2021年四川省泸州市数学中考试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 实数 2021 的相反数是（    ）
A ． 2021 B ． C ． D ．
2、 第七次全国人口普查统计，泸州市常住人口约为 4 254 000 人，将 4 254 000 用科学记数法表示为 (  )
A ． B ． C ． D ．
3、 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
4、 函数 的自变量 x 的取值范围是（ ）
A ． x ＜ 1 B ． x ＞ 1 C ． x ≤1 D ． x ≥1
5、 如图，在平行四边形 ABCD 中， AE 平分 ∠ BAD 且交 BC 于点 E ， ∠ D =58° ，则 ∠ AEC 的大小是（ ）

A ． 61° B ． 109° C ． 119° D ． 122°
6、 在平面直角坐标系中，将点 A (-3 ， -2) 向右平移 5 个单位长度得到点 B ，则点 B 关于 y 轴对称点 的坐标为（ ）
A ． (2 ， 2) B ． (-2 ， 2) C ． (-2 ， -2) D ． (2 ， -2)
7、 下列命题是真命题的是（ ）
A ．对角线相等的四边形是平行四边形
B ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C ．对角线互相垂直的四边形是菱形
D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8、 在锐角 ABC 中， ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 所对的边分别为 a ， b ， c ，有以下结论： （其中 R 为 ABC 的外接圆半径）成立．在 ABC 中，若 ∠ A =75° ， ∠ B =45° ， c =4 ，则 ABC 的外接圆面积为（ ）
A ． B ． C ． D ．
9、 关于 x 的一元二次方程 的两实数根 ，满足 ，则 的值是（ ）
A ． 8 B ． 16 C ． 32 D ． 16 或 40
10、 已知 ， ，则 的值是（ ）
A ． 2 B ． C ． 3 D ．
11、 如图， ⊙ O 的直径 AB =8 ， AM ， BN 是它的两条切线， DE 与 ⊙ O 相切于点 E ，并与 AM ， BN 分别相交于 D ， C 两点， BD ， OC 相交于点 F ，若 CD =10 ，则 BF 的长是

A ． B ． C ． D ．
12、 直线 l 过点 (0 ， 4) 且与 y 轴垂直，若二次函数 （其中 x 是自变量）的图像与直线 l 有两个不同的交点，且其对称轴在 y 轴右侧，则 a 的取值范围是（ ）
A ． a ＞ 4 B ． a ＞ 0 C ． 0 ＜ a ≤4 D ． 0 ＜ a ＜ 4
二、解答题（共9题）
1、 计算： ．
2、 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， AB = AC ， ∠ B =∠ C ，求证： BD = CE

3、 化简： ．
4、 某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了 20 天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下： 16 ， 14 ， 13 ， 17 ， 15 ， 14 ， 16 ， 17 ， 14 ， 14 ， 15 ， 14 ， 15 ， 15 ， 14 ， 16 ， 12 ， 13 ， 13 ， 16

（ 1 ）根据上述样本数据，补全条形统计图；
（ 2 ）上述样本数据的众数是 _____ ，中位数是 _____ ；
（ 3 ）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．
5、 某运输公司有 A 、 B 两种货车， 3 辆 A 货车与 2 辆 B 货车一次可以运货 90 吨， 5 辆 A 货车与 4 辆 B 货车一次可以运货 160 吨．
（ 1 ）请问 1 辆 A 货车和 1 辆 B 货车一次可以分别运货多少吨？
（ 2 ）目前有 190 吨货物需要运输，该运输公司计划安排 A 、 B 两种货车将全部货物一次运完 ( A 、 B 两种货车均满载 ) ，其中每辆 A 货车一次运货花费 500 元，每辆 B 货车一次运货花费 400 元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
6、 一次函数 y = kx + b （ k ≠0 ）的图像与反比例函数 的图象相交于 A (2 ， 3) ， B (6 ， n ) 两点
（ 1 ）求一次函数的解析式
（ 2 ）将直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l ， l 与两坐标轴分别相交于 M ， N ，与反比例函数的图象相交于点 P ， Q ，求 的值
7、 如图， A ， B 是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在 C 点处遇险发出求救信号，此时测得 C 点位于观测点 A 的北偏东 45° 方向上，同时位于观测点 B 的北偏西 60° 方向上，且测得 C 点与观测点 A 的距离为 海里．

