2021年四川省凉山市数学中考试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 （ ）
A ． 2021 B ． -2021 C ． D ．
2、 下列数轴表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3、 “ 天问一号 ” 在经历了 7 个月的 “ 奔火 ” 之旅和 3 个月的 “ 环火 ” 探测，完成了长达 5 亿千米的行程，登陆器 “ 祝融 ” 号火星车于 2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分从火星发来 “ 短信 ” ，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功，请将 5 亿这个数用科学记数法表示为（    ）
A ． B ． C ． D ．
4、 下面四个交通标志图是轴对称图形的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
5、 的平方根是（ ）
A ． B ． 3 C ． D ． 9
6、 在平面直角坐标系中，将线段 AB 平移后得到线段 ，点 的对应点 的坐标为 ，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A ． B ． C ． D ．
7、 某校七年级 1 班 50 名同学在 “ 森林草原防灭火 ” 知识竞赛中的成绩如表所示：
成绩
60
70
80
90
100
人数
3
9
13
16
9
则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（ ）
A ． 90 ， 80 B ． 16 ， 85 C ． 16 ， 24.5 D ． 90 ， 85
8、 下列命题中，假命题是（ ）
A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B ．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合
C ．若 ，则点 B 是线段 AC 的中点
D ．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心
9、 函数 的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 的根的情况是（ ）

A ．没有实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根 D ．无法确定
10、 如图， 中 ，将 沿 DE 翻折，使点 A 与点 B 重合，则 CE 的长为（ ）

A ． B ． 2 C ． D ．
11、 点 P 是 内一点，过点 P 的最长弦的长为 ，最短弦的长为 ，则 OP 的长为（ ）
A ． B ． C ． D ．
12、 二次函数 的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）

A ． B ．函数的最大值为
C ．当 时， D ．
二、解答题（共9题）
1、 解不等式 ．
2、 已知 ，求 的值．
3、 随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于 2021 年 1 月 15 日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》，为贯彻《通知》精神、某学校团委组织了 “ 我与手机说再见 ” 为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中 A 表示 “ 一等奖 ” ， B 表示 “ 二等奖 ” ， C 表示 “ 三等奖 ” ， D 表示 “ 优秀奖 ” ）

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（ 1 ）获奖总人数为 ______ 人， _______ ；
（ 2 ）请将条形统计图补充完整；
（ 3 ）学校将从获得一等奖的 4 名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
4、 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树 AB 的高度，他在点 C 处测得大树顶端 A 的仰角为 ，再从 C 点出发沿斜坡走 米到达斜坡上 D 点，在点 D 处测得树顶端 A 的仰角为 ，若斜坡 CF 的坡比为 （点 在同一水平线上）．
（ 1 ）求王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度；
（ 2 ）求大树 AB 的高度（结果保留根号）．

5、 如图，在四边形 中， ，过点 D 作 于 E ，若 ．

（ 1 ）求证： ；
（ 2 ）连接 交 于点 ，若 ，求 DF 的长．
6、 阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（ J ． Npler ， 1550 － 1617 年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到 18 世纪瑞士数学家欧拉（ Evler ． 1707 － 1783 年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若 （ 且 ），那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，
记作 ，比如指数式 可以转化为对数式 ，对数式 可以转化为指数式 ．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设 ，则 ．
．由对数的定义得
又
．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（ 1 ）填空： ① ___________ ； ② _______ ， ③ ________ ；
（ 2 ）求证： ；
（ 3 ）拓展运用：计算 ．
7、 如图， 中， ，边 OB 在 x 轴上，反比例函数 的图象经过斜边 OA 的中点 M ，与 AB 相交于点 N ， ．

（ 1 ）求 k 的值；
（ 2 ）求直线 MN 的解析式．
8、 如图，在 中， ， AE 平分 交 BC 于点 E ，点 D 在 AB 上， ． 是 的外接圆，交 AC 于点 F ．

（ 1 ）求证： BC 是 的切线；
（ 2 ）若 的半径为 5 ， ，求 ．
9、 如图，抛物线 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点， ， ．

