2021年山东省潍坊市中考数学真题含答案解析.doc

试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共12题）1、 下列各数的相反数中，最大的是（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 2、 如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为 60 ，则平面镜的垂线与水平地面的夹角 的度数是（） A 15 B 30 C 45 D 60 3、 第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为 10152.7 万人，将 101 527 000 用科学记数法（精确到十万位）（ ） A 1.0210 8 B 0.10210 9 C 1.01510 8 D 0.101510 9 4、 若菱形两条对角线的长度是方程 x 2 6 x +8 0 的两根，则该菱形的边长为（ ） A B 4 C 25 D 5 5、 如图，某机器零件的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A 主视图 B 左视图 C 俯视图 D 不存在 6、 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 7、 如图为 2021 年第一季度中国工程机械出口额 TOP 10 国家的相关数据（同比增速是指相对于 2020 年第一季度出口额的增长率），下列说法正确的是（ ） A 对 10 个国家出口额的中位数是 26201 万美元 B 对印度尼西亚的出口额比去年同期减少 C 去年同期对日本的出口额小于对俄罗斯联邦的出口额 D 出口额同比增速中，对美国的增速最快 8、 记实数 x 1 ， x 2 ， ， x n 中的最小数为 min| x 1 ， x 2 ， ， x n | 1 ，则函数 y min|2 x 1 ， x ， 4 x | 的图象大致为（ ） A B C D 9、 下列运算正确的是 A B C D 10、 古希腊数学家欧几里得在几何原本中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是： 在 O 上任取一点 A ，连接 AO 并延长交 O 于点 B ； 以点 B 为圆心， BO 为半径作圆弧分别交 O 于 C ， D 两点； 连接 CO ， DO 并延长分别交 O 于点 E ， F ； 顺次连接 BC ， CF ， FA ， AE ， ED ， DB ，得到六边形 AFCBDE 连接 AD ， EF ，交于点 G ，则下列结论错误的是 A AOE 的内心与外心都是点 G B FGA FOA C 点 G 是线段 EF 的三等分点 D EF AF 11、 如图，在直角坐标系中，点 A 是函数 y x 图象上的动点， 1 为半径作 A 已知点 B （ 4 ， 0 ），连接 AB ，当 A 与两坐标轴同时相切时， tan ABO 的值可能为 _ A 3 B C 5 D 12、 在直角坐标系中 , 若三点 A （ 1, 2 ） , B （ 2, 2 ） , C （ 2,0 ）中恰有两点在抛物线 y ax 2 + bx 2 （ a 0 且 a , b 均为常数）的图象上 , 则下列结论正确是（ ） A 抛物线的对称轴是直线 B 抛物线与 x 轴的交点坐标是（ ,0 ）和（ 2,0 ） C 当 t 时 , 关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx 2 t 有两个不相等的实数根 D 若 P （ m , n ）和 Q （ m +4, h ）都是抛物线上的点且 n 0, 则 二、填空题（共4题）1、 甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下： 甲：函数的图象经过点（ 0 ， 1 ）； 乙： y 随 x 的增大而减小； 丙：函数的图象不经过第三象限 根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 _ 2、 若 x 2 ，且 ，则 x _ 3、 在直角坐标系中，点 A 1 从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为： A 2 （ 1 ， 0 ）， A 3 （ 1 ， 1 ）， A 4 （ 1 ， 1 ）， A 5 （ 1 ， 1 ）， A 6 （ 2 ， 1 ）， A 7 （ 2 ， 2 ）， 若到达终点 A n （ 506 ， 505 ），则 n 的值为 _ 4、 如图，在直角坐标系中， O 为坐标原点 与 （ a b 0 ）在第一象限的图象分别为曲线 C 1 ， C 2 ，点 P 为曲线 C 1 上的任意一点，过点 P 作 y 轴的垂线交 C 2 于点 A ，作 x 轴的垂线交 C 2 于点 B ，则阴影部分的面积 S AOB _ （结果用 a ， b 表示） 三、解答题（共7题）1、 （ 1 ）计算： ； （ 2 ）先化简，再求值： （ x ， y ）是函数 y 2 x 与 的图象的交点坐标 2、 如图，某海岸线 M 的方向为北偏东 75 ，甲、乙两船同时出发向 C 处海岛运送物资甲船从港口 A 处沿北偏东 45 方向航行，其中乙船的平均速度为 v 