2021-2022学年度高中数学必修第一册练习题含详解.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共8题）
1、 “ ” 是 “ >1” 的（    ）
A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件
2、 设集合 M ＝ { x | x ＞ 2} ， P ＝ { x | x ＜ 6} ，那么 “ x ∈ M 或 x ∈ P ” 是 “ x ∈ M ∩ P ” 的（　　）
A ．充分不必要条件 B ．充要条件
C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
3、 不等式 解集为（ ）
A ． B ．
C ． D ． 或
4、 函数 的单调递增区间为（ ）
A ． B ． C ． D ．
5、 设集合 ， ， ， ，则（ ）
A ． B ． C ． D ．
6、 非空集合 关于运算 满足：（ 1 ）对任意 ，都有 ；（ 2 ）存在 使对一切 都有 ，则称 是关于运算 的融洽集；现有下列集合及运算： ① 是非负整数集， ：实数的加法；
② 是非负整数集， ：实数的乘法；
③ ， ：实数的乘法；
其中为融洽集的个数是（ ） .
A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
7、 函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到 的图象，把 的图象上所有点进行平移，以下平移无法得到 的图象的是（ ）

A ．向左平移 个单位长度
B ．向右平移 个单位长度
C ．向右平移 个单位长度
D ．向左平移 个单位长度
8、 关于函数 sin ＋ cos ，有下列说法其中正确的是（ ）
A ． 的最大值为 ；
B ． 是以 π 为最小正周期的周期函数；
C ． 在区间 上单调递减；
D ．将函数 y ＝ cos2 x 的图象向左平移 个单位长度后，将与已知函数的图象重合
二、填空题（共4题）
1、 函数 的定义域为 ______ ．
2、 请写出一个既是偶函数又在区间 上单调递减的函数解析式是 __________ ．
3、 已知集合 ，则 __________ ．
4、 设 ， 是定文在 R 上的两个周期函数， 的周期为 4 ， 的周期为 2 ，且 是奇函数 . 当 时， ， 若在区间，
上，关于 x 的方程 有 11 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 ___________ ；
三、解答题（共4题）
1、 已知 ；求 的值 .
2、 化简下列各式：
（ 1 ） lg25 ＋ lg2 ＋ lg ＋ lg(0.01) － 1 ；
（ 2 ） (lg2) 2 ＋ lg2·lg50 ＋ lg25 ；
（ 3 ）计算 (log 3 2 ＋ log 9 2)·(log 4 3 ＋ log 8 3) ；
（ 4 ） 2log 3 2 － log 3 ＋ log 3 8 － 3log 5 5 ；
3、 已知方程 的两根 ， 也是方程 的根，试求 p 、 q 的值 .
4、 已知函数 .
（ 1 ）当 时，解不等式 ；
（ 2 ）若函数 的图象过点 ，且关于 的方程 有实根，求实数 的取值范围 .

============参考答案============
一、选择题
1、 A
【分析】
由充分条件、必要条件的定义，即得解
【详解】
由题意， “ ” 可推出 “ >1” ， 充分性成立；
“ ” 不可推出 “ >2 ， 必要性不成立；
故 “ ” 是 “ >1” 的充分非必要条件
故选： A
2、 C
【分析】
“ x ∈ M 或 x ∈ P ” 即 x ∈ M ∪ P ，再利用 x ∈ M ∩ P 与 x ∈ M ∪ P 之间的关系即可判断出结论．
【详解】
“ x ∈ M 或 x ∈ P ” 即 x ∈ M ∪ P ， M ∪ P ＝ { x | x ＞ 2}∪{ x | x ＜ 6} ＝ R ， M ∩ P ＝ { x |2 ＜ x ＜ 6} ．
∴ x ∈ M ∩ P ⇒ x ∈ M ∪ P ，反之不成立．
∴“ x ∈ M 或 x ∈ P ” 是 “ x ∈ M ∩ P ” 的必要不充分条件．
故选： C ．
3、 A
【分析】
原不等式可化为 ，求解集即可 .
【详解】
由 得： ，解得 .
故选： A
4、 D
【分析】
求出函数 的定义域，利用复合函数法可求得函数 的增区间 .
【详解】
对于函数 ，有 ，解得 或 ，
故函数 的定义域为 ，
内层函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
外层函数 为减函数，
由复合函数的单调性可知，函数 的单调递增区间为 .
故选： D.
5、 B
【分析】
对于集合 ，令 和 ，即得解 .
【详解】
， ， ， ，
对于集合 ，当 时， ， ；
当 时， ， ．
，
故选： B ．
6、 D
【分析】
逐一验证 ①②③ 是否分别满足 “ 融洽集 ” 的两个条件，若两个条件都满足，是 “ 融洽集 ” ，有一个不满足 , 则不是 “ 融洽集 ” ，进而可得正确答案 .
【详解】
对于 ① ：对于任意非负整数 ，则 仍为非负整数，即 ；取 ，则 ，故 ① 为融洽集；
对于 ② ：对于任意非负整数 ，则 仍为非负整数，即 ；取 ，则 ，故 ② 为融洽集；
对于 ③ ：设 ， ，则 ，即 ；满足 ；取 ，则 ，满足 ，故 ③ 为融洽集；
所以融洽集的个数是 个，
故选： D
7、 BD
【分析】
由周期算出 ，进而代入数值求出 ，可得 的解析式，再根据图象变换规律，得出结果即可 .
【详解】
解：由于 ，故 ，所以 ，
因为 ， ， ，解得 ，
故 ，
故需将 图像上所有点向左平移 个单位长度或向右平移 个单位长度得到 .
故选： BD.
8、 ABC
【分析】
利用辅助角公式可得 ，由正弦型函数的性质即可判断 A 、 B 的正误，根据给定区间求 的对应区间，结合正弦函数的单调性判断 C 的正误，令 ，由图像平移求 的解析式，即知是否与 重合 .
【详解】
，
∴ 时， ， A 正确；
最小正周期为 ， B 正确；
则 ，故 在 上单调递减， C 正确；
令 ，则 ， D 错误 .
故选： ABC
二、填空题
1、
【分析】
根据函数 解析式列不等式组，由此求得 的定义域 .
【详解】
依题意 ，
所以 的定义域为 .
故答案为：
2、 ( 答案不唯一 )
【分析】
根据函数的奇偶性及单调性直接写出即可 .
【详解】
因为 ， ，所以函数 是偶函数，
又根据函数的图象可知，函数 在区间 上单调递减 .
所以既是偶函数又在区间 上单调递减的函数解析式可以是 .
故答案为： ( 答案不唯一 )
3、
分析】
根据集合的定义确定集合 中的元素，然后由交集定义求解．
【详解】
由题意集合 是由集合 的所有子集构成的集合，
集合 是由集合 的所有子集构成的集合，
它们有公共元素 和 ，
所以 ．
故答案为： ．
4、
【分析】
由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合即可．
【详解】
解：作出函数 与 的图象如图：

