与圆相切，则直线的方程为____________。
【答案】
【解析】设，则，即，
因为该等式对任意成立，故，
即，则直线的方程为.
16. 已知为双曲线与圆的一个公共点，分别为双曲线的左右焦点，设，若，则双曲线的离心率的取值范围是___________。
【答案】
【解析】由题知，又，
所以，
两式做比值可得：，
而，
又，，
故，.
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 已知数列满足：。
（I）求证：为等差数列；
（II）设，求数列的前项和。
【答案】（I）详见解析；（II）.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由递推关系可得：，则数列为等差数列；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可得：， ，裂项求和可得数列的前项和为.
试题解析：
（I）由递推关系可得：，故为等差数列；
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，故， ，

点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且
（I）求A；
（II）若，△ABC的面积为，求的值。
【答案】（I）；（II）.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意结合辅助角公式可得：，则；
(Ⅱ)由题意结合三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，则，有正弦定理边角互化可得.试题解析：
（Ⅰ），即，
由知，故，即
（Ⅱ）由得，从而，即，
.
19. 某百货商场举行年终庆典，推出以下两种优惠方案：
方案一：单笔消费每满200元立减50元，可累计；
方案二：单笔消费满200元可参与一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球，若摸到2个红球则按原价的5折付款，若摸到1个红球则按原价的7折付款，若未摸到红球按原价的9折付款。
单笔消费不低于200元的顾客可从中任选一种优惠方案。
（I）某顾客购买一件300元的商品，若他选择优惠方案二，求该顾客最好终支付金额不超过250元的概率。
（II）若某顾客的购物金额为210元，请用所学概率知识分析他选择哪一种优惠方案更划算？
【答案】（I）；（II）方案二.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)原问题即顾客最终至少摸到一个红球，由题意结合对立事件公式可得所求概率为；
(Ⅱ)若选择方案一，则需付金额元；若选择方案二，设需付金额元，求得其分布列，计算方差可得，故选方案二更划算.
试题解析：
（Ⅰ）顾客最终支付金额不超过250元，即至少摸到一个红球，故所求概率为；
（Ⅱ）若选择方案一，则需付金额元；
若选择方案二，设需付金额元，则随机变量的分布列为：

，故选方案二更划算.
20. 已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆C的上顶点到直线的距离为，过且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于M，N两点，
且｜MN｜＝1。
（I）求椭圆的方程；
（II）过点的直线与椭圆C相交于P，Q两点，点），且，求直线的方程。
【答案】（I）；（II）.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由得，由得，故，求解方程组有，，则椭圆的方程为；
(Ⅱ)设直线方程为，与椭圆的方程联立可得，则，利用平面向量垂直的充要条件有，据此可得关于实数k的方程，解得或，经检验当不合题意，则直线的方程为.
试题解析：
（Ⅰ）由点到直线距离公式有，整理可得，
由通径公式有，整理可得，
故，，
，椭圆的方程为；
（Ⅱ）设直线方程为，与椭圆的方程联立消去得
，设，则，
由得，即
，即，
，即，解得或
当时，直线经过点，不满足题意，舍去，故，
所以直线的方程为.
点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
21. 已知函数存在唯一极值点。
（I）求的取值范围；
（II）证明：函数与的值域相同。
【答案】（I）；（II）详见解析.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意可得：，，
分类讨论：当时，在内有唯一极值点；
当时，若，无极值点，若，有两个极值点，不合题意；则；
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，设，则在上单减，在上单增，的值域为，则原问题等价于，即，整理变形为，导函数单增，则原问题等价于，据此命题得证.
试题解析：
（Ⅰ），，当时，，
故在上单调递增，又时，，，
故在内有唯一实根，即在内有唯一极值点；
当时，由得，故在上单增，在上单减，
若则恒成立，此时无极值点，若，
又时，时，此时有两个极值点；
综上，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设即，
则在上单减，在上单增，的值域为，
要使与的值域相同，只需，即，
即，又，故即，
故只需证，又单增，所以要证即证，
而，故得证.
　　请从下面所给22．23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂．多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
22. 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数），点，分别在直线和曲线上运动，的最小值为。
（I）求的值；
（II）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于不同的两点与直线交于点，若，求的值。
【答案】（I）；（II）.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由几何关系可得，最小距离为圆心到直线的距离与半径之差，据此可得，解方程有；
(Ⅱ)由题意可得曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，分别代入，得，，结合题意有，求解三角方程可得.
试题解析：
（Ⅰ），故，；
（Ⅱ）曲线，直线，分别代入，得
，，由知，即
，即，
故即.
23. 选修4－5：不等式选讲。
已知关于的不等式有解。
（I）求实数的取值范围；
（II）已知，证明：。
【答案】（I）；（II）详见解析.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)原问题等价于，结合绝对值三角不等式的性质可得；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可得，由柯西不等式可得，即.
试题解析：
（Ⅰ），故；
（Ⅱ）由题知，故，
.

工程部维修工的岗位职责　1、 严格遵守公司员工守则和各项规章制度，服从领班安排，除完成日常维修任务外，有计划地承担其它工作任务; 2、 努力学习技术，熟练掌握现有电气设备的原理及实际操作与维修; 3、 积极协调配电工的工作，出现事故时无条件地迅速返回机房，听从领班的指挥; 4、 招待执行所管辖设备的检修计划，按时按质按量地完成，并填好记录表格; 5、 严格执行设备管理制度，做好日夜班的交接班工作; 6、 交班时发生故障，上一班必须协同下一班排队故障后才能下班，配电设备发生事故时不得离岗; 7、 请假、补休需在一天前报告领班，并由领班安排合适的替班人.

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