（ 1 ）求抛物线的解析式；
（ 2 ）在第二象限内的抛物线上确定一点 P ，使四边形 PBAC 的面积最大．求出点 P 的坐标
（ 3 ）在（ 2 ）的结论下，点 M 为 x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 Q ．使点 P 、 B 、 M 、 Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
三、填空题（共7题）
1、 函数 中，自变量 x 的取值范围是 _____________ ．
2、 已知 是方程 的解，则 a 的值为 ______________ ．
3、 菱形 中，对角线 ，则菱形的高等于 ___________ ．
4、 如图，将 绕点 C 顺时针旋转 得到 ．已知 ，则线段 AB 扫过的图形（阴影部分）的面积为 __________________ ．

5、 如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要 3 根火柴棍，拼第二个图形共需要 5 根火柴棍；拼第三个图形共需要 7 根火柴棍； …… 照这样拼图，则第 n 个图形需要 ___________ 根火柴棍．

6、 若关于 x 的分式方程 的解为正数，则 m 的取值范围是 _________ ．
7、 如图，等边三角形 ABC 的边长为 4 ， 的半径为 ， P 为 AB 边上一动点，过点 P 作 的切线 PQ ，切点为 Q ，则 PQ 的最小值为 ________ ．

============参考答案============
一、选择题
1、 A
【分析】
根据绝对值解答即可．
【详解】
解： 的绝对值是 2021 ，
故选： A ．
【点睛】
此题主要考查了绝对值，利用绝对值解答是解题关键．
2、 D
【分析】
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此判断．
【详解】
解： A 、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误；
B 、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误；
C 、没有原点，故表示错误；
D 、符合数轴的定定义，故表示正确；
故选 D ．
【点睛】
本题考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，注意数轴的三要素缺一不可．
3、 B
【分析】
科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1≤| a | ＜ 10 ， n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解： ∵5 亿 =500000000 ，
∴5 亿用科学记数法表示为： 5×10 8 ．
故选： B ．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1≤| a | ＜ 10 ， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
4、 C
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【详解】
解： A 、不是轴对称图形，故不合题意；
B 、不是轴对称图形，故不合题意；
C 、是轴对称图形，故符合题意；
D 、不是轴对称图形，故不合题意；
故选 C ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
5、 A
【分析】
求出 81 的算术平方根，找出结果的平方根即可．
【详解】
解： ∵ =9 ，
∴ 的平方根是 ±3 ．
故选： A ．
【点睛】
此题考查了平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
6、 C
【分析】
根据点 A 到 A ′ 确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点 B ′ 的坐标．
【详解】
解： ∵ ， ，
∴ 平移规律为横坐标减 4 ，纵坐标减 4 ，
∵
∴ 点 B ′ 的坐标为 ，
故选： C ．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化 - 平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
7、 D
【分析】
根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．
【详解】
解： 90 分的有 16 人，人数最多，故众数为 90 分；
处于中间位置的数为第 25 、 26 两个数，为 80 和 90 ，
∴ 中位数为 =85 分．
故选： D ．
【点睛】
本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8、 C
【分析】
根据中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的定义分别判断即可．
【详解】
解： A 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故为真命题；
B 、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故为真命题；
C 、若在同一条直线上 AB = BC ，则点 B 是线段 AC 的中点，故为假命题；
D 、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，故为真命题；
故选 C ．
【点睛】
本题考查了中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的性质，属于基础知识，要熟练掌握．
9、 C
【分析】
根据一次函数图象经过的象限找出 k 、 b 的正负，再结合根的判别式即可得出 △ ＞ 0 ，由此即可得出结论．
【详解】
解：观察函数图象可知：函数 y = kx + b 的图象经过第二、三、四象限，
∴ k ＜ 0 ， b ＜ 0 ．
在方程 中，
△= ，
∴ 一元二次方程 有两个不相等的实数根．
故选： C ．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出 k 、 b 的正负是解题的关键．
10、 D
【分析】
先在 RtABC 中利用勾股定理计算出 AB =10 ，再利用折叠的性质得到 AE = BE ， AD = BD =5 ，设 AE = x ，则 CE = AC - AE =8- x ， BE = x ，在 Rt △ BCE 中根据勾股定理可得到 x 2 =6 2 + （ 8- x ） 2 ，解得 x ，可得 CE ．
【详解】
解： ∵∠ ACB =90° ， AC =8 ， BC =6 ，
∴ AB = =10 ，
∵△ ADE 沿 DE 翻折，使点 A 与点 B 重合，
∴ AE = BE ， AD = BD = AB =5 ，
设 AE = x ，则 CE = AC - AE =8- x ， BE = x ，
在 Rt △ BCE 中
∵ BE 2 = BC 2 + CE 2 ，
∴ x 2 =6 2 + （ 8- x ） 2 ，解得 x = ，
∴ CE = = ，
故选： D ．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．
11、 B
【分析】
根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是 10cm ；最短弦即是过点 P 且垂直于过点 P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得 CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得 OP 的长．
【详解】
解：如图所示， CD ⊥ AB 于点 P ．
根据题意，得
AB =10cm ， CD =6cm ．
∴ OC =5 ， CP =3
∵ CD ⊥ AB ，
∴ CP = CD =3cm ．
根据勾股定理，得 OP = =4cm ．
故选 B ．