（ 1 ）求观测点 B 与 C 点之间的距离；
（ 2 ）有一艘救援船位于观测点 B 的正南方向且与观测点 B 相距 30 海里的 D 点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为 42 海里 / 小时，求救援船到达 C 点需要的最少时间．
8、 如图， ABC 是 ⊙ O 的内接三角形，过点 C 作 ⊙ O 的切线交 BA 的延长线于点 F ， AE 是 ⊙ O 的直径，连接 EC

（ 1 ）求证： ；
（ 2 ）若 ， 于点 ， ， ，求 的值
9、 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与两坐标轴分别相交于 A ， B ， C 三点
（ 1 ）求证： ∠ ACB =90°
（ 2 ）点 D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点 D 作 x 轴的垂线交 BC 于点 E ，交 x 轴于点 F ．
① 求 DE + BF 的最大值；
② 点 G 是 AC 的中点，若以点 C ， D ， E 为顶点的三角形与 AOG 相似，求点 D 的坐标．

三、填空题（共4题）
1、 分解因式： ___________ ．
2、 不透明袋子重病装有 3 个红球， 5 个黑球， 4 个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是 _________ ．
3、 关于 x 的不等式组 恰好有 2 个整数解，则实数 a 的取值范围是 _________ ．
4、 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，点 F 在 CD 上，且 CF =3 DF ， AE ， BF 相交于点 G ，则 AGF 的面积是 ________ ．

============参考答案============
一、选择题
1、 B
【分析】
直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
【详解】
解： 2021 的相反数是： ．
故选： B ．
【点睛】
本题主要考查相反数的定义，正确掌握其概念是解题关键．
2、 C
【分析】
科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1≤| a | ＜ 10 ， n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：将 4254000 用科学记数法表示是 4.254×10 6 ．
故选： C ．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1≤| a | ＜ 10 ， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
3、 D
【分析】
分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论．
【详解】
解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意；
圆柱的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
球体的主视图是圆，符合题意；
故选： D ．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4、 B
【分析】
根据二次根式被开方数大于等于 0 ，分母不等于 0 列式计算即可得解．
【详解】
解 : 由题意得， x -1≥0 且 x -1≠0 ，
解得 x ＞ 1 ．
故选： B ．
【点睛】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（ 1 ）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（ 2 ）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0 ；（ 3 ）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5、 C
【分析】
根据四边形 ABCD 是平行四边形，得到对边平行，再利用平行的性质求出 ，根据角平分线的性质得： AE 平分 ∠ BAD 求 ，再根据平行线的性质得 ，即可得到答案．
【详解】
解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ ，
∴
∵ AE 平分 ∠ BAD
∴
∵
∴
故选 C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，能利用平行四边形的性质找到角与角的关系，是解答此题的关键．
6、 C
【分析】
根据点的平移规律左减右加可得点 B 的坐标，然后再根据关于 B 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】
解：点 A (-3 ， -2) 向右平移 5 个单位长度得到点 B (2 ， -2) ，
点 B 关于 y 轴对称点 的坐标为（ -2 ， -2 ），
故选： C ．
【点睛】
本题主要考查了点的平移和关于 y 轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7、 B
【分析】
A 、根据平行四边形的判定定理作出判断； B 、根据矩形的判定定理作出判断； C 、根据菱形的判定定理作出判断； D 、根据正方形的判定定理作出判断．
【详解】
解： A 、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；
B 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；
C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；
D 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；
故选： B ．
【点睛】
本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
8、 A
【分析】
方法一：先求出 ∠C ，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式 S 圆 = ．
方法二：设 △ ABC 的外心为 O ，连结 OA ， OB ，过 O 作 OD ⊥ AB 于 D ，由三角形内角和可求 ∠ C =60° ，由圆周角定理可求 ∠ AOB =2∠ C =120° ，由等腰三角形性质， ∠ OAB =∠ OBA = ，由垂径定理可求 AD = BD = ，利用三角函数可求 OA = ，利用圆的面积公式 S 圆 = ．
【详解】
解 : 方法一： ∵∠ A =75° ， ∠ B 45° ，
∴∠ C =180°-∠ A -∠ B =180°-75°-45°=60° ，
有题意可知 ，
∴ ，
∴S 圆 = ．
方法二：设 △ ABC 的外心为 O ，连结 OA ， OB ，过 O 作 OD ⊥ AB 于 D ，
∵∠ A =75° ， ∠ B =45° ，
∴∠ C =180°-∠ A -∠ B =180°-75°-45°=60° ，
∴∠ AOB =2∠ C =2×60°=120° ，
∵ OA = OB ，
∴∠ OAB =∠ OBA = ，
∵ OD ⊥ AB ， AB 为弦，
∴ AD = BD = ，
∴ AD = OA cos30° ，
∴ OA = ，
∴S 圆 = ．
故答案为 A ．

