武汉测绘科技大学研究生平差试题.doc

武汉测绘学院
1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：测量平差 科目代码775
一、 填空题(共20分，每空1分)。
1、 已知观测向量的协方差阵，单位权方差，
设有函数：
则：
。
2、已知观测向量的协方差阵，而关于的协因数
，则单位权方差
3、设观测值向量的权阵，
已知变换,则变换的权阵＝（ ），相比之下 的精度比的精度（ ），的精度比的精度（ ）。
4、某控制网，必要观测数t=3，有9个观测值。若设2个函数独立的参数，则按（ ）法进行平差，应列（ ）个条件方程和（ ）个误差方程。
5、上题中，若选5个参数。就要按（ ）法进行平差，应列立（ ）个方程，其中（ ）个误差方程，（ ）个条件方程。
二、 某人租用全站仪承担如图1所示的极坐标放样任务。甲方规定P点放样精度为点位中误差绝对值，已知S=600m，A、B两点均无误差，现可租用的全站仪有三种，其租金和精度如下表：

价格／小时

高精度
26元/时
2
1
中精度
16元/时
5
2
低精度
12元/时
10
6

(图1)

设每测回需要一个小时，问租用那种全站仪放样经济效益最高？为什么？（）。（10分）

三、 在图2所示的边角网中，A、B为已知点，C、D是待定点，TAD是已知方位角，边
长观测值为Si(i=1,2,3,4)，角度观测值为。该网若按条件平差法进行平差，试问：

1、有多少个条件方程？各类方程各有多少个?
2、列出所有条件方程（非线性条件方程规定线性化）
（10分）

( 图2)
四、在间接平差中，参数平差值，改正数向量，试问与V是否相关？试证明之。（10分）
五、已知某直线通过点（2，5），为了拟定参数、b，分别在
处同精度测得试列出估计的法方程。（10分）
六、有一测角网如图3所示，网中A、B为已知点，为待定点，同精度观测了8个角度，图上给出了各点的坐标值，以公里为单位。
若按坐标平差进行平差，
1、 试列出的误差方程。（规定线性化，
，坐标改正数以dm为单位）。
2、 为求平差后边长的相对中误差，
试列出其权函数式？（15分） ( 图3)
七、已知某控制点坐标平差值的协因数阵为，单位权中误差为。试求与误差椭圆长轴成夹角方向上的位差。（10分）

八、图4水准网中A是已知点，是待定点。
第一次观测了，第一次平差后，发现3个待定点高
程精度达不到设计规定，为了提高精度，第二次观测了，
设5条路线长度相等，试求按序贯法平差计算增长了观测
值后，三个点高程平差值的权各增长了多少？
（10分） ( 图4)

试题分析及参考答案
一、填空题
1、 本小题考察对协方差阵和权的定义、协方差与协因数的关系、协方差传播律的掌握情况。前三个空，直接运用协方差传播律可以求得，一方面列出函数式的权函数式：，，应用协方差传播律得到：

，
。已知观测值向量的协方差阵，其对角线元素就是各观测值的方差，所以应用权的定义式，求得各观测值的权为：
，的协因数为：。
2、 本小题考察内容与第1小题相同，若第一小题能对的解答，则本小题应也能顺利求解。已知关于的互协方差为－1，互协因数为－1／5，根据互协因数的定义，就可得到。求得了单位权中误差，已知观测值协方差阵，从而观测值的权：。
3、本小题考察对观测值权阵的概念及其与协因数阵关系的理解，要注旨在观测值之间误差不独立时，权阵中的元素是无定义的，所以一方面要对权阵求逆，得到观测值的协因数阵，然后对给出的变换式应用协因数传播律，得到的协因数阵：
。对求逆得到权阵为：
。分析对比协因数阵和，较小的精度较高，所以的精度比高，的精度比高。

4、本小题考察对测量平差基本数学模型的理解，需要弄清楚所设函数独立未知数数目与平差方法间的关系。本题目设所设参数函数独立，但数目小于必要观测数，所以平差方法是附有未知参数的条件平差方法。多余观测数本为6，现在加选2个参数，所以应列出8个条件方程，无误差方程。
5、考察内容与上体相同，题设选5个参数，设为默认有三个函数独立参数，因此可以将所有观测值表达为未知参数的函数，既可以列出误差方程。但是由于最多只能选出3个函数独立的参数，所以5个参数间存在2个函数式，平差方法为附有限制条件的间接平差法。应列出11个方程，其中9个误差方程，2个限制条件方程。

二、
本题目考察对点位精度估算方法的理解和掌握情况。题设点位中误差绝对值要小于8mm，给出的条件是已知测距中误差、测角中误差及放样距离。根据点位中误差的平方是任意两个垂直方向误差分量的平方和，得到：。显然低精度的全站仪纵向误差＝100，已经超过精度规定。而将中档精度的全站仪精度指标代入计算检查，得到：。可见按一测回观测，精度就能符合规定，因此结论是：租用中档精度全站仪经济效益最高。

三、
本小题考察对必要观测数的理解和掌握，及能否对的列出条件方程并线性化。题设有两个待定点，所以未知参数为4，应有4个必要的函数独立观测值，但是网中有一多余已知方位角（即至少有一个端点为待定点的已知方位角），因此要减去一个必要观测值，所以必要观测数为3。
1、 必要观测数是3，观测值n=6，所以有3个条件方程。其中2个余弦条件，一个正弦条件
2、 条件式分别为为：
（1）、余弦条件式
，

（2）、正弦条件式：
（3）余弦条件式线性化后为：

（4）正弦条件式线性化后为：

四、 要证明两者是否相关，需要分别将它们表达为观测值的线性函数（矩阵式），然后对此应用协因数传播律，若有，即证得两者不相关，反之相关。
证明：根据间接平差公式知：，根据协因数传播律，得到：
。由此证得向量和V不相关。
五、 本小题也是考察对平差基本原理的应用，及附有限制条件间接平差方法的掌握情况。题目给出直线方程中常数项和系数项是未知参数，但同时又给出了一个通过的点，因此常数项和系数项就存在一个函数关系，即两个未知数中只有一个是函数独立的，必要观测数为1。所以解决此平差问题，要用附有限制条件的间接平差法。
由题设条件列出4个误差方程为：

一个限制条件方程：
按附有限制条件的间接平差法平差，组成法方程为：

六、 题目考察对间接平差法误差方程列立的掌握情况，自身无难点，但规定能纯熟计算。
分别列出坐标方位角改正数方程为：
1、
2、

已知：。计算得：。从而得到观测角4误差方程为：。注意：题目规定坐标改正数以分米为单位，而边长单位是公里，所以系数要乘以常数，误差方程常数项直接按坐标反算两方位角之差减观测角得到。

七、 本小题考核对任意方向位差计算的掌握情况，自身无难点，但规定纯熟计算。
一方面要列出点任意方向位差的计算公式。根据公式：代入数值得到：
。由于，所以极大值在第三象限，即极大值方位角是262°58'55″极小值方位角是172°58'55″。由：，得到：
，.

此外，也可以直接按公式：计算，其中，计算结果相同。

八、 本小题考核对序贯平差方法的掌握情况，其中三阶矩阵求逆计算量较大，需要能纯熟计算。
设3个待定点高程平差值为未知参数，根据题设分别求得第一次观测及增长观测值5后法方程系数阵分别为：
和，由于法方程系数阵的逆阵就是未知数的协因数阵（权逆阵），因此可分别求得为：和，逆阵对角线元素即未知点高程平差值权倒数,所以,权的增长值：
。