北京市北师大附中2021-2022年高三10月阶段测试数学试题含详解.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共11题）
1、 设集合 A ={ x |1≤ x ≤3} ， B ={ x |2< x <4} ，则 A ∪ B = （    ）
A ． { x |2< x ≤3} B ． { x |2≤ x ≤3}
C ． { x |1≤ x <4} D ． { x |1< x <4}
2、 复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3、 下列函数中，在区间（ 0 ， + ）上单调递增的是
A ． B ． y = C ． D ．
4、 函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A ． B ．
C ． D ．
5、 已知 ，则
A ． B ． C ． D ．
6、 设 f ( x ) 为奇函数，且当 x ≥0 时， f ( x )= ，则当 x <0 时， f ( x )=
A ． B ．
C ． D ．
7、 记 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和．若 a 5 – a 3 =12 ， a 6 – a 4 =24 ，则 = （    ）
A ． 2 n –1 B ． 2–2 1– n C ． 2–2 n –1 D ． 2 1– n –1
8、 等比数列 的公比为 q ，前 n 项和为 ，设甲： ，乙： 是递增数列，则（ ）
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
9、 基本再生数 R 0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数 . 基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间 . 在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数 I ( t ) 随时间 t ( 单位 : 天 ) 的变化规律，指数增长率 r 与 R 0 ， T 近似满足 R 0 =1+ rT . 有学者基于已有数据估计出 R 0 =3.28 ， T =6. 据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为 (ln2≈0.69) （    ）
A ． 1.2 天 B ． 1.8 天
C ． 2.5 天 D ． 3.5 天
10、 已知 ，若存在 ，使 ，则称函数 与 互为 “ 度零点函数 ” ．若 与 互为 “1 度零点函数 ” ，则实数 的取值范围为
A ． B ． C ． D ．
11、 已知只有 50 项的数列 满足下列三个条件： ① ;② ； ③ . 对所有满足上述条件的数列 共有 个不同的值，则
A ． 10 B ． 11 C ． 6 D ． 7
二、填空题（共4题）
1、 复数 的共轭复数 等于 ________ ．
2、 已知 ，函数 若 ，则 ___________.
3、 若 则 的最小值是 ________ ．
4、 写出一个同时具有下列性质 ①②③ 的函数 _______ ．
① ； ② 当 时， ； ③ 是奇函数．
三、解答题（共6题）
1、 已知函数 ( 为常数 ) 的图像与 轴交于点 ，曲线 在点 处的切线斜率为 .
(1) 求 的值及函数 的极值； (2) 证明：当 时， ．
2、 已知数列 的前 项和为 ， ， 从条件 ① 、条件 ② 和条件 ③ 中选择两个作为已知，并完成解答 .
（ 1 ）求数列 的通项公式；
（ 2 ）设等比数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 .
条件 ① ： ；条件 ② ： ；条件 ③ ： .
3、 如图，在正方体 中， E 为 的中点．

（ Ⅰ ）求证： 平面 ；
（ Ⅱ ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
4、 已知椭圆 过点 ，且 的离心率为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程；
（ 2 ）过点 的直线 交椭圆 于 、 两点，求 的取值范围．
5、 已知函数 ( 其中 为常数且 ) 在 处取得极值 .
（ I ）当 时，求 的单调区间；
（ II ）若 在 上的最大值为 ，求 的值 .
6、 在无穷数列 中， ，对于任意 ，都有 ， . 设 ， 记使得 成立的 的最大值为 .
（ 1 ）设数列 为 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， ，写出 ， ， 的值；
（ 2 ）若 为等差数列，求出所有可能的数列 ；
（ 3 ）设 ， ，求 的值 . （用 表示）

