2021年内蒙古包头市数学中考真题含详解.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 据交通运输部报道，截至 2020 年底，全国共有城市新能源公交车 46.61 万辆，位居全球第一．将 46.61 万用科学记数法表示为 ，则 n 等于（ ）
A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 3
2、 下列运算结果中，绝对值最大的是（　　）
A ． B ． C ． D ．
3、 已知线段 ，在直线 AB 上作线段 BC ，使得 ．若 D 是线段 AC 的中点，则线段 AD 的长为（ ）
A ． 1 B ． 3 C ． 1 或 3 D ． 2 或 3
4、 柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出 2 只，那么取出的鞋是同一双的概率为（   ）
A ． B ． C ． D ．
5、 如图，在 中， ， ， ，以点 A 为圆心， AC 的长为半径画弧，交 AB 于点 D ，交 AC 于点 C ，以点 B 为圆心， AC 的长为半径画弧，交 AB 于点 E ，交 BC 于点 F ，则图中阴影部分的面积为（ ）

A ． B ．
C ． D ．
6、 若 ，则代数式 的值为（ ）
A ． 7 B ． 4 C ． 3 D ．
7、 定义新运算 “ ” ，规定： ．若关于 x 的不等式 的解集为 ，则 m 的值是（　　）
A ． B ． C ． 1 D ． 2
8、 如图，直线 ，直线 交 于点 A ，交 于点 B ，过点 B 的直线 交 于点 C ．若 ， ，则 等于（ ）

A ． B ． C ． D ．
9、 下列命题正确的是（　　）
A ．在函数 中，当 时， y 随 x 的增大而减小
B ．若 ，则
C ．垂直于半径的直线是圆的切线
D ．各边相等的圆内接四边形是正方形
10、 已知二次函数 的图象经过第一象限的点 ，则一次函数 的图象不经过（ ）
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
11、 如图，在 中 ， 和 关于直线 BC 对称，连接 AD ，与 BC 相交于点 O ，过点 C 作 ，垂足为 C ，与 AD 相交于点 E ．若 ， ，则 的值为（ ）

A ． B ． C ． D ．
12、 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的 OA 边在 x 轴的正半轴上， OC 边在 y 轴的正半轴上，点 B 的坐标为（ 4 ， 2 ），反比例函数 的图象与 BC 交于点 D ，与对角线 OB 交于点 E ，与 AB 交于点 F ，连接 OD ， DE ， EF ， DF ．下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④ ．其中正确的结论有（ ）

A ． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1 个
二、解答题（共6题）
1、 为了庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为 20 名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为 100 分，统计表中 a ， b 满足 ．
请根据所给信息，解答下列问题：
甲组 20 名学生竞赛成绩统计表
成绩（分）
70
80
90
100
人数
3
a
b
5

（ 1 ）求统计表中 a ， b 的值；
（ 2 ）小明按以下方法计算甲组 20 名学生竞赛成绩的平均分是： （分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；
（ 3 ）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．
2、 某工程队准备从 A 到 B 修建一条隧道，测量员在直线 AB 的同一侧选定 C ， D 两个观测点，如图，测得 AC 长为 ， CD 长为 ， BD 长为 ， ， （ A 、 B 、 C 、 D 在同一水平面内）．

（ 1 ）求 A 、 D 两点之间的距离：
（ 2 ）求隧道 AB 的长度．
3、 小刚家到学校的距离是 1800 米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有 20 分钟于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了 4.5 分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的 1.6 倍．
（ 1 ）求小刚跑步的平均速度；
（ 2 ）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了 3 分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．
4、 如图，在锐角三角形 ABC 中， AD 是 BC 边上的高，以 AD 为直径的 交 AB 于点 E ，交 AC 于点 F ，过点 F 作 ，垂足为 H ，交 于点 G ，交 AD 于点 M ，连接 AG ， DE ， DF ．