若两船同时到达 C 处海岛，求甲船的平均速度（结果用 v 表示参考数据： 1.4 ， 1.7 ） 3、 从甲、乙两班各随机抽取 10 名学生（共 20 人）参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的 5 组（满分为 100 分）： A 组： 50 x 60 ， B 组： 60 x 70 ， C 组： 70 x 80 ， D 组： 80 x 90 ， E 组： 90 x 100 ，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图 （ 1 ）根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩（取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩）； （ 2 ）参加测试的学生被随机安排到 4 个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试；用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率； （ 3 ）若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下： 甲班： 62 ， 64 ， 66 ， 76 ， 76 ， 77 ， 82 ， 83 ， 83 ， 91 ； 乙班： 51 ， 52 ， 69 ， 70 ， 71 ， 71 ， 88 ， 89 ， 99 ， 100 则可计算得两班学生的样本平均成绩为 x 甲 76 ， x 乙 76 ；样本方差为 s 甲 2 80 ， s 乙 2 275.4 请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由 4、 某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示： 年度（年） 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年度纯收入（万元） 1.5 2.5 4.5 7.5 11.3 若记 2016 年度为第 1 年，在直角坐标系中用点（ 1 ， 15 ），（ 2 ， 2.5 ），（ 3 ， 4.5 ），（ 4 ， 7.5 ），（ 5 ， 11.3 ）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况如图所示 （ m 0 ）， y x + b （ k 0 ）， y ax 2 0.5 x + c （ a 0 ），以便估算甲农户 2021 年度的纯收入 （ 1 ）能否选用函数 （ m 0 ）进行模拟，请说明理由； （ 2 ）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由； （ 3 ）甲农户准备在 2021 年底购买一台价值 16 万元的农机设备，根据（ 2 ）中你选择的函数表达式，预测甲农户 2021 年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求 . 5、 如图，半圆形薄铁皮的直径 AB 8 ，点 O 为圆心（不与 A ， B 重合），连接 AC 并延长到点 D ，使 AC CD ，作 DH AB ，交半圆、 BC 于点 E ， F ，连接 OC ， ABC = ， 随点 C 的移动而变化 （ 1 ）移动点 C ，当点 H ， B 重合时，求证： AC = BC ； （ 2 ）当 45 时，求证： BH AH DH FH ； （ 3 ）当 45 时，将扇形 OAC 剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高 6、 如图，在直角坐标系中， O 为坐标原点，抛物线的顶点为（ 2 ， ），抛物线与轴的一个交点为 A （ 4 ， 0 ），点 B （ 2 ， ），点 C 与点 B 关于 y 轴对称 （ 1 ）判断点 C 是否在该抛物线上，并说明理由； （ 2 ）顺次连接 AB ， BC ， CO ，判断四边形 的形状并证明； （ 3 ）设点 P 是抛物线上的动点，连接 PA 、 PC 、 AC ， PAC 的面积 S 随点 P 的运动而变化；请探究 的大小变化并填写表格 处的内容；在当 S 的值为 时，求点 P 的横坐标的值 直线 的函数表达式 取的一个特殊值 满足条件的 点的个数 的可能取值范围 6 4 个 3 个 10 2 个 7、 如图 1 ，在 ABC 中， C =90 ， ABC =30 ， AC =1 ， D 为 ABC 内部的一动点（不在边上），连接 BD ，将线段 BD 绕点 D 逆时针旋转 60 ，使点 B 到达点 F 的位置；将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 60 ，使点 A 到达点 E 的位置，连接 AD ， CD ， AE ， AF ， BF ， EF （ 1 ）求证： BDA BFE ； （ 2 ） CD + DF + FE 的最小值为 ； 当 CD + DF + FE 取得最小值时，求证： AD BF （ 3 ）如图 2 ， M ， N ， P 分别是 DF ， AF ， AE 的中点，连接 MP ， NP ，在点 D 