【点睛】
本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．
9、 C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得 或 ，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可．
【详解】
解：一元二次方程

或
当 时，
原一元二次方程为
，
，

当 时，原一元二次方程为

原方程无解，不符合题意，舍去，
故选： C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10、 C
【分析】
根据同底数幂的乘法 ，可求 再整体代入即可．
【详解】
解 : ∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选： C ．
【点睛】
本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则，与代数式值求法是解题关键．
11、 A
【分析】
过点 D 作 DG ⊥ BC 于点 G ，延长 CO 交 DA 的延长线于点 H ，根据勾股定理求得 ，即可得 AD=BG =2 ， BC = 8 ，再证明 △ HAO ≌△ BCO ，根据全等三角形的性质可得 AH=BC =8 ，即可求得 HD= 10 ；在 Rt△ ABD 中，根据勾股定理可得 ；证明 △ DHF ∽△ BCF ，根据相似三角形的性质可得 ，由此即可求得 ．
【详解】
过点 D 作 DG ⊥ BC 于点 G ，延长 CO 交 DA 的延长线于点 H ，

∵ AM ， BN 是它的两条切线， DE 与 ⊙ O 相切于点 E ，
∴ AD=DE ， BC=CE ， ∠ DAB ∠ ABC =90° ，
∵ DG ⊥ BC ，
∴ 四边形 ABGD 为矩形，
∴ AD=BG ， AB=DG =8 ，
在 Rt△ DGC 中， CD =10 ，
∴ ，
∵ AD=DE ， BC=CE ， CD =10 ，
∴ CD = DE + CE = AD+BC =10 ，
∴ AD+BG + GC =10 ，
∴ AD=BG =2 ， BC = CG + BG =8 ，
∵∠ DAB =∠ ABC =90° ，
∴ AD ∥ BC ，
∴∠ AHO =∠ BCO ， ∠ HAO =∠ CBO ，
∵ OA = OB ，
∴△ HAO ≌△ BCO ，
∴ AH=BC =8 ，
∵ AD =2 ，
∴ HD=AH + AD =10 ；
在 Rt△ ABD 中， AD =2 ， AB =8 ，
∴ ，
∵ AD ∥ BC ，
∴△ DHF ∽△ BCF ，
∴ ，
∴ ，
解得， ．
故选 A ．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．
12、 D
【分析】
由直线 l ： y =4 ，化简抛物线 ，令 ，利用判别式 ，解出 ，由对称轴在 y 轴右侧可求 即可．
【详解】
解： ∵ 直线 l 过点 (0 ， 4) 且与 y 轴垂直，
直线 l ： y =4 ，
，
∴ ，
∵ 二次函数 （其中 x 是自变量）的图像与直线 l 有两个不同的交点，
∴ ，
，
∴ ，
又 ∵ 对称轴在 y 轴右侧，
，
∴ ，
∴0 ＜ a ＜ 4 ．
故选择 D ．
【点睛】
本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判别式，掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是解题关键．
二、解答题
1、 12 ．
【分析】
根据零指数幂，负整指数幂，去括号法则，特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．
【详解】
解：