（ 1 ）求证： ；
（ 2 ）若 ， ， ，求 HF 的长．
5、 如图，已知 是等边三角形， P 是 内部的一点，连接 BP ， CP ．
（ 1 ）如图 1 ，以 BC 为直径的半圆 O 交 AB 于点 Q ，交 AC 于点 R ，当点 P 在 上时，连接 AP ，在 BC 边的下方作 ， ，连接 DP ，求 的度数；
（ 2 ）如图 2 ， E 是 BC 边上一点，且 ，当 时，连接 EP 并延长，交 AC 于点 F ．若 ，求证： ；
（ 3 ）如图 3 ， M 是 AC 边上一点，当 时，连接 MP ．若 ， ， ， 的面积为 ， 的面积为 ，求 的值（用含 a 的代数式表示）．

6、 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过坐标原点，与 x 轴正半轴交于点 A ，点 是抛物线上一动点．
（ 1 ）如图 1 ，当 ， ，且 时，
① 求点 M 的坐标：
② 若点 在该抛物线上，连接 OM ， BM ， C 是线段 BM 上一动点（点 C 与点 M ， B 不重合），过点 C 作 ，交 x 轴于点 D ，线段 OD 与 MC 是否相等？请说明理由；
（ 2 ）如图 2 ，该抛物线的对称轴交 x 轴于点 K ，点 在对称轴上，当 ， ，且直线 EM 交 x 轴的负半轴于点 F 时，过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 EM 于点 N ， G 为 y 轴上一点，点 G 的坐标为 ，连接 GF ．若 ，求证：射线 FE 平分 ．

三、填空题（共8题）
1、 因式分解： _______ ．
2、 化简： _____ ．
3、 一个正数 a 的两个平方根是 和 ，则 的立方根为 _______ ．
4、 某人 5 次射击命中的环数分别为 5 ， 10 ， 7 ， x ， 10 ，若这组数据的中位数为 8 ，则这组数据的方差为 ________ ．
5、 如图，在 中， ，过点 B 作 ，垂足为 B ，且 ，连接 CD ，与 AB 相交于点 M ，过点 M 作 ，垂足为 N ．若 ，则 MN 的长为 __________ ．

6、 如图，在 中 ，以 AD 为直径的 与 BC 相切于点 E ，连接 OC ．若 ，则 的周长为 ____________ ．

7、 如图， BD 是正方形 ABCD 的一条对角线， E 是 BD 上一点， F 是 CB 延长线上一点，连接 CE ， EF ， AF ．若 ， ，则 的度数为 __________ ．

8、 已知抛物线 与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ，点 在抛物线上， E 是该抛物线对称轴上一动点．当 的值最小时， 的面积为 __________ ．

============参考答案============
一选择题
1、 B
【分析】
把 46.61 万表示成科学记数法的形式 ，即可确定 n ．
【详解】
46.61 万 =466100=4.661 ，故 n =5
故选： C ．
【点睛】
本题考查把一个绝对值较大的数用科学记数法表示，科学记数法的形式为 ，其中 ， n 为绝对值较大的数的整数数位与 1 的差．
2、 A
【分析】
计算各个选项的结果的绝对值，比较即知．
【详解】
∵1+(−4)=−3 ， (-1) 4 =1 ， (-5) -1 = ，
而 ， ， ， ，且
∴ 的绝对值最大
故选： A ．
【点睛】
本题考查了实数的运算、实数的绝对值等知识，掌握实数的运算法则是关键．
3、 C
【分析】
先分 C 在 AB 上和 C 在 AB 的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．
【详解】
解：如图：当 C 在 AB 上时， AC = AB - BC =2,
∴ AD = AC =1

如图：当 C 在 AB 的延长线上时， AC = AB + BC =6,
∴ AD = AC =3

故选 C ．
【点睛】
本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．
4、 A
【分析】
画树状图，共有 12 个等可能的结果，取出的鞋是同一双有 4 个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：设两双鞋的型号分别为： ，
其中 A 1 ， A 2 为一双， B 1 ， B 2 为一双，
画树状图如下：

