内蒙古2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题含解析.doc

试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共12题）1、 设 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A B C D 2、 直线 的倾斜角大小为（ ） A B C D 3、 设 、 、 是三个不同平面， 是一条直线，下列各组条件中可以推出 的有（ ） ， ， ， A B C D 4、 已知 ，且 ，则 （ ） A B C D 5、 若直线 ： 与 ： 互相垂直，则 的值为（ ） A B C D 6、 若存在实数 满足 ，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 7、 若直线 与连接 的线段总有公共点，则 的取值范围是（ ） A B C D 8、 已知某几何体的三视图如下右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ） A B C D 9、 的内角 的对边分别为 . 已知 ，则 的形状是（ ） A 直角三角形 B 等腰三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形 10、 已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，若 平面 ， ，则球 的表面积为（ ） A B C D 11、 已知锐角 、 满足 ，则 的最小值为（ ） A B C D 12、 记 为等比数列 的前 项和 . 若 ，则 （ ） A B C D 二、填空题（共4题）1、 已知 ，则 _ 2、 已知 ，若数列 的前 项和 ，则 _ 3、 长方体 中， ，设 为 的中点，直线 与底面 成 角，则异面直线 与 所成角的大小为 _ 4、 在锐角三角形 中，内角 的对边分别为 . 若 ，则 的取值范围是 _ 三、解答题（共6题）1、 已知 的顶点 . （ 1 ）求 边所在直线的方程； （ 2 ）求 的面积 . 2、 在 中， ， 平分 交 于点 D ，已知 ， . （ 1 ）求 ； （ 2 ）求 . 3、 如图，在四棱锥 中，已知底面 是菱形，且对角线 与 相交于点 . （ 1 ）若 ，求证：平面 平面 ； （ 2 ）设点 为 的中点，在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？请说明理由 . 4、 如图，已知直线 ， 为 之间的定点，并且 到 的距离分别为 ，点 分别是直线 上的动点，使得 . 过点 作直线 ，交 于点 ，交 于点 ，设 . （ 1 ）求 的面积 关于 的解析式 ； （ 2 ）求 的最小值及取得最小值时 的值 . 5、 已知定义在 上的函数 ，其中 为常数 . （ 1 ）求关于 的不等式 的解集； （ 2 ）若 是 与 的等差中项，求 的取值范围 . 6、 记 为数列 的前 项和 . 已知 . （ 1 ）求 及 ； （ 2 ）记 ，数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，使得 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的 ；若不存在，请说明理由 . =参考答案=一、选择题1、 D 【分析】 利用特殊值法判断 ABC 选项，再由指数函数的单调性判断 D 选项 . 【详解】 对 A ， B ， C 选项，当 时，不等式 ， ， 不成立，则 A ， B ， C 错误； 对 D 选项，因为函数 在 上单调递增， ，所以 ，则 D 正确 . 故选： D 【点睛】 本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立，考查了指数函数的单调性，属于中档题 . 2、 D 【分析】 利用斜率和倾斜角的关系求解 . 【详解】 设直线 的倾斜角为大小为 ， 则 ， 因为 ， 所以 ， 故选： D 3、 A 【分析】 根据线面垂直的性质，面面平行的判断定理及性质，以及空间中平面间的位置关系，即可得出结论 . 【详解】 垂直于同一条直线的两个平面平行；因为 ， ，所以 ；故 正确； 因为 ， ，所以 与 可能平行或相交；故 错； 平行于同一个平面的两个平面平行；因为 ， ，所以 ；故 正确； 因为 ，则 与 可能平行或相交；故 错； 故选： A. 【点睛】 本题主要考查判断面面平行，熟记面面平行的判定定理及性质，以及线面垂直的性质即可，属于常考题型 . 4、 C 【分析】 根据 ，利用二倍角的正弦公式求得 ，再利用平方关系和商数关系即可得出答案 . 【详解】 解： 因为 ，所以 , 又因为 ，所以 ，则 , 所以 ， ， 所以 . 故选： C. 5、 C 【分析】 由两直线垂直直接列方程求解即可 【详解】 解：因为直线 ： 与 ： 互相垂直， 所以 ，得 ， 解得 ， 故选： C 6、 C 【分析】 根据题意可知 经过不等式组 表示的平面区域，作出不等式组的可行域，利用线性规划即可求解 . 【详解】 作出不等式组 表示的可行域，如图（阴影部分）： 由题意可知： 经过不等式组表示的可行域， 作出直线 ，平移直线可知， 当经过点 时， 取最小值；经过点 时，取得最大值 . 由 ，解得 ，即 ， 由 ，解得 ，即 ， 将两点代入 ，可得 ， ， 因为可行域边界是虚线， 所以实数 的取值范围是 . 故选： C 【点睛】 本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，属于基础题 . 