============参考答案============
一、选择题
1、 C
【分析】
根据集合并集概念求解 .
【详解】

故选： C
【点睛】
本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题 .
2、 A
【分析】
利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置 .
【详解】
，所以该复数对应的点为 ，
该点在第一象限，
故选： A.
3、 A
【分析】
由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可 .
【详解】
函数 ，
在区间 上单调递减，
函数 在区间 上单调递增，故选 A .
【点睛】
本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题 .
4、 B
【分析】
求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可 .
【详解】
， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故选： B.
【点睛】
本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
5、 B
【分析】
运用中间量 比较 ，运用中间量 比较
【详解】
则 ．故选 B ．
【点睛】
本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
6、 D
【分析】
先把 x <0 ，转化为 - x> 0, 代入可得 ，结合奇偶性可得 .
【详解】
是奇函数， 时， ．
当 时， ， ，得 ．故选 D ．
【点睛】
本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．
7、 B
【分析】
根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前 项和公式进行求解即可 .
【详解】
设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故选： B.
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前 项和公式的应用，考查了数学运算能力 .
8、 B
【分析】
当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则 成立，所以甲是乙的必要条件．
故选： B ．
【点睛】
在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
9、 B
【分析】
根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 天，根据 ，解得 即可得结果 .
【详解】
因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天 .
故选： B.
【点睛】
本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题 .
10、 B
【分析】
首先根据题意，求得 ，利用条件得到 ，即 ，转化为函数 在区间 上存在零点，进一步得 ，令 ，利用导数研究函数 的值域，从而求得结果 .
【详解】
由题意可知 ，且 在 上单调递减，
所以函数 只有一个零点 .
即 ，得 .
函数 在区间 上存在零点，
由 ，得 .
令 ， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
，
所以只需 即有零点，
故选 B.

【点睛】
要学会分析题中隐含的条件和信息，如本题先观察出 的零点及单调性是解题的关键，进一步转化为函数 在区间 上存在零点，再进行参变量分离，应用导数解决 .
11、 C
【详解】
设 中有 项取值 ，由条件 ② 知，取值 的项数为 ，取值 的项数为 ，再由条件 ③ 得 ，解得 ，又若 为偶数，则 为偶数，因为 ，所以 必为奇数，故 ，它们对应 个不同的值， 共有 个不同的值，故选 C.
【方法点睛】本题主要考查数列求和以及数学的转化与划归思想，属于难题 . 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度 . 运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点 . 以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中 . 本题中，将 的不同值的个数，转化为 中 的个数问题是解题的关键 .
二、填空题
1、
【分析】
根据复数乘法运算求得 ，进而可求得 .
【详解】
因为 ，所以 .
故答案为： .
2、 2
【分析】
由题意结合函数的解析式得到关于 的方程，解方程可得 的值 .
【详解】
，故 ，
故答案为： 2.
3、 6
【分析】

根据基本不等式可求得结果 .
【详解】
因为 ，则 ，
所以，当且仅当 时， 的最小值是 6.
故答案为： 6.
4、 （答案不唯一， 均满足）
【分析】
根据幂函数的性质可得所求的 .
【详解】
取 ，则 ，满足 ① ，
， 时有 ，满足 ② ，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足 ③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
三、解答题
1、 (1) ；当 时， 取得极小值，且极小值为 ， 无极大值； (2) 祥见解析．
【详解】
试题分析： (1) 利用导数的几何意义求得 a ，再利用导数法求得函数的极值； (2) 构造函数 g （ x ） =e x -x 2 ，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论．
试题解析： (1) 由 得 .
又 ，得 . 所以 ， .
令 ，得 . 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．所以当 时， 取得极小值，
且极小值为 ， 无极大值．
(2) 证明：令 则 .
由 (1) 得， ，故 在 上单调递增，又 ，所以当 时， ，即
考点：１．利用导数求函数的极值；２．利用导数证明不等式．
2、 （ 1 ） ；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）若选择 ①② 作为已知条件，根据等差数列的定义，可得公差 d ，代入公式即可求得答案；

若选择 ②③ 作为已知条件，根据等差数列的定义，可得公差 ，根据 ，即可求得 ，代入公式即可求得答案；
（ 2 ）根据题干条件，结合（ 1 ）可求得 ， 的值，代入公式，即可求导 、 q ，进而可得 ，根据分组求和法，结合等差、等比的求和公式，即可得答案 .
【详解】
解： ( 不能选择 ①③ 作为已知条件 )
若选择 ①② 作为已知条件 .
因为 ， ，
所以数列 是以 为首项，公差 的等差数列 .
所以 .
若选择 ②③ 作为已知条件 .
因为 ，
所以数列 是以 为首项，公差为 的等差数列 .
因为 ，所以 .
所以 ，解得 .
所以 .
（ 2 ）设等比数列 的公比为 ，结合（ 1 ）可得 ， ，
所以 ，所以 .
所以等比数列 的通项公式为 .
所以
所以