共有 12 种等可能的结果，取出的鞋是同一双的有 4 种，
则取出的鞋是同一双的概率为： ，
故选： A ．
【点睛】
本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5、 D
【分析】
利用勾股定理可求出 AC 的长，根据直角三角形两锐角互余的性质可得 ∠ A +∠ B =90° ，根据 S 阴影 = S △ ABC - S 扇形 BEF - S 扇形 ACD 即可得答案．
【详解】
∵ ，
∴∠ A +∠ B =90° ，
∵ ， ，
∴ =1 ，
∴ S 阴影 = S △ ABC - S 扇形 BEF - S 扇形 ACD
= BC·AC -
= ×1×2-
=1- ，
故选： D ．
【点睛】
本题考查勾股定理及扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
6、 C
【分析】
先将代数式 变形为 ，再代入即可求解．
【详解】
解： ．
故选： C
【点睛】
本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将 x 的值直接代入计算．
7、 B
【分析】
题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为 ，所以与化简所求解集相同，可得出等式 ，即可求得 m ．
【详解】
解：由 ，
∴ ，
得： ，
∵ 解集为 ，
∴
∴ ，
故选： B ．
【点睛】
题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟悉的不等式．
8 B
【分析】
根据平行线性质计算角度即可．
【详解】
解： ∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： B ．
【点睛】
本题主要考查平行线性质，熟练识别同位角、内错角，同旁内角是解决本题的关键．
9、 D
【分析】
分别根据相关知识点对四个选项进行判断即可．
【详解】
A 、当 时，反比例函数 在 时，函数值 y 随 x 的增大而增大，故此选项错误；
B 、当 a <0 时， - a >0 ，故 - a > a ，从而 1- a >1+ a ，故此选项错误；
C 、过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故此选项错误；
D 、由于圆内接四边形的四边相等，故每边所对的圆心角相等且均为 ，由此可得四边形的对角线相互垂直且相等，因而此四边形是正方形，故此选项正确．
故选： D ．
【点睛】
本题分别考查了反比例函数的性质，不等式的性质，切线的定义，圆与正多边形等知识，关键是要对这些知识熟练掌握．
10、 C
【分析】
根据直角坐标系和象限的性质，得 ；根据二次函数的性质，得 ，从而得 ，通过计算即可得到答案．
【详解】
∵ 点 在第一象限
∴
∴
∵ 二次函数 的图象经过第一象限的点
∴
∴
∴
当 时， ，即 和 y 轴交点为：
当 时， ，即 和 x 轴交点为：
∵ ，
∴ 一次函数 的图象不经过第三象限
故选： C ．
【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、直角坐标系的性质，从而完成求解．
11、 D
【分析】
根据 ， 和 关于直线 BC 对称，证明出四边形 ABDC 是菱形，再根据菱形的性质得到 BC ⊥ AD ， OC = OB ， OA = OD ，最后由勾股定理求出结果．
【详解】
解： ∵ ， 和 关于直线 BC 对称，
∴ AB = AC = CD = BD ，
∴ 四边形 ABDC 是菱形，
∴ BC ⊥ AD ， OC = OB ， OA = OD ，
∵ ， ，
∴ OC = OB =3 ， OA = OD =4 ，
在 Rt △ COD 中， OC =3 ， OD =4 ，
∴ DC = ，
∴ AB = AC = CD = BD =5 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： D ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、菱形的判定与性质以及勾股定理，关键在于利用等腰三角形与折叠的性质证明出四边形是菱形，再用菱形的性质与勾股定理进行求解．
12、 A
【分析】
根据题意，图中各点的坐标均可以求出来， ， ，只需证明 即可证明结论 ① ；先求出直线 OB 的解析式，然后求直线 OB 与反比例函数 的交点坐标，即可证明结论 ② ；分别求出 和 ，进行比较即可证明结论 ③ ；只需证明 ，即可求证结论 ④ ．
【详解】
解： ∵ OABC 为矩形，点 B 的坐标为（ 4 ， 2 ），
∴A 点坐标为 (4 ， 0) ， C 点坐标为 (0 ， 2) ，
根据反比例函数 ，
当 时， ，即 D 点坐标为 (1 ， 2) ，
当 时， ，即 F 点坐标为 (4 ， ) ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，

