二次根式知识点总结及对应典型例题讲解可用于提高培优217.pdf

二二 次次 根根 式式 相相 关关 知知 识识 总总 结结 及典型例及典型例题讲题讲解解知知 识识 点点 一一：二：二 次次 根根 式式 的的 概概 念念【知知识识要点要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时，才有意义【典型例典型例题题】【例例 1】下列各式 1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，其中是二次根式的是_（填序号）举举一反三：一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、B、C、D、a101a21a2、在a、2a b、1x、21x、3中是二次根式的个数有_个【例例 2】若式子13x有意义，则 x 的取值范围是 来源:学*科*网 Z*X*X*K举举一反三：一反三：1、使代数式43xx有意义的 x 的取值范围是（）A、x3 B、x3 C、x4 D、x3且 x42、使代数式有意义的 x 的取值范围是 221xx3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点mnm1P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例例 3】若 y=5x+x5+2009，则 x+y=解题思路：式子a（a0），50,50 xx 5x，y=2009，则 x+y=2014举举一反三：一反三：1、若11xx 2()xy，则 xy 的值为（）A1 B1 C2 D32、若 x、y 都是实数，且 y=求 xy 的值4x233x23、当 取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。a21 1a 已知 a 是整数部分，b 是 的小数部分，求的值。5512ab若的整数部分是 a，小数部分是 b，则 。3ba3若的整数部分为 x，小数部分为 y，求的值.17yx12知知识识点二：二次根式的性点二：二次根式的性质质【知知识识要点要点】1.非负性：是一个非负数a a()0 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2.()()aa a20 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：aaa()()20 3.aaa aa a200|())注意：（1）字母不一定是正数（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4.公式与的区别与联系aaa aa a200|()()()()aa a20 （1）表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数a2 （2）表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负()a2数 （3）和的运算结果都是非负的a2()a2【典型例典型例题题】【例例 4】若22340abc，则cba 举举一反三：一反三：1、若，则的值为 。0)1(32nmmn2、已知为实数，且，则的值为（）yx,02312yxyx A3B 3C1D 13、已知直角三角形两边 x、y 的长满足x240，则第三边长为.652 yy4、若与互为相反数，则。1ab24ab2005_ab （公式（公式的运用）的运用）)0()(2aaa【例例 5】化简：21(3)aa 的结果为（）A、42a B、0 C、2a4 D、4举举一反三：一反三：1 在实数范围内分解因式:=；23x=4244mm429_,2 22_xxx2 化简：33 133 已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为 25 （公式公式的的应应用）用）)0a(a)0a(aaa2【例例 6】已知,则化简的结果是2x 244xxA、B、C、D、2x 2x 2x 2x举举一反三：一反三：1、根式的值是()2(3)A-3 B3 或-3 C3 D92、已知 a0）4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。ab=ab（a0，b0）注意注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式【典型例典型例题题】【例例 16】化简(1)(2)(3)(4)(9 1616 811525 229x y)(5)0,0yx12632【例例 17】计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【例例 18】化简：(1)364 (2)22649ba (3)2964xy (4)0,0(ba)0,0(yx25169xy )0,0(yx【例例 19】计算：(1)123 (2)3128 (3)11416 （4）648【例例 20】能使等式成立的的 x 的取值范围是（）22xxxxA、B、C、D、无解2x 0 x 02x知知 识识 点点 六：二六：二 次次 根根 式式 计计 算算 【二次二次 根根 式式 的的 加加 减减】【知知识识要点要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例典型例题题】【例例 20】计算（1）；1132752 0.53227（2）；12543102024553457（3）；11113275348532（4）113326327284814723247【例例 21】（1）（2）224344xyxyxyxyabababab（3）（4）3213273108334aaaaaaa1142aabbab（5）（6）3538154aa aaa2xyyxxyyxxy知知 识识 点点 七：二七：二 次次 根根 式式 计计 算算【二二 次次 根根 式式 的的 混混 合合 计计 算算 与与 求求 值值】【知知识识要点要点】1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型典型习题习题】1、2、(2+43abbaabb3)23(23512)483、（-4）4、132x y2yx162x y673)32272(5、）6、62332)(62332()54)(54()523(27、1110)562()562(8、)0()122510(9312mmmmmmm【例例 21】1已知：，求的值2已知，求的值。3已知：，求的值4求的值5已知、是实数，且，求的值知知 识识 点点 八八：根：根 式式 比比 较较 大大 小小【知知识识要点要点】1、根式、根式变变形法形法 当时，如果，则；如果0,0ababab，则。abab2、平方法、平方法 当时，如果，则；如果，0,0ab22abab22ab则。ab3、分母有理化法、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法、倒数法6、媒介、媒介传递传递法法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比、作差比较较法法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：；0abab0abab8、求商比、求商比较较法法它运用如下性质：当 a0，b0 时，则：；1aabb1aabb【典型例典型例题题】【例例 22】比较与的大小。（用两种方法解答）3 55 3【例例 23】比较与的大小。231121【例例 24】比较与的大小。15141413【例例 25】比较与的大小。7665【例例 26】比较与的大小73873