【点睛】
此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．
12、 D
【分析】
根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与 y 轴的交点位置可判断 a 、 b 、 c 的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（ -3 ， 0 ），从而分别判断各选项．
【详解】
解： ∵ 抛物线开口向下，
∴ a ＜ 0 ，
∵ 抛物线的对称轴为直线 x =-1 ，
∴ ，即 b =2 a ，则 b ＜ 0 ，
∵ 抛物线与 y 轴交于正半轴，
∴ c ＞ 0 ，
则 abc ＞ 0 ，故 A 正确；
当 x =-1 时， y 取最大值为 ，故 B 正确；
由于开口向上，对称轴为直线 x =-1 ，
则点（ 1 ， 0 ）关于直线 x =-1 对称的点为（ -3 ， 0 ），
即抛物线与 x 轴交于（ 1 ， 0 ），（ -3 ， 0 ），
∴ 当 时， ，故 C 正确；
由图像可知：当 x =-2 时， y ＞ 0 ，
即 ，故 D 错误；
故选 D ．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a ≠0 ），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a ＞ 0 时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab ＞ 0 ），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab ＜ 0 ），对称轴在 y 轴右．常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（ 0 ， c ）．
二、解答题
1、
【分析】
不等式去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1 ，即可求出解．
【详解】
解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化成 1 ，得 ．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，解此题的关键点是能正确根据不等式的性质进行变形，注意：移项要变号．
2、 -4
【分析】
根据已知求出 xy =-2 ，再将所求式子变形为 ，代入计算即可．
【详解】
解： ∵ ，
∴ ，

∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握分式的运算法则和因式分解的应用．
3、 （ 1 ） 40 ， 30 ；（ 2 ）见解析；（ 3 ）
【分析】
（ 1 ）用 B 等级的人数除以对应百分比可得获奖总人数，再减去 A 、 B 、 D 的人数可得 C 等级的人数，除以获奖总人数可得对应百分比，即可得到 m 值；
（ 2 ）求出 C 等级的人数，即可补全统计图；
（ 3 ）画树状图展示所有 12 种等可能的结果，找出抽出的恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：（ 1 ） 8÷20%=40 人，