．
【点睛】
本题考查了零指数幂，负整指数幂，去括号法则，特殊角的三角函数值等知识点，熟悉相关知识点是解题的关键
2、 证明见详解．
【分析】
根据 “ ASA ” 证明 △ ABE ≌△ ACD ，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论 .
【详解】
证明：在 △ ABE 和 △ ACD 中，
∵ ,
△ABE≌△ACD (ASA) ，
∴ AE = AD ，
∴ BD = AB – AD = AC - AE = CE ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS 和 HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
3、 ．
【分析】
首先将括号里面进行通分运算，进而合并分子化简，再利用分式除法法则计算得出答案．
【详解】
解：
=
=
=
= ．
【点睛】
此题主要考查了分式的混合运算，正确进行分式的通分运算是解答此题的关键．
4、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） 14 万元， 14.5 万元；（ 3 ） 14.65 万元
【分析】
1 ）分别找出数据 “14” 和 “16” 的频数即可补全条形统计图；
（ 2 ）根据众数和中位数的定义进行解答即可；
（ 3 ）根据加权平均数的计算方法求出样本平均数，再估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额即可．
【详解】
解：（ 1 ）根据所给的 20 个数据得出：
销售额是 14 万元的有 6 天；
销售额是 16 万元的有 4 天；
补全条形统计图如下：