.
3、 （ Ⅰ ）证明见解析；（ Ⅱ ） .
【分析】
（ Ⅰ ）证明出四边形 为平行四边形，可得出 ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（ Ⅱ ）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，利用空间向量法可计算出直线 与平面 所成角的正弦值 .
【详解】
（ Ⅰ ）如下图所示：

在正方体 中， 且 ， 且 ，
且 ，所以，四边形 为平行四边形，则 ，
平面 平面 ， 平面 ；
（ Ⅱ ）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，

设正方体 的棱长为 ，则 、 、 、 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，
令 ，则 ， ，则 .
.
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查计算能力，属于基础题 .
4、 （ 1 ） ；（ 2 ） ．
【分析】
（ 1 ）根据已知条件可得出关于 、 、 的方程组，解出 、 的值，进而可求得椭圆 的方程；
（ 2 对直线 分两种情况讨论，直线 与 轴重合时，直接求出 的值，在直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出 关于 的代数式，综合可得出 的取值范围．
【详解】
（ 1 ）由题意得 ，解得 .
所以椭圆 的方程为 ；
（ 2 ）分以下两种情况讨论：
① 若直线 与 轴重合，则 ；
② 若直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，消去 可得 ，
则 恒成立，
由韦达定理可得 ， ，
由弦长公式可得 ，
，则 ，所以， .
综上所述， 的取值范围是 .
点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（ 1 ）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（ 2 ）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（ 3 ）列出韦达定理；
（ 4 ）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（ 5 ）代入韦达定理求解 .
5、 （ I ） 的单调递增区间为 , 单调递减区间为 ；（ II ） 或 .
【分析】
（ I ）依题意结合 可求得 ，从而可得 ，结合定义域由 可解得增区间，由 可解得减区间；
(II) 对 分类讨论得出 的极值，将极值同端点处的函数值进行比较得到最大值，然后根据条件建立关于 的方程求解可得结果 .
【详解】
因为 所以 ，
因为函数 在 处取得极值，则 .
（ I ）当 时， ， ，
随 的变化情况如下表：

0

0

极大值

极小值

所以 的单调递增区间为 , ；单调递减区间为 .
(II) 因为 ，
令 得 ，因为 在 处取得极值，所以 .
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在区间 上的最大值为 ，令 ，解得 ；
当 ， ，
当 时， 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
所以最大值 1 可能在 或 处取得，
而 ，
所以 ，解得 ；
当 时 , 在区间 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
所以最大值 1 可能在 或 处取得，
而 ，
所以 ，
解得 ，与 矛盾；
当 时， 在区间 上单调递增，在 单调递减，
所以最大值 1 可能在 处取得，而 ，矛盾 .
综上所述， 或 .
6、 （ 1 ） ， ， ；（ 2 ） ；（ 3 ） ．
【详解】
试题分析：（ 1 ）根据使得 成立的 的最大值为 ， ，则 ， ，则 ， ，则 ，这样就写出 ， ， 的值；（ 2 ）若 为等差数列，先判断 ，再证明 ，即可求出所有可能的数列 ；（ 3 ）确定 ， ，依此类推，发现规律，得出 ，从而求出 的值．
试题解析：（ 1 ） ， ， .
（ 2 ）由题意，得 ，
结合条件 ，得 .
又因为使得 成立的 的最大值为 ，使得 成立的 的最大值为 ，
所以 ， .
设 ，则 .
假设 ，即 ，
则当 时， ；当 时， .
所以 ， .
因为 为等差数列，
所以公差 ，
所以 ，其中 .
这与 矛盾，
所以 .
又因为 ，
所以 ，
由 为等差数列，得 ，其中 .
因为使得 成立的 的最大值为 ，
所以 ，
由 ，得 .
（ 3 ）设 ，
因为 ，
所以 ，且 ，
所以数列 中等于 1 的项有 个，即 个；
设 ，
则 ， 且 ，
所以数列 中等于 2 的项有 个，即 个；
以此类推，数列 中等于 的项有 个 .
所以

.
即 .