由图可知，函数 与 ， ， ， ， ， 有三个实数根，
要使关于 的方程 有 11 个不同的实数根，
则 ， 与 ， 的图象有 2 个交点，
由 到直线 的距离为 1 ，得 ，解得 ，
因为两点 ， 连线的斜率 ，
所以 ，即 的取值范围是 ，
故答案为： ．
三、解答题
1、
【分析】
根据 ，解得 ，再对 进行化简计算即可 .
【详解】
由 ，
解得 .
所以

.
2、 （ 1 ） ；（ 2 ） 2 ；（ 3 ） ；（ 4 ）－ 1.
【分析】
（ 1 ）利用对数的运算性质即解；
（ 2 ）利用对数的运算性质即解；
（ 3 ）利用换底公式化简求值；
（ 4 ）利用对数的运算性质即求 .
【详解】
（ 1 ）原式＝
（ 2 ）原式＝ (lg2) 2 ＋ (1 ＋ lg5)lg2 ＋ lg5 2 ＝ (lg2 ＋ lg5 ＋ 1)lg2 ＋ 2lg5
＝ (1 ＋ 1)lg2 ＋ 2lg5
＝ 2(lg2 ＋ lg5)
＝ 2.
（ 3 ） (log 3 2 ＋ log 9 2)·(log 4 3 ＋ log 8 3)
＝ ·
＝ ·
＝ ·
＝ .
（ 4 ） 2log 3 2 － log 3 ＋ log 3 8 － 3log 5 5
＝ log 3 2 2 ＋ log 3 (3 2 ×2 － 5 ) ＋ log 3 2 3 － 3
＝ log 3 (2 2 ×3 2 ×2 － 5 ×2 3 ) － 3
＝ log 3 3 2 － 3
＝ 2 － 3
＝－ 1.
3、 ， .
【分析】
依题意 ， 是可以求出的，即可以视为已知数 . 由 ， 是方程 的根可得 ，这可以看成是一个关于 p 、 q 的二元一次方程组，从而可解出 p 、 q ，把 p 、 q 表示成 ， 的多项式后变形为 ， 的形式，结合韦达定理求得 的值 .
【详解】
、 是方程 的根，故 ①
由于 的判别式 ，
由韦达定理，有 ， ，
， .
解方程组 ① ，得 ②
从而 ，
，代入方程 ② 得 ， .
4、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）当 时，解指数、对数不等式求得不等式 的解集 .
（ 2 ）利用 求得 ，由 分离常数 ，利用构造函数法，结合函数的值域，求得 的取值范围 .
【详解】
（ 1 ）当 时， .
由 ，
得 ，
得 ，
得 ，
解得 .
故不等式 的解集是 .
（ 2 ）因为函数 的图象过点 ，
所以 ，
即 ，
解得 .
所以 .
因为关于 的方程 有实根，
即 有实根 .
所以方程 有实根 ..
令 ，
则 .
因为 ， ，
所以 的值域为 .
所以 ，
解得 .
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】
研究方程的零点问题，可考虑分离常数法，结合函数值域进行求解 .