故结论 ① 正确；
设直线 OB 的函数解析式为： ，
点 B 代入则有： ，
解得： ，
故直线 OB 的函数解析式为： ，
当 时， ( 舍 )
即 时， ，
∴ 点 E 的坐标为 (2 ， 1) ，
∴ 点 E 为 OB 的中点，
∴ ，
故结论 ② 正确；
∵ ，
∴ ，
由 ② 得： ，
，
∴ ，
故结论 ③ 正确；
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故结论 ④ 正确，
综上： ①②③④ 均正确，
故选： A ．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数反比例函数与几何综合，结合题意求出图中各点坐标是解决本题的关键．
二、解答题
1、 （ 1 ） ；（ 2 ）不正确， 87.5 分；（ 3 ）甲组成绩好，见解析
【分析】
（ 1 ）根据总人数为 20 人与 ，求出 a ， b 的值；
（ 2 ）根据加权平均数公式 判断出原结果是错误的，计算出正确结果；
（ 3 ）算出甲乙两组的平均成绩进行比较，得出结论．
【详解】
解：（ 1 ）根据题意，得 ，解得 ，
（ 2 ）不正确．正确的算法：甲组 20 名学生竞赛成绩的平均分是：
（分）
（ 3 ）根据扇形统计图可知，乙组学生竞赛成绩为 70 分， 80 分， 90 分， 100 分的人数占乙组总人数的百分比分别为 40% ， 25% ， 25% ， 10% ． 所以乙组 20 名学生竞赛成绩的平均分是：
（分）
因为 ，所以甲组竞赛成绩较好．
【点睛】
此题主要考查了扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数的意义是正确解答的前提．
2、 （ 1 ） ；（ 2 ） 3km
【分析】
（ 1 ）过点 A 作 ，垂足为 E ，在 中，可利用特殊角的三角函数值和已知分别求出 AE ， CE 及 DE ，则可由勾股定理求得 A 、 D 两点之间的距离；
（ 2 ）利用（ 1 ）中所求结果，可判断出 △ ADE 是等腰直角三角形，结合已知角度可推出 △ ABD 是直角三角形，即可由勾股定理求得隧道 AB 的长度．
【详解】
解：（ 1 ）如图，过点 A 作 ，垂足为 E ，

．
在 中， ， ， ，
．
，
．
，
．
在 中， ，
．
A 、 D 两点之间的距离为 ．
（ 2 ） ， ，
∴△ ADE 是等腰直角三角形，
，
，
，
是直角三角形．
在 中， ， ，
．
隧道 AB 的长度为 ．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值并正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
3、 （ 1 ）小刚跑步的平均速度为 150 米 / 分；（ 2 ）小刚不能在上课前赶回学校，见解析
【分析】
（ 1 ）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；
（ 2 ）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间 20 分钟作比较即可．
【详解】
解：（ 1 ）设小刚跑步的平均速度为 x 米 / 分，则小刚骑自行车的平均速度为 1.6 x 米 / 分，
根据题意，得 ，
解这个方程，得 ，
经检验， 是所列方程的根，
所以小刚跑步的平均速度为 150 米 / 分．
（ 2 ）由（ 1 ）得小刚跑步的平均速度为 150 米 / 分，
则小刚跑步所用时间为 （分），
骑自行车所用时间为 （分），
在家取作业本和取自行车共用了 3 分，
所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要 （分）．
因为 ，
所以小刚不能在上课前赶回学校．
【点睛】
本题考查路程问题的分式方程，解题关键是明确题意，列出分式方程求解．
4、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ） 是 的直径，可以得到 ，推出 ，再用平行线的判定和性质可求出 ；
（ 2 ）连接 OF ，得到 ，由于 是 的直径，得到 ， ， ，用平行线的判定得到 ，再用角之间的关系证明 ，再用相似三角形的性质，证明 就可求出 HF ．
【详解】
如图