（ 40-4-8-16 ） ÷40×100%=30% ，
则 m =30 ；
（ 2 ） 40-4-8-16=12 人，
补全统计图如下：

（ 3 ）如图，

共有 12 种情况，恰好选中 1 名男生和 1 名女生的有 6 种，
所以恰好选中 1 名男生和 1 名女生的概率是 ．
【点睛】
本题考查了扇形统计图，条形统计图，列表法或树状图法求概率等知识点，能正确画出条形统计图和树状图是解此题的关键．
4、 （ 1 ） 2 米；（ 2 ） 米
【分析】
（ 1 ）作 DH ⊥ CE 于 H ，解 Rt △ CDH ，即可求出 DH ；
（ 2 ）延长 AD 交 CE 于点 G ，解 Rt △ GDH 、 Rt △ CDH ，求出 GH 、 CH ，得到 GC ，再说明 AB = BC ，在 △ ABG 中，利用正切的定义求出 AB 即可．
【详解】
解：（ 1 ）过 D 作 DH ⊥ CE 于 H ，如图所示：
在 Rt △ CDH 中， ，
∴ CH =3 DH ，
∵ CH 2 + DH 2 = CD 2 ，
∴ （ 3 DH ） 2 + DH 2 = （ ） 2 ，
解得： DH =2 或 -2 （舍），
∴ 王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度为 2 米；
（ 2 ）延长 AD 交 CE 于点 G ，设 AB = x 米，
由题意得， ∠ AGC =30° ，
∴ GH = = = ，
∵ CH =3 DH =6 ，
∴ GC = GH + CH = +6 ，
在 Rt △ BAC 中， ∠ ACB =45° ，
∴ AB = BC ，
∴tan∠ AGB = ，
解得： AB = ，
即大树 AB 的高度为 米．

【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用 - 仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
5、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）过 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于点 G ，连接 BD ，证明四边形 BEDG 为正方形，得到条件证明 △ ADE ≌△ CDG ，可得 AD = CD ；
（ 2 ）根据 ∠ ADE =30° ， AD =6 ，得到 AE ， DE ，从而可得 BE ， BG ，设 DF = x ，证明 △ AEF ∽△ ABC ，得到比例式，求出 x 值即可．
【详解】
解：（ 1 ）过 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于点 G ，连接 BD ，
∵∠ DEB =∠ ABC =∠ G =90° ， DE = BE ，
∴ 四边形 BEDG 为正方形，
∴ BE = DE = DG ， ∠ BDE =∠ BDG =45° ，
∵∠ ADC =90° ，即 ∠ ADE +∠ CDE =∠ CDG +∠ CDE =90° ，
∴∠ ADE =∠ CDG ，又 DE = DG ， ∠ AED =∠ G =90° ，
∴△ ADE ≌△ CDG （ ASA ），
∴ AD = CD ；

（ 2 ） ∵∠ ADE =30° ， AD =6 ，
∴ AE = CG =3 ， DE = BE = = ，
∵ 四边形 BEDG 为正方形，
∴ BG = BE = ，
BC = BG - CG = -3 ，
设 DF = x ，则 EF = - x ，
∵ DE ∥ BC ，
∴△ AEF ∽△ ABC ，
∴ ，即 ，
解得： x = ，
即 DF 的长为 ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
6、 （ 1 ） 5 ， 3 ， 0 ；（ 2 ）见解析；（ 3 ） 2
【分析】
（ 1 ）直接根据定义计算即可；
（ 2 ）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；
（ 3 ）根据公式： log a （ M • N ） =log a M +log a N 和 log a =log a M -log a N 的逆用，将所求式子表示为： ，计算可得结论．
【详解】
解：（ 1 ） ①∵ ， ∴ 5 ，
②∵ ， ∴ 3 ，
③∵ ， ∴ 0 ；
（ 2 ）设 log a M = m ， log a N = n ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ 3 ）
=
=
=2 ．
【点睛】
本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
7、 （ 1 ） 6 ；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）设点 A 坐标为（ m ， n 根据题意表示出点 B ， N ， M 的坐标，根据 △ AOB 的面积得到 ，再根据 M ， N 在反比例函数图像上得到方程，求出 m 值，即可得到 n ，可得 M 点坐标，代入反比例函数表达式，即可求得 k 值；
（ 2 ）由（ 1 ）得到 M ， N 的坐标，再利用待定系数法即可求出 MN 的解析式．
【详解】
解：（ 1 ）设点 A 坐标为（ m ， n ），
∵∠ ABO =90° ，
∴ B （ m ， 0 ），又 AN = ，
∴ N （ m ， ），
∵△ AOB 的面积为 12 ，
∴ ，即 ，
∵ M 为 OA 中点，
∴ M （ ），
∵ M 和 N 在反比例函数图像上，
∴ ，化简可得： ，又 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ M （ 2 ， 3 ），代入 ，
得 ；
（ 2 ）由（ 1 ）可得： M （ 2 ， 3 ）， N （ 4 ， ），
设直线 MN 的表达式为 y = ax + b ，
则 ，解得： ，
∴ 直线 MN 的表达式为 ．
【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，求出相应的点的坐标是解决问题的关键．
8、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） 20
【分析】
（ 1 ）连接 OE ，由 OA = OE ，利用等边对等角得到一对角相等，再由 AE 为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到 AC 与 OE 平行，再根据两直线平行同位角相等及 ∠ C 为直角，得到 OE 与 BC 垂直，可得出 BC 为圆 O 的切线；
（ 2 ）过 E 作 EG 垂直于 OD ，利用 AAS 得出 △ ACE ≌△ AGE ，得到 AC = AG =8 ，从而可得 OG ，利用勾股定理求出 EG ，再利用三角形面积公式可得结果．
【详解】
解：（ 1 ）证明：连接 OE ，