（ 2 ）在数据： 16 ， 14 ， 13 ， 17 ， 15 ， 14 ， 16 ， 17 ， 14 ， 14 ， 15 ， 14 ， 15 ， 15 ， 14 ， 16 ， 12 ， 13 ， 13 ， 16 中，
销售额是 14 万元的最多，有 6 天，故众数是 14 万元；
将数据按大小顺序排列，第 10 ， 11 个数据分别是 14 万元和 15 万元，
所以，中位数是： （万元）；
故答案为： 14 万元， 14.5 万元；
（ 3 ） 20 天的销售额的平均值为： （万元）
所以，可以估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额为 14.65 万元．
【点睛】
此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
5、 （ 1 ） 1 辆 A 货车和 1 辆 B 货车一次可以分别运货 20 吨和 15 吨；（ 2 ）共有 3 种租车方案，方案 1 ：租用 A 型车 8 辆， B 型车 2 辆；方案 2 ：租用 A 型车 5 辆， B 型车 6 辆；方案 3 ：租用 A 型车 2 辆， B 型车 10 辆；租用 A 型车 8 辆， B 型车 2 辆最少．
【分析】
（ 1 ）设 1 辆 A 货车和 1 辆 B 货车一次可以分别运货 x 吨和 y 吨，根据 “3 辆 A 货车与 2 辆 B 货车一次可以运货 90 吨， 5 辆 A 货车与 4 辆 B 货车一次可以运货 160 吨 ” 列方程组求解可得；
（ 2 ）设货运公司安排 A 货车 m 辆，则安排 B 货车 n 辆．根据 “ 共有 190 吨货物 ” 列出二元一次方程组，结合 m ， n 均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据．
【详解】
解：（ 1 ） 1 辆 A 货车和 1 辆 B 货车一次可以分别运货 x 吨和 y 吨，
根据题意可得： ，
解得： ，
答： 1 辆 A 货车和 1 辆 B 货车一次可以分别运货 20 吨和 15 吨；
（ 2 ）设安排 A 型车 m 辆， B 型车 n 辆，
依题意得： 20 m +15 n =190 ，即 ，
又 ∵ m ， n 均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴ 共有 3 种运输方案，
方案 1 ：安排 A 型车 8 辆， B 型车 2 辆；
方案 2 ：安排 A 型车 5 辆， B 型车 6 辆；
方案 3 ：安排 A 型车 2 辆， B 型车 10 辆．
方案 1 所需费用： 500 8+400 2=4800( 元 ) ；
方案 2 所需费用： 500 5+400 6=4900( 元 ) ；
方案 3 所需费用： 500 2+400 10=5000( 元 ) ；
∵4800 ＜ 4900 ＜ 5000 ，
∴ 安排 A 型车 8 辆， B 型车 2 辆最省钱，最省钱的运输费用为 4800 元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（ 1 ）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（ 2 ）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据总费用 =500× 安排 A 型车的辆数 +400× B 型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用．
6、 （ 1 ）一次函数 y= ，（ 2 ） ．
【分析】
（ 1 ）利用点 A (2 ， 3) ，求出反比例函数 ，求出 B (6 ， 1) ，利用待定系数法求一次函数解析式；
（ 2 ）利用平移求出 y= ，联立 ，求出 P (-6,-1), Q (-2,-3), 在 Rt △ MON 中，由勾股定理 MN = , PQ = 即可．
【详解】
解：（ 1 ） ∵ 反比例函数 的图象过 A (2 ， 3) ，
∴ m =6,
∴6 n =6 ，
∴ n =1 ，
∴ B （ 6,1 ）
一次函数 y = kx + b （ k ≠0 ）的图像与反比例函数 的图象相交于 A (2 ， 3) ， B (6 ， 1) 两点，
∴ ，
解得 ，
一次函数 y= ，
（ 2 ）直线 AB 沿 y 轴向下平移 8 个单位后得到直线 l ，得 y= ，
当 y =0 时， ， ，当 x =0 时， y =-4 ，
∴ M （ -8 ， 0 ）， N （ 0 ， -4 ），
，
消去 y 得 ，
解得 ，
解得 ， ，
∴ P (-6,-1), Q (-2,-3),
在 Rt △ MON 中，
∴ MN = ,
∴ PQ = ，
∴ ．

【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线 l. ，解方程组，一元二次方程，勾股定理，掌握待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线 l. ，解方程组，一元二次方程，勾股定理是解题关键．
7、 （ 1 ）观测点 B 与 C 点之间的距离为 50 海里；（ 2 ）救援船到达 C 点需要的最少时间为 小时．
【分析】
（ 1 ）过 C 作 CE ⊥ AB 于 E ，分别在 Rt △ ACE 和 Rt △ BCE 中，解直角三角形即可求解；
（ 2 ）过 C 作 CF ⊥ BD ，交 DB 延长线于 F ，求得四边形 BFCE 为矩形，在 Rt △ CDF 中，利用勾股定理即可求解．
【详解】
（ 1 ）过 C 作 CE ⊥ AB 于 E ，
由题意得： ∠ CAE =45° ， ∠ CBE =90°-60°=30° ， AC =25 ，
在 Rt △ ACE 中，
AE = CE = AC =25 =25( 海里 ) ，
在 Rt △ BCE 中，
BC =2 CE =50( 海里 ) ， BE = =25 ( 海里 ) ，
∴ 观测点 B 与 C 点之间的距离为 50 海里；
（ 2 ）过 C 作 CF ⊥ BD ，交 DB 延长线于 F ，
∵ CE ⊥ AB ， CF ⊥ BD ， ∠ FBE =90° ，
∴ 四边形 BFCE 为矩形，
∴ CF = BE =25 ( 海里 ) ， BF = CE =25( 海里 ) ，
在 Rt △ CDF 中， CF =25 ( 海里 ) ， DF =55( 海里 ) ，
∴ CD = 70( 海里 ) ，
救援船到达 C 点需要的最少时间为 ( 小时 ) ．
．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用 - 方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8、 （ 1 ）证明见详解；（ 2 ） 18 ．
【分析】
（ 1 ）连接 ，根据 是 ⊙ O 的切线， AE 是 ⊙ O 的直径，可得 ，利用 ，得到 ，根据圆周角定理可得 ，则可证得 ；
（ 2 ）由（ 1 ）可知 ，易得 ，则有 , 则可得 ，并可求得 ，连接 ，易证 ，则有 ，可得 ．
【详解】
解：（ 1 连接

