湖南省2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共15题）
1、 已知集合 U = ｛ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ｝， M = ｛ 3 ， 4 ， 5 ｝，则 （ ）
A ．｛ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} B ． {0 ， 1 ， 2}
C ．｛ 3 ， 4 ， 5} D ．｛ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}
2、 下列函数是奇函数的是（ ）
A ． B ．
C ． D ． ，
3、 下列图象中不能作为函数的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
4、 函数 在下列区间上是减函数的是 (    )
A ． ( ， 3) B ． ( ， 1) C ． (1 ， ) D ． (0 ， )
5、 设 a ， ， P ={1 ， a } ， Q ={ ， } ，若 P = Q ，则 (    )
A ． B ． C ． 0 D ． 1
6、 函数 的定义域为（ ）
A ． B ．
C ． D ．
7、 已知 ( ，且 ) ，且 ，则实数 a 的取值范围是 (    )
A ． 0< a <1 B ． a >1 C ． a <1 D ． a >0
8、 下列不等式中成立的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
9、 若 且 ，则 ， ， ， 中的最大值的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
10、 关于 的不等式 在 内有解，则实数 的取值范围是（ ）
A ． B ． C ． D ．
11、 在下列四组函数中， 与 不表示同一函数 的是（ ）
A ． ， B ． ，
C ． ， D ． ，
12、 ( 多选 ) 下列函数，值域为 的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
13、 且 ，则 的可能取值为（ ）
A ． 8 B ． 9 C ． 10 D ． 11
14、 下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有 (    )
A ． ， B ．有的矩形不是平行四边形
C ． ， D ． ，
15、 已知函数 是 R 上的奇函数，且当 时， ，则（ ）
A ． B ．
C ． 是增函数 D ．
二、填空题（共5题）
1、 已知集合 ， ，则 _________ ．
2、 已知函数 ，则 _________ ．
3、 已知幂函数 的图象过点 ，则 ______.
4、 已知奇函数 在 [ a ， b ] 上单调递减，那么它在 上单调 _________( 填 “ 递增 ” 或 “ 递减 ”) ．
5、 已知函数 ，若存在 ， ，且 ，使得 成立，则实数 a 的取值范围是 ________ ．
三、解答题（共5题）
1、 计算下列各式（式中字母均是正数）
（ 1 ） ；
（ 2 ） ．
2、 已知集合 ， ．
（ 1 ）当 时，求 ；
（ 2 ） “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
3、 已知 ， .
（ 1 ）判断 的奇偶性并说明理由；
（ 2 ）求证：函数 是增函数 .
4、 为了让同学们吃上热腾腾的饭菜，重庆鲁能巴蜀中学食堂花费 5 万元购进了一套蒸汽保温设备，该设备每年的管理费是 4500 元，使用 x 年时，总的维修费用为 万元，问：
（ 1 ）设平均费用为 y 万元，写出 y 关于 x 的表达式；（平均费用 ）
（ 2 ）这套设备最多使用多少年报废合适？（即使用多少年的平均费用最少）
5、 设函数 .
（ 1 ）若关于 的不等式 有实数解，求实数 的取值范围；
（ 2 ）若不等式 对于实数 时恒成立，求实数 的取值范围；
（ 3 ）解关于 的不等式： .

============参考答案============
一、选择题
1、 B
【分析】
利用集合的补集运算求解 .
【详解】
因为集合 ， ，
所以 ，
故选： B ．
2、 A
【分析】
对于 A ：利用函数的奇偶性的定义直接证明；
对于 B 、 C ： 取特殊值 ，即可判断；
对于 D ：有定义域为 ，不关于原点对称，即可判断 .
【详解】
对于 A ： 的定义域为 .
因为 ，所以 为奇函数 . 故 A 正确；
对于 B ： 定义域为 R ，因为 所以 ，所以 不是奇函数 . 故 B 错误 .
对于 C ： 定义域为 R ，因为 所以 ，所以 不是奇函数 . 故 D 错误 .