∵ OA = OE ，
∴∠1=∠3 ，
∵ AE 平分 ∠ BAC ，
∴∠1=∠2 ，
∴∠2=∠3 ，
∴ OE ∥ AC ，
∴∠ OEB =∠ C =90° ，
则 BC 为圆 O 的切线；
（ 2 ）过 E 作 EG ⊥ AB 于点 G ，
在 △ ACE 和 △ AGE 中，
，
∴△ ACE ≌△ AGE （ AAS ），
∴ AC = AG =8 ，
∵ 圆 O 的半径为 5 ，
∴ AD = OA + OD =10 ，
∴ OG =3 ，
∴ EG = =4 ，
∴△ ADE 的面积 = =20 ．
【点睛】
此题考查了切线的判定，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，切线的判定方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径．
9、 （ 1 ） ；（ 2 ）（ ， ）；（ 3 ）（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）
【分析】
（ 1 ）根据 OB = OC =3 OA ， AC = ，利用勾股定理求出 OA ，可得 OB 和 OC ，得到 A ， B ， C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（ 2 ）判断出四边形 BACP 的面积最大时， △ BPC 的最大面积，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H ，求出直线 BC 的表达式，设点 P （ x ， - x 2 -2 x 3 ），利用三角形面积公式 S △ BPC = ，即可求出 S △ BPC 面积最小时点 P 的坐标；
（ 3 ）分类讨论，一是当 BP 为平行四边形对角线时，二是当 BP 为平行四边形一边时，利用平移规律即可求出点 Q 的坐标．
【详解】
解：（ 1 ） ∵ OB = OC =3 OA ， AC = ，
∴ ，即 ，
解得： OA =1 ， OC = OB =3 ，
∴ A （ 1 ， 0 ）， B （ -3 ， 0 ）， C （ 0 ， 3 ），代入 中，
则 ，解得： ，
∴ 抛物线的解析式为 ；
（ 2 ）如图，四边形 PBAC 的面积 =△ BCA 的面积 +△ PBC 的面积，
而 △ ABC 的面积是定值，故四边形 PBAC 的面积最大，只需要 △ BPC 的最大面积即可，
过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H ，
∵ B （ -3 ， 0 ）， C （ 0 ， 3 ），设直线 BC 的表达式为 y = mx + n ，
则 ，解得： ，
∴ 直线 BC 的表达式为 y = x +3 ，
设点 P （ x ， - x 2 -2 x +3 ），则点 H （ x ， x +3 ），
S △ BPC = = = ，
∵ ，故 S 有最大值，即四边形 PBAC 的面积有最大值，
此时 x = 代入 得 ，
∴ P （ ， ）；

