1、上页下页铃结束返回首页1一、极限运算法则 为简化起见为简化起见,以以 表示自变量表示自变量 的下列任一种变化的下列任一种变化趋势趋势:上页下页铃结束返回首页2法则法则1（极限四则运算法则）（极限四则运算法则）设设则则若若 则有则有上页下页铃结束返回首页3例例1 求极限求极限解解 由运算法则得由运算法则得上页下页铃结束返回首页4 由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式:若若则则上页下页铃结束返回首页5例例2 求极限求极限解解 因因所以由商的运算法则得所以由商的运算法则得上页下页铃结束返回首页6 更一般地有有理函数在有限点处的求极限法则更一般地有有
2、理函数在有限点处的求极限法则:若若 且且 则则:上页下页铃结束返回首页7例例3 求极限求极限解解 因因约分约分所以所以上页下页铃结束返回首页8例例4 求极限求极限解解 分子分母均除以分子分母均除以 得得 上页下页铃结束返回首页9例例5 求极限求极限解解 分子分母均除以分子分母均除以 ,得得 上页下页铃结束返回首页10 对上面几个例子的分析对上面几个例子的分析,得到有理函数得到有理函数时的极限公式时的极限公式:当当 基本方法基本方法:除以最高次幂除以最高次幂.上页下页铃结束返回首页11法则法则2（复合函数的极限运算法则（复合函数的极限运算法则）设设但在点但在点 的某去心领域内的某去心领域内 则复
3、合函数则复合函数又设函数又设函数 当当 时的极限存在且等于时的极限存在且等于 当当 时的极限存在时的极限存在,且且上页下页铃结束返回首页12例例6 求极限求极限 解解 令令 则函数则函数满足定理的条件满足定理的条件,由此得到由此得到上页下页铃结束返回首页13例例7 求求解解 上例给出了无理函数求极限的一般方法上例给出了无理函数求极限的一般方法:有理化有理化.上页下页铃结束返回首页14例例8 求求解解 上页下页铃结束返回首页15二、极限的性质 1.收敛数列的有界性收敛数列的有界性定理定理 收敛数列必有界收敛数列必有界.ax1x2x3xN+1xN+2xN+3xNx【】推论推论:无界数列必发散无界数
4、列必发散.注意注意,该定理不是充分必要条件该定理不是充分必要条件.例如数列例如数列是是有界有界数列但是数列但是发散发散的的.上页下页铃结束返回首页16 与数列的有界性定理平行的是与数列的有界性定理平行的是:定理定理 （局部有界性）（局部有界性）如果极限如果极限存在存在,那么那么 有界性的几何意义有界性的几何意义.局部范围局部范围上界与下界上界与下界在在 的某个去心邻域内的某个去心邻域内,函数函数 有界有界.上页下页铃结束返回首页17 2.有极限的函数的局部保号性有极限的函数的局部保号性定理定理 （极限的保号性）（极限的保号性）如果如果则存在则存在的某个去心邻域内的某个去心邻域内,使得在该邻域中有使得在该邻域中有:保号性的几何意义保号性的几何意义.局部范围局部范围保持符号保持符号上页下页铃结束返回首页18小小 结结极限的运算法则极限的运算法则极限四则运算法则极限四则运算法则复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则极限的性质极限的性质收敛数列的有界性收敛数列的有界性有极限函数的局部有界性有极限函数的局部有界性有极限函数的局部保号性有极限函数的局部保号性上页下页铃结束返回首页19课后练习课后练习P25习题习题1-3 1,2
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