∵ 是 ⊙ O 的切线， AE 是 ⊙ O 的直径，
∴ ，
∴
∴
又 ∵
∴
根据圆周角定理可得：
∴ ，
∴ ；
（ 2 ）由（ 1 ）可知 ，
∵
∴
∴
∴ ,
∵ ， ，
∴
∴
∴
又 ∵ 中，
∴ ，
如图示，连接

∵ ，
∴
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，三角形相似的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
9、 （ 1 ）（ 2 ） ①9 ； ② 或 ．
【分析】
（ 1 ）分别计算 A ， B ， C 三点的坐标，再利用勾股定理求得 AB 、 BC 、 AC 的长，最后利用勾股定理逆定理解题；
（ 2 ） ① 先解出直线 BC 的解析式，设 ，接着解出 ，利用二次函数的配方法求最值； ② 根据直角三角形斜边的中线性质，解得 AG 的长，再证明 ，再分两种情况讨论以点 C ， D ， E 为顶点的三角形与 AOG 相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．
【详解】
解：（ 1 ）令 x =0 ，得

令 得

，

（ 2 ） ① 设直线 BC 的解析式为： ，代入 ， 得

设

即 DE + BF 的最大值为 9 ；
② 点 G 是 AC 的中点，
在 中，
即 为等腰三角形，

若以点 C ， D ， E 为顶点的三角形与 AOG 相似，
则 ①

又

，
或
经检验： 不符合题意，舍去，
② ，
又

整理得，
，
或 ，
同理： 不合题意，舍去，
综上所述， 或 ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
三、填空题
1、 ．
【分析】
先提取公因式 4 ，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
2、
【分析】
用红球的数量除以球的总数量即可解题．
【详解】
解 : 根据题意，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查简单概率公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

3、
【分析】
首先解每个不等式，根据不等式组只有 2 个整数解，确定整数解的值，进而求得 a 的范围．
【详解】
解：
解 ① 得 ，
解 ② 得 ，
不等式组的解集是 ．
∵ 不等式组只有 2 个整数解，
∴ 整数解是 2 ， 3 ．
则 ,
∴
故答案是：
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据 x 的取值范围，得出 x 的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
4、 ．
【分析】
延长 AG 交 DC 延长线于 M ，过 G 作 GH ⊥ CD ，交 AB 于 N ，先证明 △ ABE ≌△ MCE ，由 CF =3 DF ，可求 DF =1 ， CF =3 ，再证 △ ABG ∽△ MFG ，则利用相似比可计算出 GN ，再利用两三角形面积差计算 S △ DEG 即可．
【详解】
解：延长 AG 交 DC 延长线于 M ，过 G 作 GH ⊥ CD ，交 AB 于 N ，如图，
∵ 点 E 为 BC 中点，
∴ BE = CE ，
在 △ ABE 和 △ MCE 中，
，
∴△ ABE ≌△ MCE （ ASA ），
∴ AB = MC =4 ，
∵ CF =3 DF ， CF + DF =4 ，
∴ DF =1 ， CF =3 ， FM = FC + CM =3+4=7 ，
∵ AB∥MF ，
∴∠ ABG =∠ MFG ， ∠ AGB =∠ MGF ，
∴△ ABG ∽△ MFG ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
S △ AFG = S △ AFB - S △ AGB = ，
故答案为 ．

【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，熟练运用相似比计算线段的长是解题关键．