对于 D ： 定义域为 ，不关于原点对称，所以 ， 不是奇函数 . 故 D 错误 .
故选： A
3、 B
【分析】
根据函数的定义可知，对于 x 的任何值 y 都有唯一的值与之相对应，分析图象即可得到结论．
【详解】
由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量 x 的值，都有唯一的函数值 y 与其对应，
故函数的图象与直线 x ＝ a 至多有一个交点，图 B 中，存在 x ＝ a 与函数的图象
有两个交点，不满足函数的定义，故 B 不是函数的图象 .
故选： B
4、 B
【分析】
利用一元二次函数的性质即可求解 .
【详解】
函数 的图象是以对称轴为 ，开口向上的抛物线，
所以 在 上单调递减，
故选： B ．
5、 C
【分析】
利用相等集合的概念求出 和 即可求解 .
【详解】
由于 ，所以 ， ，
从而 ， .
故选 :C ．
6、 B
【分析】
根据题意，结合根式与分式有意义的条件，即可求解 .
【详解】
由题意得， ，解得 且 ，故函数 的定义域为 .
故选： B.
7、 A
【分析】
利用指数函数的单调性即可求解 .
【详解】
由 ( ，且 ) 可知，
当 时， 为单调递减函数；当 时， 为单调递增函数，
因为 ，故 为单调递减函数，从而 .
故选： A.
8、 D
【分析】
取 可判断 A 选项的正误；利用不等式的基本性质可判断 B 、 C 、 D 选项的正误 .
【详解】
对于 A 选项，当 时，取 ，则 ， A 选项错误；

对于 B 选项，当 时， ，所以， ，即 ， B 选项错误；
对于 C 选项，当 时，由不等式的性质可得 ， ， ， C 选项错误；
对于 D 选项，当 时，由不等式的性质可得 ， ， ， D 选项正确 .
故选： D.
【点睛】
本题考查利用不等式的基本性质判断不等式的正误，属于基础题 .
9、 C
【分析】
根据基本不等式和作差比较法，准确运算，即可求解 .
【详解】
由题意，实数 且 ，可得 ， ，
又由 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
所以 ，所以最大值为 .
故选： C.
10、 D
【分析】
不等式 在 内有解等价于在 内， ．
【详解】
解：不等式 在 内有解等价于在 内， ．
当 时， ，
所以 ．
故选： D ．
11、 ACD
【分析】
根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得到答案 .
【详解】
A 选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一函数，故 A 符合题意；
B 选项， ，与 定义域相同，对应法则也相同，所以二者是同一函数，故 B 不符合题意；
C 选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一函数， 故 C 符合题意；
D 选项， 定义域为 ， 的定义域为 ，所以二者不是同一函数，故 D 符合题意；
故选： ACD.
【点睛】
方法点睛：函数的三要素是定义域，对应关系（解析式），值域，而定义域和对应关系决定值域，所以判断两个函数是否相同只需要判断两个要素：定义域，对应法则是否相同即可 .
12、 AC
【分析】
对每个选项进行值域判断即可 .
【详解】
解： A 选项，函数 的值域为 ，正确；
B 选项，函数 的值域为 ，错误；
C 选项，函数 的值域为 ，正确；
D 选项，函数 的值域为 ，错误 .
故选： AC.
13、 BCD
【分析】
将 展开，利用基本不等式求的最小值，再比较选项可得正确答案 .
【详解】
，
当且仅当 即 时等号成立， 取得最小值 ，
所以 的不可能为 ，可能取值为 ，
故选： BCD.
14、 AB
【分析】
利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解 .