（ 3 ）若 BP 为平行四边形的对角线，
则 PQ ∥ BM ， PQ = BM ，
则 P 、 Q 关于直线 x =-1 对称，
∴ Q （ ， ）；

若 BP 为平行四边形的边，
如图， QP ∥ BM ， QP = BM ，
同上可得： Q （ ， ）；

如图， BQ ∥ PM ， BQ = PM ，
∵ 点 Q 的纵坐标为 ，代入 中，
解得： 或 （舍），
∴ 点 Q 的坐标为（ ， ）；

如图， BP ∥ QM ， BP = QM ，
∵ 点 Q 的纵坐标为 ，代入 中，
解得： （舍）或 ，
∴ 点 Q 的坐标为（ ， ）；

综上：点 Q 的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、填空题
1、 x ≥-3 且 x ≠0
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0 ，分母不等于 0 列不等式组求解．
【详解】
解：根据题意得： x +3≥0 且 x ≠0 ，
解得 x ≥-3 且 x ≠0 ．
故答案为： x ≥-3 且 x ≠0 ．
【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围．考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0 ，二次根式有意义，被开方数是非负数．
2、 -1
【分析】
根据方程解的定义，将 x =1 ， y =3 代入方程 ，即可求得 a 的值．
【详解】
解：根据题意，将 x =1 ， y =3 代入方程 ，
得： ，
解得： a =-1 ，
故答案为： -1 ．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把 x ， y 的值代入原方程验证二元一次方程的解．
3、
【分析】
过 A 作 AE ⊥ BC ，垂足为 E ，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得 AE ．
【详解】
解：如图，过 A 作 AE ⊥ BC ，垂足为 E ，即 AE 为菱形 ABCD 的高，
∵ 菱形 ABCD 中， AC =10 ， BD =24 ，
∴ OB = BD =12 ， OA = AC =5 ，
在 Rt △ ABO 中， AB = BC = =13 ，
∵ S 菱形 ABCD = ，
∴ ，
解得： AE = ，
故答案为： ．

【点睛】
本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相平分且垂直．

4、
【分析】
由于将 △ ABC 绕点 C 旋转 120° 得到 △ A ′ B ′ C ′ ，可见，阴影部分面积为扇形 ACA ′ 减扇形 BCB ′ ，分别计算两扇形面积，再计算其差即可．
【详解】
解：如图：由旋转可得：
∠ ACA ′=∠ BCB ′=120° ，又 AC =3 ， BC =2 ，
S 扇形 ACA ′ = = ，
S 扇形 BCB ′ = = ，
则线段 AB 扫过的图形的面积为 = ，
故答案为：

【点睛】
本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键．
5、 2 n +1
【分析】
分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．
【详解】
解：由图可知：
拼成第一个图形共需要 3 根火柴棍，
拼成第二个图形共需要 3+2=5 根火柴棍，
拼成第三个图形共需要 3+2×2=7 根火柴棍，
...
拼成第 n 个图形共需要 3+2× （ n -1 ） =2 n +1 根火柴棍，
故答案为： 2 n +1 ．
【点睛】
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．
6、 m ＞ -3 且 m ≠-2
【分析】
先利用 m 表示出 x 的值，再由 x 为正数求出 m 的取值范围即可．
【详解】
解：方程两边同时乘以 x -1 得， ，
解得 ，
∵ x 为正数，
∴ m +3 ＞ 0 ，解得 m ＞ -3 ．
∵ x ≠1 ，
∴ m +3≠1 ，即 m ≠-2 ．
∴ m 的取值范围是 m ＞ -3 且 m ≠-2 ．
故答案为： m ＞ -3 且 m ≠-2 ．
【点睛】
本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于 0 的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
7、 3
【分析】
连接 OC 和 PC ，利用切线的性质得到 CQ ⊥ PQ ，可得当 CP 最小时， PQ 最小，此时 CP ⊥ AB ，再求出 CP ，利用勾股定理求出 PQ 即可．
【详解】
解：连接 QC 和 PC ，
∵ PQ 和圆 C 相切，
∴ CQ ⊥ PQ ，即 △ CPQ 始终为直角三角形， CQ 为定值，
∴ 当 CP 最小时， PQ 最小，
∵△ ABC 是等边三角形，
∴ 当 CP ⊥ AB 时， CP 最小，此时 CP ⊥ AB ，
∵ AB = BC = AC =4 ，
∴ AP = BP =2 ，
∴ CP = = ，
∵ 圆 C 的半径 CQ = ，
∴ PQ = =3 ，
故答案为： 3 ．

【点睛】
本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当 PC ⊥ AB 时，线段 PQ 最短是关键．