解：（ 1 ）证明： 是 的直径，
．
，
，
，
，
．
，
．
（ 2 ）连接 OF ，
AD 是 BC 边上的高，
．
，
．
．
是 的直径，
，
，
．
，
．
．
．
，
．
，
，
．
，
，
．
在 中， ， ， ，
， ，
，
，
．
在 中， ，
，
， ，
，
，
，
，
．
【点睛】
此题考查圆的性质和相似三角形的证明的综合运用，熟悉掌握相似三角形的性质和灵活作辅助线是解题的关键．
5、 （ 1 ） 30° ；（ 2 ）见解析；（ 3 ）
【分析】
（ 1 ）连接 BD ，易证 ，则由全等三角形的性质可得 △ DBP 是等边三角形，则可得 ∠ BPD =60 ゜，再由 BC 边是直径即可求得结果；
（ 2 ）连接 AP 并延长交 BC 于点 G ，则由垂直平分线的性质可得 AG ⊥ BC ，且 BG = CG ，设 ，则 CE 、 EG 、 BC 、 AB 、 BP 均可用 x 的代数式表示，这样在 由勾股定理可求得 PG 的长，在 中，由正切的三角函数可求得 ∠ GEP =60 ゜，从而可得 ，根据相似三角形的性质即可得结论；
（ 3 ）延长 MP 交 AB 于点 H ，连接 AP ，过点 P 作 ，垂足为 N ，则由已知易得 ∠ MHA =90 ゜，由直角三角形的性质及勾股定理可得 AH 、 MH 的长，从而可求得 △ PAB 的面积，在 Rt △ MNP 中，由直角三角形的性质可得 PN 的长，从而可求得 △ PAC 的面积，而 ，从而可求得结果．
【详解】
（ 1 ）如图，连接 BD

是等边三角形，
， ．
， ，
，
， ．
，
，
，
是等边三角形，
．
BC 为半圆 O 的直径，
，
．
（ 2 ）如图连接 AP 并延长交 BC 于点 G

， ，
， ．
设 ，则 ，
．
，
．
，
．
，
．
在 中，由勾股定理得： ，
．
在 中， ，
，
．
，
，
，
．
（ 3 ）如图，延长 MP 交 AB 于点 H ，连接 AP ，过点 P 作 ，垂足为 N

， ，
．
，
．
，
．
在 中， ， ，
，
．
，
．
，
在 中， ， ，
．
．
．
【点睛】
本题是一个几何综合题，考查了圆的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质， 30 ゜角的直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的计算，锐角三角函数等知识，题目不算太难，但涉及的知识点多，关键是要灵活运用这些知识．
6、 （ 1 ） ① ； ② ，见解析；（ 2 ）见解析
【分析】
（ 1 ） ① 直接将点 代入解析式，又有 ，
即可解出坐标； ② 相等，先求出点 ，由两点求出直线的方程，添加辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可；
（ 2 ）根据已知条件求出点 的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与 轴的交点，添加辅助线，利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出边长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即可判断出为角平分线．
【详解】
解：（ 1 ）如答案图 6.

① 点 在抛物线上，且 ，
，解得 ，（舍去）
，
， ．
② ，
点 在该抛物线上，
， ．
设直线 MB 交 x 轴于点 H ，解析式为 ，
解得

当 时， ，
， ．
过点 M 作 轴，垂足为 R ，
， ，
，
根据勾股定理得 ，
，
． ，
， ， ，
， ．
（ 2 ）如答案图 7.