【详解】
ABC 均为存在量词命题， D 不是存在量词命题，故 D 错误，
选项 A ：因为 ，所以命题为假命题；
选项 B ：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题；
选项 C ： ，故命题为真命题，故 C 错误，
故选 :AB ．
15、 ACD
【分析】
由 是 R 上的奇函数，则 可算出 ，代入可算得
根据 的对称性可得出单调性，根据 可求得
【详解】
A. 项 是 R 上的奇函数，故
得 ，故 A 对
对于 B 项， ，故 B 错
对于 C 项，当 时， 在 上为增函数，利用奇函数的对称性可知， 在 上为增函数，故 是 上的增函数，故 C 对
，故 D 对
故选： ACD
【点睛】
正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题： (1) 定义域关于原点对称是函数 f ( x ) 为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2) f ( － x ) ＝－ f ( x ) 或 f ( － x ) ＝ f ( x ) 是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
二、填空题
1、
【分析】
利用集合交运算即可求解 .
【详解】
利用集合的交运算可知， .
故答案为：
2、
【分析】
利用配凑法即可求解 .
【详解】
因为 ，
所以 ．
故答案为： .
3、
【分析】
设 ，根据 求得 ，由此求得 .
【详解】
设 ，则 ，
所以 .
故答案为：
4、 递减
【分析】
利用函数单调性定义和奇函数的概念即可求解 .
【详解】
不妨设 ， ，且 ，
从而 ， 且 ，
因为奇函数 在 [ a ， b ] 上单调递减，所以 ，
由奇函数的定义可知， ，即 ，
故 在 上单调递减 .
故答案为：递减 .
5、
【分析】
通过分析 的函数特征，结合已知条件，对参数 进行分类讨论并结合图像即可求解 .
【详解】
因为 是开口方向向下，对称轴为直线 的一元二次函数，
由 可知，
① 当 ，即 时，由二次函数对称性知：必存在 ，使得 ；
② 当 ，即 时，若存在 ，使得 ，
则函数图象需满足下图所示：

即 ，解得： ，所以 ；
综上所述： ，从而实数 a 的取值范围为 .
故答案为： .
三、解答题
1、
（ 1 ）
（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）利用指数幂的运算法则求解 .
（ 2 ）利用根式和指数幂的运算求解 .
（ 1 ）
解：原式 ，
．
（ 2 ）
原式 ，
，
，
，
.
2、
（ 1 ）
（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）由 ，得到 ，再利用并集的运算求解；
（ 2 ）根据 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件，得到 ，然后分 ， 讨论求解 .
（ 1 ）
解：当 时， ．
因为 ，
所以 ．
（ 2 ）
因为 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件，
所以 ．
当 时，符合题意，此时有 ，解得： ．
当 时，要使 ，只需 解得： ，
综上： ．
所以实数 的取值范围 ．
3、 （ 1 ）奇函数，理由见解析；（ 2 ）证明见解析 .
【分析】
（ 1 ）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解；
（ 2 ）根据函数的单调性的定义和判定方法，即可求解 .
【详解】
（ 1 ）由题意，函数 的定义域为 关于原点对称，
又由 ，所以 是奇函数 .
（ 2 ）设 ，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上是增函数 .
4、 （ 1 ） ；（ 2 ） 年 .
【分析】
（ 1 ）根据题意直接进行求解即可；
（ 2 ）利用基本不等式进行求解即可 .
【详解】
（ 1 ）由题意可知： ；
（ 2 ）因为 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，即 时，函数有最小值，即这套设备最多使用 年报废合适 .
5、 (1) ； (2) ； (3) 分类求解，答案见解析 .
【分析】
(1) 将给定的不等式等价转化成 ，按 与 并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；
(2) 将给定的不等式等价转化成 ，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；
(3) 将不等式化为 ，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答 .
【详解】
(1) 依题意， 有实数解，即不等式 有实数解，
当 时， 有实数解，则 ，
当 时，取 ，则 成立，即 有实数解，于是得 ，
当 时，二次函数 的图象开口向下，要 有解，当且仅当 ，从而得 ，
综上， ，
所以实数 的取值范围是 ；
(2) 不等式 对于实数 时恒成立，即 ，
显然 ，函数 在 上递增，从而得 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ；
(3) 不等式 ，
当 时， ，
当 时，不等式可化为 ，而 ，解得 ，
当 时，不等式可化为 ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， 或 ，
当 ，即 时， 或 ，
所以，当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为 .