运动的过程中，请判断 MPN 的大小是否为定值若是，求出其度数；若不是，请说明理由 =参考答案=一、选择题1、 D 【分析】 根据相反数的概念先求得每个选项中对应的数据的相反数，然后再进行有理数的大小比较 【详解】 解： 2 的相反数是 2 ， 1 的相反数是 1 ， 1 的相反数是 1 ， 2 的相反数是 2 ， 2 1 1 2 ， 故选： D 【点睛】 本题考查相反数的概念及有理数的大小比较，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，正数大于 0 ， 0 大于负数，正数大于一切负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小 2、 B 【分析】 作 CD 平面镜，垂足为 G ，根据 EF 平面镜，可得 CD / EF ，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角 的度数 【详解】 解：如图，作 CD 平面镜，垂足为 G ， EF 平面镜， CD / EF ， CDH EFH ， 根据题意可知： AG DF ， AGC CDH ， AGC ， AGC AGB 60 30 ， 30 故选： B 【点睛】 本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线 CG 平分 AGB 3、 C 【分析】 先用四舍五入法精确到十万位，再按科学记数法的形式和要求改写即可 【详解】 解： 故选： C 【点睛】 本题考查了近似数和科学记数法的知识点，取近似数是本题的基础，熟知科学记数法的形式和要求是解题的关键 4、 A 【分析】 先求出方程的解，即可得到 ，根据菱形的性质求出 和 ，根据勾股定理求出 即可 【详解】 解：解方程 ，得 ， 即 ， 四边形 是菱形， ， 由勾股定理得 ， 即菱形的边长为 ， 故选： 【点睛】 本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，正确求出方程的根是解题的关键 5、 C 【分析】 根据该几何体的三视图，结合轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形及中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形进行判断即可 【详解】 解：该几何体的三视图如下： 三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图， 故选： C 【点睛】 本题考查简单几何体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提 6、 D 【分析】 分别求出每一个不等式的解集，再将解集表示在同一数轴上即可得到答案 【详解】 解： 解不等式 ，得： x -1 ， 解不等式 ，得： x 2 ， 将不等式的解集表示在同一数轴上： 所以不等式组的解集为 -1 x 2 ， 故选： D 【点睛】 本题考查的是解一元一次不等式组，关键是正确求出每一个不等式解集，并会将解集表示在同一数轴上 7、 A 【分析】 A 、根据中位数的定义判断即可； B 、根据折线图即可判断出对印度尼西亚的出口额的增速； C 、分别求出去年同期对日本和俄罗斯联邦的出口额即可判断； D 、根据折线图即可判断 【详解】 解： A 、将这组数据按从小到大的顺序排列为： 19677 ， 19791 ， 21126 ， 24268 ， 25855 ， 26547 ， 29285 ， 35581 ， 39513 ， 67366 ，位于中间的两个数分别是 25855 ， 26547 ，所以中位数是 ，选项正确，符合题意； B 、根据折线图可知，对印度尼西亚的出口额比去年同期增长 ，选项说法错误，不符合题意； C 、去年同期对日本的出口额为 : ，对俄罗斯联邦的出口额为： ，选项错误，不符合题意 ； D 、根据折线图可知，出口额同比增速中，对越南的增速最快，选项错误，不符合题意 . 故选： A 【点睛】 此题考查了中位数的概念和折线统计图和柱状图，解题的关键是正确分析出图中的数据 8、 B 【分析】 分别画出函数 的图像，然后根据 min| x 1 ， x 2 ， ， x n | 1 即可求得 【详解】 如图所示，分别画出函数 的图像， 由图像可得， ， 故选： B 【点睛】 此题考查了一次函数图像的性质，解题的关键是由题意分析出各函数之间的关系 9、 A 【分析】 根据完全平方公式、负数指数幂、分式的化简、根式的化简分别计算解答即可 【详解】 解： A 、 ，选项运算正确； B 、 ，选项运算错误； C 、 是最简分式，选项运算错误； D 、 ，选项运算错误； 故选： A 【点睛】 此题综合考查了代数式的运算，关键是掌握代数式运算各种法则解答 10、 D 【分析】 证明 AOE 是等边三角形， EF OA ， AD OE ，可判断 A ；证明 AGF = AOF =60 ，可判断 B ；证明 FG =2 GE ，可判断 C ；证明 EF = AF ，可判断 D 【详解】 解：如图， 在正六边形 AEDBCF 中， AOF = AOE = EOD =60 ， OF = OA = OE = OD ， AOF ， AOE ， EOD 都是等边三角形， AF = AE = OE = OF ， OA = AE = ED = OD ， 四边形 AEOF ，四边形 AODE 都是菱形， AD OE ， EF OA ， AOE 的内心与外心都是点 G ，故 A 正确， EAF =120 ， EAD =30 ， FAD =90 ， AFE =30 ， AGF = AOF =60 ，故 B 正确， GAE = GEA =30 ， GA = GE ， FG =2 AG ， FG =2 GE ， 点 G 是线段 EF 的三等分点，故 C 正确， AF = AE ， FAE =120 ， EF = AF ，故 D 错误， 故答案为： D 【点睛】 本题考查作图 - 复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形 AEOF ，四边形 AODE 都是菱形 11、 BD 【分析】 根据 “ A 与两坐标轴同时相切 ” 分为 A 在第二象限，第四象限两种情况进行解答 【详解】 解：如图，当 A 在第二象限，与两坐标轴同时相切时， 在 Rt ABM 中， AM 1 OM ， BM BO OM 4 1 3 ， tan ABO ； 当 A 在第四象限，与两坐标轴同时相切时， 在 Rt ABM 中， AM 1 OM ， BM BO + OM 4+1 5 ， tan ABO ； 故答案为： B 或 D 【点睛】 本题考查切线的性质和判定，解直角三角形，根据不同情况画出相应的图形，利用直角三角形的边角关系求出答案是解决问题的前提 12、 ACD 【分析】 利用待定系数法将各点坐标两两组合代入 , 求得抛物线解析式为 , 再根据对称轴直线 求解即可得到 A 选项是正确答案 , 由抛物线解析式为 , 令 , 求解即可得到抛物线与 x 轴的交点坐标（ -1,0 ）和（ 2,0 ） , 从而判断出 B 选项不正确 , 令关于 x 的一元二次方程 的根的判别式当 , 解得 , 从而得到 C 选项正确 , 根据抛物线图象的性质由 , 推出 , 从而推出 , 得到 D 选项正确 【详解】 当抛物线图象经过点 A 和点 B 时 , 将 A （ 1,-2 ）和 B （ 2,-2 ）分别代入 , 得 , 解得 , 不符合题意 , 当抛物线图象经过点 B 和点 C 时 , 将 B （ 2,-2 ）和 C （ 2,0 ）分别代入 , 得 , 此时无解 , 当抛物线图象经过点 A 和点 C 时 , 将 A （ 1,-2 ）和 C （ 2,0 ）分别代入 得 , 解得 , 因此 , 抛物线经过点 A 和点 C , 其解析式为 , 抛物线的对称轴为直线 , 故 A 选项正确 , 因为 , 所以 , 抛物线与 x 轴的交点坐标是（ -1,0 ）和（ 2,0 ） , 故 B 选项不正确 , 由 得 , 方程根的判别式 当 , 时 , , 当 时 , 即 , 解得 , 此时关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 , 故 C 选项正确 , 因为抛物线 与 x 轴交于点（ -1,0 ）和（ 2,0 ） , 且其图象开口向上 , 若 P （ m , n ）和 Q （ m +4, h ）都是抛物线上 的点 , 且 n 0 ）满足模拟，理由见解析；（ 3 ）满足，理由见解析 . 【分析】 （ 1 ）根据 m = xy 是否为定值即可判断和说明理由； （ 2 ）通过点的变化可知不是一次函数，由（ 1 ）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理； （ 3 ）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出 2021 年即第 6 年度的纯收入 y ，然后比较结果即可 【详解】 解：（ 1 ）不能选用函数 （ m 0 ）进行模拟，理由如下： 11.5=1.5 ， 2 2.5=5 ， 1.55 不能选用函数 （ m 0 ）进行模拟； （ 2 ）选用 y = ax 2 -0.5 x + c （ a 0 ），理由如下： 由（ 1 ）可知不能选用函数 （ m 0 ），由（ 1 ， 1.5 ），（ 2 ， 2.5 ），（ 3 ， 4.5 ），（ 4 ， 7.5 ），（ 5 ， 11.3 ）可知 x 每增大 1 个单位， y 的变化不均匀，则不能选用函数 y = x + b （ k 0 ）， 故只能选用函数 y = ax 2 -0.5 x + c （ a 0 ）进行模拟； （ 3 ）由点（ 1 ， 1.5 ），（ 2 ， 2.5 ）在 y = ax 2 -0.5 x + c （ a 0 ）上 则 ，解得： y =0.5 x 2 -0.5 x +1.5 当 x =6 时， y =0.536-0.56+1.5=16.5 ， 16.5 16 ， 甲农户 2021 年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象特征、反比例函数的图象特征、待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的函数值等知识点，根据图象特征、正确判断函数的种类成为解答本题的关键 5、 （ 1 ）见解析（ 2 ）见解析（ 3 ）底面半径为 1 ，高为 【分析】 （ 1 ）根据直角三角形的性质即可求解； （ 2 ）证明 BFH DAH ，即可求解； （ 3 ）根据扇形与圆锥的特点及求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高 