证明：对称轴 ， ，
， ，
．过点 M 作 轴，垂足为 Q ，
， ，
．
当 时，解得 ， ，
．
， ，
，
． ，
．
设直线 EM 的解析式为 ，
解得
．设直线 EM 交 y 轴于点 S ，过点 S 作 ，垂足为 P ．
当 时， ．
．当 时， ，
，
， ．
，
，
．
， ，
，
， ．
设 ，则 ．
在 中，
，
．
（负值舍去），
， ，
．
， ，
射线 FE 平分 ．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，还涉及等腰三角形的性质、直角三角形、相似三角形的判定与性质、角平分线的判定题目综合性强，涉及知识点多、难度较大，解题的关键是：掌握以上相关知识点后，需要做到灵活运用，同时考查了添加辅助线的能力．
三、填空题
1、
【分析】
首先将公因式 a 提出来，再根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】
，
故填： ．
【点睛】
本题考查提公因式因式分解，公式法因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法：提公因式因式分解和公式法因式分解．
2、 1
【分析】
直接按照分式的四则混合运算法则计算即可．
【详解】
解：
=
=
=
=1 ．
故填 1 ．
【点睛】
本题主要考查了分式的四则混合运算，掌握分式的四则混合运算法则成为解答本题的关键．
3、 2
【分析】
根据一个正数的平方根互为相反数，将 和 相加等于 0 ，列出方程，解出 b ，再将 b 代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数 a ，将 算出后，求立方根即可．
【详解】
∵ 和 是正数 a 的平方根，
∴ ，
解得 ，
将 b 代入 ，
∴ 正数 ，
∴ ，
∴ 的立方根为： ，
故填： 2 ．
【点睛】
本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数．
4、 3.6
【分析】
根据中位数的性质，得 ；再根据方差的性质计算，即可得到答案．
【详解】
根据题意，
∴5 次射击命中的环数分别为 5 ， 10 ， 7 ， 8 ， 10
∴ 这组数据的平均数为：
∴ 这组数据的方差为：
故答案为： 3.6 ．
【点睛】
本题考查了数据分析的知识；解题的关键是熟练掌握中位数、方差的性质，从而完成求解．
5、
【分析】
根据 MN ⊥ BC , AC ⊥ BC , DB ⊥ BC ，得 , 可得 , 因为 , 列出关于 MN 的方程，即可求出 MN 的长．
【详解】
∵ MN ⊥ BC ， DB ⊥ BC ,
∴ AC ∥ MN ∥ DB ，
∴
∴
即 ,
又 ∵ ，
∴ ，
解得 ,
故填： ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．
6、
【分析】
连接 OE ，作 AF ⊥ BC 于 F ，先证明 为矩形，进而证明 Rt△ ABF ≌Rt△ OCE ，得到 BF = CE =3 ，利用勾股定理求出 OC = ，即可求出 的周长．
【详解】
解：如图，连接 OE ，作 AF ⊥ BC 于 F ，
∵ BE 为 的切线，
∴∠ OEC =∠ OEB =90° ，
∵ AD ∥ BC ，
∴ AF ∥ OE ，
∴ 四边形 AFEO 为平行四边形，
∵∠ OEF =90° ，
∴ 为矩形，
∴ AF = OE ， EF = AO = =6,
∴ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB = CD ， BC = AD =12 ，
∵ AB = OC
∴Rt△ ABF ≌Rt△ OCE ，
∴ BF = CE =3 ，
∵ OE = OA =6 ，
∴ 在 R t△ OCE 中， ，
∴ AB = CD = OC = ，
∴ 的周长为为（ ） ×2= ．

故答案为：
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，平行四边形等知识，熟知相关定理，并根据题意添加辅助线是解题关键．
7、
【分析】
首先连接 AE ，由题可知， DE = DC = AD , 所以 △ DEC ,△ AED ,△ EFC 是等腰三角形，由正方形的性质得 ∠ EBC =∠ ADE =∠ EDC =45° ，求出 , 得出 =22.5° ， , , 所以 , 得出 ∠ AEF =90° ，再证明 , 则 , 所以 △ AEF 为等腰直角三角形， ∠ FAE =45° ，减去 ∠ BAE 即可．
【详解】
连接 AE , 如图，

∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ AD CD ,∠ ADE =∠ EDC =∠ CBE =45° ， ,
∵ DE = CD ,
∴ AD = DE = CD ，
∴∠ DAE =∠ DEA =∠ DEC =∠ DCE =67.5° ，
∴ , ,
又 ∵ EF = EC ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
在 △ DAE 和 △ DEC 中：
∵
∴△ DAE ≌△ DEC ( SAS ),
∴ AE = EC ，
又 ∵ EC = EF ,
∴ AE = EF ，
∴△ AEF 为等腰直角三角形，
∴∠ FAE =45° ，
∴ ,
故填： 22.5° ．
【点睛】
本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和，解题关键是添加辅助线，构造全等三角形．
8、 4
【分析】
根据题意画出函数图像，要使 的值最小，需运用对称相关知识求出点 E 的坐标，然后求 的面积即可．
【详解】
解：根据题意可求出 ，
抛物线 的对称轴为： ，
根据函数对称关系，点 B 关于 的对称点为点 A ，
连接 AD 与 交于点 E ，
此时 的值最小，
过 D 点作 x 轴垂线，垂足为 F ，
设抛物线对称轴与 x 轴交点为 G ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 C 作 的垂线，垂足为 H ，
所以四边形 ACHE 的面积等于 与梯形 ACHG 的面积和，
即 ，
则 S 四边形 ACHE - ，
故答案为： 4 ．

【点睛】
本题主要考查二次函数的交点坐标、对称轴、相似三角形、对称等知识点，根据题意画出图形，可以根据对称求出点 E 的坐标是解决本题的关键．