7、 B 【分析】 可得直线过定点 ，则数形结合可得 或 即可求出 . 【详解】 可得直线 的斜率为 ，且过定点 ， 则由图可得，要使直线与线段 总有公共点，需满足 或 ， ， 或 ， 或 . 故选： B. 8、 D 【详解】 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球， 所以根据三视图中的数据可得： 9、 A 【分析】 首先利用降幂公式化简 , 再利用余弦定理化简即可 . 【详解】 由 再由余弦定理得： 故三角形为直角三角形 故选： A 10、 A 【分析】 由于 B 处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体，求出体对角线长，即外接球的直径 . 【详解】 由于 B 处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体， 设球 O 半径为 ，则 ， 球表面积 . 故选： A. 11、 B 【分析】 计算出 ，再将代数式 与代数式 相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值 . 【详解】 ， ， 、 均为锐角，则 ， ， ， 当且仅当 时，即当 时，等号成立 . 因此， 的最小值为 . 故选： B 12、 C 【分析】 根据 计算出 的关系，构造新数列 ，从而求出 . 【详解】 设等比数列的首项为 ，公比为 ，则 所以 ， 由 得 设 ，则 所以 即 又因为 由 得 故选： C 二、填空题1、 【分析】 先利用两角和与差的三角公式求得 的值，然后利用二倍角公式求得结果 . 【详解】 解： ，解得 ， ， 故答案为： . 2、 9 【分析】 根据 ，求得 ，再根据 ，即可得出答案 . 【详解】 解：因为 ， 所以 , 又 ，即 ，所以 ，即 . 故答案为： 9. 3、 【分析】 连接 ，根据线面角求出矩形的高，取 的中点 ，连接 ， ，作出与异面直线所成角相等的角，在 中即可求解 . 【详解】 连接 ， 由直线 与底面 成 角， 则 ，所以 ， 设 ，则 ，所以 所以 ，所以 取 的中点 ，连接 ， ， 则 ，且 ， 所以 平面 ，即 ， 在 中， , 所以 . 故答案为： 【点睛】 本题考查了求异面直线所成角、线面角，考查了基本运算求解能力与空间想象能力，属于基础题 . 4、 【分析】 利用正弦定理化边为角求角 B ，再利用三角恒等变换变换化简 ，结合正弦函数性质求其范围 . 【详解】 ， 由正弦定理可得 ， 又 为锐角三角形， ，又 为锐角， ， 又 为锐角三角形， ， 且 ， ，故 ， ， 的取值范围是 ， 故答案为： . 三、解答题1、 （ 1 ） ；（ 2 ） 14. 【分析】 （ 1 ）先求出直线 的斜率，再利用点斜式写出直线 的方程； （ 2 ）先求得点 到直线 的距离和 ，代入三角形面积公式求解 . 【详解】 （ 1 ）直线 的斜率为 ， 直线 的方程为： ， 即 . （ 2 ）点 到直线 的距离 ， ， 故 的面积为 . 2、 （ 1 ） ；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）由题意结合余弦定理可得 ，解方程即可得解； （ 2 ）由题意分别在 、 中使用正弦定理，可得 ，即可得解 . 【详解】 （ 1 ）由 可得 ， 在 中，由余弦定理可得 , 即 ，解得 或 （舍去）， 所以 ； （ 2 ）在 中，由正弦定理可得 因为 平分 ， ， 所以 ， ， 所以在 中，由正弦定理可得 . 【点睛】 本题考查了余弦定理解三角形及正弦定理边角互化的应用，考查了运算求解能力，属于基础题 . 3、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ）存在，理由见解析 . 【分析】 （ 1 ）证得 平面 ，结合面面垂直的判定定理即可证出结论； （ 2 ）由题意分析可知棱 上存在点 ，且 为 的中点，然后证得 ，进而结合线面平行的判定定理即可证出结论 . 【详解】 证明：（ 1 ）连接 ， 底面 为菱形， . 又 又 平面 . 平面 ， 平面 平面 . （ 2 ）棱 上存在点 ，且 为 的中点，使得 平面 ， 证明如下： 连接 . 是 的中点， 平面 ， 平面 , 平面 4、 （ 1 ） ；（ 2 ） ，最小值 . 【分析】 （ 1 ）先求出 AB,AC ，再根据三角形的面积公式 即可 . （ 2 ）根据 的范围计算出 的范围，从而计算出 的最小值 . 【详解】 解：（ 1 ）由 ， ，可知 ，则 . 在 中， ，在 中， . 所以 . （ 2 ） . 所以当 时，即 时， 取得最小值 . 5、 （ 1 ）答案见解析；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）根据题意得 ，进而分 ， ， 三种情况讨论求解即可； （ 2 ）根据题意得 ，整理得 ，进而根据基本不等式得 ，解不等式即可得答案 . 【详解】 解：（ 1 ）由 ，得 整理为： . 当 时，不等式的解集是 . 当 时，不等式的解集为 当 时，不等式的解集是 . （ 2 ）由条件可知 即 即 ，整理得 解得： 所以 的范围是 . 6、 （ 1 ） ；（ 2 ）存在， . 【分析】 （ 1 ）根据 与 可求得数列 的通项，从而可求得 ； （ 2 ）利用裂项相消求和法求得数列 的前 项和为 ，再根据 成等比数列，列出方程，得出 m ， n 的关系式，即可得出答案 . 【详解】 解：（ 1 ）当 时， 解得 或 因为 ，所以 . 当 时， 即 . 因为 ，所以 所以数列 是首项为 3 ，公差为 2 的等差数列 . 所以 . （ 2 ）由（ 1 ）可知 则 又 ，由题得 即 . ，即 ， 因为 ，则 .