【详解】 （ 1 ）如图，当点 H ， B 重合时， DH AB ADB 是直角三角形， AC CD ， BC 是 ADB 的中线 BC = AC = BC （ 2 ）当 45 时， DH 交半圆、 BC 于点 E ， F ， AB 是直径 ACB =90 DH AB B + A = A + D =90 B = D BHF = DHA =90 BFH DAH ， BH AH DH FH ； （ 3 ） ABC =45 AOC =2 ABC =90 直径 AB 8 ， 半径 OA =4 ， 设扇形 OAC 卷成圆锥的底面半径为 r 解得 r =1 圆锥的高为 【点睛】 此题主要考查圆内综合求解，解题的关键是熟知直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质及弧长的求解与圆锥的特点 6、 （ 1 ）点 在该抛物线 上；证明见解答；（ 2 ）四边形 是菱形；（ 3 ） ； ； ； 当 = 时，点 P 的横坐标为 或 1 或 【分析】 （ 1 ）运用待定系数法，设抛物线解析式为 ，将 代入，即可求得抛物线解析式，当 时， ，故点 在该抛物线上； （ 2 ）根据 ， ， ， 的纵坐标相等可判断 轴，再由 ，可判断四边形 是平行四边形，再运用两点间距离公式求出 ，运用菱形的判定定理即可 （ 3 ） 设 ，将 ， 坐标代入即可求出直线 的函数表达式； 当点 在直线 下方的抛物线上时，如图 2 ，设 ，过点 作 轴交直线 于点 ，则 ，根据满足条件的 点有 3 个，可得在直线 下方的抛物线上只有 1 个点 ，即 的值最大，再利用二次函数最值性质即可得出答案； 由满足条件的 点有 3 个，结合 即可得出答案； 满足条件 的 点只有 2 个，而在直线 上方的抛物线上一定有 2 个点 ，满足 ，故在直线 下方的抛物线上没有点 ，满足 ，结合 即可得出答案 【详解】 解：（ 1 ）设抛物线解析式为 ，将 代入， 得： ， 解得： ， 抛物线解析式为 ， 点 ， 与点 关于 轴对称， ， ， 当 时， ， 点 在该抛物线 上； （ 2 ）四边形 是菱形 证明： ， ， ， ， 轴， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， 四边形 是菱形 （ 3 ） 设直线 的函数表达式为 ， ， ， ， ， 解得： ， 直线 的函数表达式为 ； 故答案为： ； 当点 在直线 下方的抛物线上时，如图 2 ， 设 ，过点 作 轴交直线 于点 ， 则 ， ， 满足条件的 点有 3 个， 在直线 下方的抛物线上只有 1 个点 ，即 的值最大， ， 当 时， 取得最大值 ，此时点 ， 故答案为： ； 当 P 点在直线 AC 上方时， ， 当 = 时，即： ，解得： ， 综上所述：当 = 时，点 P 的横坐标为 或 1 或 由 知，当 时，在直线 下方的抛物线上有 2 个点 ，满足 ， 在直线 上方的抛物线上一定有 2 个点 ，满足 ， 满足条件 的 点有 4 个，符合题意 故答案为： ； 满足条件 的 点只有 2 个，而在直线 上方的抛物线上一定有 2 个点 ，满足 ， 在直线 下方的抛物线上没有点 ，满足 ， 由 知，当 时，在直线 下方的抛物线上没有点 ，满足 ，符合题意 故答案为： 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，菱形的判定，利用二次函数求最值等，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，表达出三角形面积是解题关键 7、 （ 1 ）见解答； （ 2 ） ； 见解答； （ 3 ）是， MPN =30 【分析】 （ 1 ）由旋转 60 知， ABD = EBF 、 AB = AE 、 BD = BF ，故由 SAS 证出全等即可； （ 2 ） 由两点之间，线段最短知 C 、 D 、 F 、 E 共线时 CD + DF + FE 最小，且 CD + DF + FE 最小值为 CE ，再由 ACB =90 ， ABC =30 ， AC =1 求出 BC 和 AB ，再由旋转知 AB = BE ， CBE =90 ，最后根据勾股定理求出 CE 即可； 先由 BDF 为等边三角形得 BFD =60 ，再由 C 、 D 、 F 、 E 共线时 CD + DF + FE 最小， BFE =120= BDA ，最后 ADF = ADB - BDF =120-60=60 ，即证； （ 3 ）由中位线定理知道 MN AD 且 PN EF ，再设 BEF = BAD = ， PAN = ，则 PNF =60 -+ ， FNM = FAD =60 +- ，得 PNM =120 【详解】 解：（ 1 ）证明： DBF = ABE =60 ， DBF - ABF = ABE - ABF ， ABD = EBF ， 在 BDA 与 BFE 中， ， BDA BFE （ SAS ）； （ 2 ） 两点之间，线段最短， 即 C 、 D 、 F 、 E 共线时 CD + DF + FE 最小， CD + DF + FE 最小值为 CE ， ACB =90 ， ABC =30 ， AC =1 ， BE = AB =2 ， BC = ， CBE = ABC + ABE =90 ， CE = ， 故答案为： ； 证明： BD = BF ， DBF =60 ，