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第12讲 反比例函数的图象和性质
【知识要点】
1、反比例函数的主要性质：
（1）、位置：①当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；
②当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。
（2）、增减性：①当k>0时,_________________,y随x的增大而________；
②当k<0时,_________________,y随x的增大而______。
（3）、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交
（4）、对称性：①对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；②对于k取互为相反数的两个反比例函数（如：y = 和y = ）来说，它们是关于x轴，y轴___________。
3、反比例函数（）中比例系数的几何意义是：
过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为|k|。

【典型例题】
（一）反比例函数的图象和性质：
例1、（1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限　　　　　　　．　
（2）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是（　 　）
A、 －1或1; 　 B、小于的任意实数; C、－1;　　 　Ｄ、不能确定

O
O
O
O
（3）已知，函数和函数在同一坐标系内的图象大致是（ ）

D

A
B
C

（4）正比例函数和反比例函数的图象有 个交点．
（5）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，），
则＝　　　　　　　　　．
例2、（1）下列函数中，当时，随的增大而增大的是（　　）
　A．　　　B．　　　C．　　　D．．
（2）已知反比例函数的图象上有两点A（，），B（，），且，
则的值是（ ）
A．正数　　 　B．负数 　　C．非正数　　　D．不能确定
（3）若点（，）、（，）和（，）分别在反比例函数 的图象上，且，则下列判断中正确的是（　　）
　A．　　B．　C．　　D．
（4）在反比例函数的图象上有两点和，若时，，则的取值范围是　　　　　　．
（5）正比例函数y=k1x(k1≠0)和反比例函数y= (k2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________.
（6）老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:
甲:函数的图象经过第二象限; 乙:函数的图象经过第四象限; 丙:在每个象限内,y随x的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: .

（二）反比例函数与三角形面积结合题型。
o
y
x
y
x
o
y
x
o
y
x
o
A
B
C
D
例3、（1）矩形的面积为6cm2，那么它的长（cm）与宽（cm）之间的函数关系用图象表示为（ ）

P
M（x,y）

（2）反比例函数y=(k>0)在第一象限内的图象如图,点M(x,y)是图象上一点,
MP垂直x轴于点P, MQ垂直y轴于点Q；① 如果矩形OPMQ的面积为2，则k=___;
② 如果△MOP的面积=____________.
O
A
C
B
（3）．老师在同一个直角坐标系中画了一个反比例函数的图象以及正比例函数的图象，请同学观察有什么特点。甲同学说：双曲线与直线有两个交点；乙同学说：双曲线上任意一点到两坐标轴的距离的积都是5．请你根据甲、乙两位同学的说法，写出这个反比例函数的解析式　　　　　　　　　．
(4)、如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，
过点A作AB⊥轴于点B，连结BC．则ΔABC的面积等于（　　　）
　A．1　　B．2　　C．4　　D．随的取值改变而改变．
（第（5）题）
(5)、如图，RtΔABO的顶点A是双曲线与直线
在第二象限的交点，AB垂直轴于B，且S△ABO＝，
则反比例函数的解析式　　　　　　　　．

(6).如图,在平面直角坐标系中，直线与双曲线在第一象限交于点A，
与轴交于点C，AB⊥轴，垂足为B，且＝1．求：
（1）求两个函数解析式；　（2）求△ABC的面积．

【经典练习】
1、已知-2与成反比例，当=3时，=1，则与间的函数关系式为 ；
2、已知反比例函数的图象经过点（3，2）和（m，－2），则m的值是＿＿＿
3、在直角坐标系中，O是坐标原点.点P（m,n）在反比例函数y=的图象上.若m=k,n=k－2,则k= ；若m+n=k,OP=2,且此反比例函数y=满足：当x>0时，y随x的增大而减小，则k= .
4、三个反比例函数(1)y= （2）y= （3）y= 在x轴上方的图象如图所示，由此推出k1，k2，k3的大小关系

5. 如图，在（x>0）的图象上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴引垂线，
交x轴于A1，B1，C1三点，连OA，OB，OC，记△OAA1，△OBB1，△OCC1的面积分别为S1，S2，S3，则有（ ）
A. S1=S2=S3 B. S1S2>S3
6、已知函数y=-kx（k≠0）和y=-的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则S△BOC=_________．
7、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点
（1）根据图象，分别写出A、B的坐标
（2）求出两函数解析式；
（3）根据图象回答：当为何值时，
一次函数的函数值大于反比例函数的函数值

8、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，
O
y
x
B
A
C
AB⊥轴于B且S△ABO=
（1）求这两个函数的解析式
（2）A，C的坐标分别为（-1，3）和（3，-1）求△AOC的面积。

9、如图，已知反比例函数y = 的图象经过点A（1，- 3），一次函数y = kx + b的图象经过点A与点C（0，- 4），且与反比例函数的图象相交于另一点B.
试确定这两个函数的表达式；

【课后作业】 姓 名 成 绩 家长签名
1、若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（　 　）
A、－1或1 　 B、小于 的任意实数 C、－1　　 　Ｄ、不能确定
o
2、正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象为（ ）
A B C D
x
y
y
x
o
y
x
o
y
x
o

3、在函数y=(k<0)的图像上有A(1,y)、B(－1,y)、C(－2,y)三个点则下列各式中正确的是（ ）
(A) y0 B >0，<0 C 、同号 D 、异号
5、若点（x1，y1）、（x2，y2）是反比例函数的图象上的点，并且
x1＜x2＜0，则下列各式中正确的是　　　　　　　　　　　（　　）
A、y1＜y2　　B、y1 >y2　　C、y1= y2　　　D、不能确定
6、如图，已知双曲线（）经过矩形的边的
中点，且四边形的面积为2，则 ．
7、如果y与x成反比例，z与y成正比例，则z与x成__________。
8、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且，（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积。

9、D为反比例函数：图象上一点.过D作DC⊥y轴于C, DE⊥x轴于E,一次函数与的图象都过C点,与x轴分别交于A、B两点。若梯形DCAE的面积为4，求k的值.

10、如图，已知反比例函数的图像与一次函数y＝kx＋4的图像相交于P、Q两点，并且P点的纵坐标是6．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求△POQ的面积．

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