测量平差基础中的数学模型.pptx

第一节第一节 测量平差概述测量平差概述第二节第二节 测量平差的数学模型测量平差的数学模型第三节第三节 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理测量平差的数学模型及最小二乘原理之三：测量平差基础中的数学模型一、必要观测、多余观测确定平面三角形的形状观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有种选择确定平面三角形的形状与大小s1s3s26个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。第一节第一节测量平差概述测量平差概述必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2h3或h1、h2、h4等确定如图四点的相对高度关系ADCBh1h6h5h2h4h3必要观测:能够唯一确定一个几何模型所必要的观测一般用t表示。特点:给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。必要观测之间没有任何函数关系，即相互独立。确定几何模型最大独立观测个数多余观测:观测值的个数n与必要观测个数t之差一般用r表示，r=n-t。确定几何模型最大独立观测个数为t,那么再多进行一个观测就相关了，即形成函数关系，也称为观测多余了。观测值:为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。nt,，可以确定模型，还可以发现粗差。二、测量平差必要观测可以唯一确定模型其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。ADCBh1h6h5h2h4h3实际上：第二节第二节测量平差的数学模型测量平差的数学模型一、条件平差法条件平差法以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。即为条件平差的函数模型。条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程个数。二、间接平差法间接平差法选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，成为间接平差法。三、三、附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。在选定ut个参数进行平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加s个约束参数方程，故称此平差方法为附有限制件的间接平差法。五、五、平差的随机模型平差的随机模型数学模型数学模型函数模型函数模型随机模型：随机模型：第三节第三节函数模型的线性化函数模型的线性化条件方程的综合形式为：条件方程的综合形式为：为了线性化，取X的近似值：取的初值：将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项：一、条件平差法条件平差法二、间接平差法间接平差法三、三、附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法四、四、附有限制条件的间接平差法附有限制条件的间接平差法第四节第四节参数估计与最小二乘原参数估计与最小二乘原理理为了求得唯一解，对最终估计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。一、一、参数估计及其最优性质参数估计及其最优性质对于上节提出的四种平差方法都存在多解的情况。以条件平差为例：条件的个数r=n-tn，即方程的个数少，求解的参数多，方程多解。其它模型同。数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应具有无偏性、一致性和有效性的要求。可以证明，这种估计为最小二乘估计。例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：实际上：写成矩阵：写成矩阵：间接平差函数模型间接平差函数模型二、二、最小二乘原理最小二乘原理按照最小二乘原理的要求，应使各个观测点观测值偏差的平方和达到最小。测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计准则的估值相同。设观测向量为L，L为n维随机正态向量，其数学期望与方差分别为：其似然函数为：以间接平差法为例，顾及间接平差的模型与E（）=0得：按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时的作为X的估计量。由于上式右边的第二项前是负号，所以只有当该项取得极小值时，lnG才能取得极大值，换言之，的估计量应满足如下条件：即最小二乘原则。