2023年考研数学三真题及答案.doc

考研数学三真题
一、选择题（18小题，每题4分，共32分。下列每题给出四个选项中，只有一种选项是符合题目规定。）
(1) 曲线渐近线条数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】C。
【解析】
由,
得是曲线一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；
由得是曲线一条垂直渐近线；
由得不是曲线渐近线；
综上所述，本题对的答案是C
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形凹凸、拐点及渐近线
(2) 设函数,其中为正整数，则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】
【措施1】
令,则

故应选A.
【措施2】
由于,由导数定义知

.
【措施3】
排除法，令,则

则(B)(C)(D)均不对的
综上所述，本题对的答案是(A)
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分概念
(3) 设函数持续，则二次积分
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B。
【解析】
令,则所对应直角坐标方程为,所对应直角坐标方程为。
由积分区域

得在直角坐标下表达为

因此
综上所述，本题对的答案是(B)。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分概念、基础性质和计算
(4) 已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】
由级数绝对收敛，且当时，故,即
由级数条件收敛，知
综上所述，本题对的答案是(D)
【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性鉴定
(5) 设,其中为任意常数，则下列向量组线性有关为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C。
【解析】
个维向量有关
显然
因此必线性有关
综上所述，本题对的答案是(C)。
【考点】线性代数—向量—向量组线性有关和线性无关
(6) 设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若,则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B。
【解析】由于经列变换(把第2列加至第1列)为，有

那么
=
综上所述，本题对的答案是(B)。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换
(7) 设随机变量互相独立，且所有服从区间上均匀分布，则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】

而
即是在正方形上等于常数1，其他地方均为0，
实际上就是单位圆1在第一象限面积。
综上所述，本题对的答案是D。
【考点】概率论和数理记录—多维随机变量分布—二维随机变量分布
(8) 设为来自总体简朴随机样本，则记录量分布为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B。
【解析】
1， ，故；
2， ，故，,

3， 和互相独立。和也互相独立，
因此
综上所述，本题对的答案是B。
考点】概率论和数理记录—数理记录概念
二、填空题（914小题，每题4分，共24分。）
(9) 。
【答案】。
【解析】这是一种‘’型极限，由于

因此
【考点】高等数学—函数、极限、持续—两个关键极限
(10) 设函数,则 。
【答案】
【解析】
可看做,和复合，当时

由复合函数求导法则知

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分概念
(11) 设持续函数满足,则
。
【答案】
【解析】
由，且持续，可得,且
,
由可微定义得 ,即

【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数偏导数概念和计算
(12) 由曲线和直线及在第一象限中围成平面图形面积为 。
【答案】
【解析】

O 1 2
曲线和直线及在第一象限中围成平面域如下图，则所围面积为

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用
(13) 设为3阶矩阵，为伴随矩阵。若互换第1行和第2行得到矩阵，则 。
【答案】-27
【解析】
【措施1】
两行互换两列互换变成，因此,再由行列式乘法公式及，则

【措施2】根据题意
，即
那么
从而
【考点】线性代数—行列式—行列式概念和基础性质
线性代数—矩阵—伴随矩阵，矩阵初等变换
(14) 设是随机事件，互不相容，则 。
【答案】
【解析】
互不相容，自然有,当然更有，因此

【考点】概率论和数理记录—随机事件和概率—事件关系和运算，概率基础公式，事件独立性
三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节。
(15) 求极限
【解析】
【措施1】

(等价无穷小代换)
(洛必达法则)

【措施2】

(等价无穷小代换)
(泰勒公式)

【措施3】
(拉格朗日中值定理)

(洛必达法则)
()

【考点】高等数学—函数、极限、持续—无穷小量性质及无穷小量比较，极限四则运算
高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达(L'Hospital)法则
(16) 计算二重积分其中是以曲线及轴为边界无界区域。
【解析】

【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分和定积分换元积分法和分部积分法
高等数学—多元函数微积分学—二重积分概念、基础性质和计算
(17) 某企业为生产甲、乙两种型号产品投入固定成本为10000（万元）。设该企业生产甲、乙两种产品产量分别是(件)和（件），且这两种产品边际成本分别为(万元/件)和(万元/件).
(I) 求生产甲、乙两种产品总成本函数(万元)；
(II) 当总产量为50件时，甲、乙两种产品产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；
(III) 求总产量为50件且总成本最小时甲产品边际成本，并解释经济意义。
【解析】
(I) 总成本函数 （万元）
(II) 由题意知，求在时最小值，构造拉格朗日函数

解方程组 得.
因也许极值点唯一，且实际问题存在最小值，故总产量为50件时，甲乙两种产品产量分别是24,26时可使总成本最小，且此时投入总费用

(万元)
(III) 甲产品边际成本函数：,于是，当总产量为50件且总成本最小时甲产品边际成本

其经济意义为当甲乙两种产品产量分别是24,26时，若甲产量每增长一件，则总成本增长32万元。
(18) 证明：
【解析】
【措施1】
记,则

当时，由于,因此,从而单调增长。
又由于，因此，当时，; 当时，，于是是函数在内最小值。
从而当时，
即
【措施2】
记,
显然，是偶函数，因此只要证明
由于

从而有，
有
则当时，
即
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分概念，导数和微分四则运算，函数单调性鉴别，函数极值
(19) 已知函数满足方程及
(I) 求表达式；
(II) 求曲线拐点。
【解析】
(I) 联立
得,因此

代入得,因此
(II)

当时，; 当时，,又,因此曲线拐点为
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分概念，导数和微分四则运算，函数单调性鉴别，函数图形凹凸性、拐点及渐近线
(20) 设,.
(I) 计算行列式；
(II) 当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解。
【解析】
(I) 按第一列展开
,
(II) 当时，方程组有无穷多解，由上可知或
假如

方程组无解，舍去
当时，

，方程组有无穷多解，取为自由变量，得方程组通解为
为任意常数
【考点】线性代数—线性方程组—线性方程组有解和无解鉴定，非齐次线性方程组通解
(21) 已知,二次型秩为2
(I) 求实数值；
(II) 求正交变换将化为原则形。
【解析】
(I) 由于,对做初等行变换
,
因此，当时，
(II) 由于，因此，矩阵特性多项式为
，
于是特性值为
当时，由方程组,可得到属于一种单位特性向量；
当时，由方程组,可得到属于一种单位特性向量；
当时，由方程组,可得到属于一种单位特性向量。
令,
则在正交变换下原则形为

【考点】线性代数—矩阵—矩阵特性值和特性向量概念、性质
线性代数—二次型—二次型原则形和规范形，用正交变换和配措施化二次型为原则形
(22) 设二维离散型随机变量概率分布为

0
1
2
0

1
0

0
2

(I) 求；
(II) 求.
【解析】
(I)
(II) 由概率分布可得

因此

因此

【考点】概率论和数理记录—随机变量数字特性—随机变量数学期望(均值)、方差、原则差及其性质
(23) 设随机变量互相独立，且所有服从参数为1指数分布，记.
(I) 求概率密度；
(II) 求.
【解析】
(I)

当时，，
(II)

【考点】概率论和数理记录—随机变量及其分布—常见随机变量分布，持续型随机变量概率密度，随机变量函数分布
概率论和数理记录—随机变量数字特性—随机变量数学期望(均值)、方差、原则差及其性质