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s平平面面到到z平平面面的的标标准准变变换换是是多多值值对对应应关关系系。而而双双线线性性1、双双线线性性变变换换映映射射关关系系一一阶阶微微分分方方程程的的一一般般形形式式6.4 双双线线性性变变换换法法脉脉冲冲响响应应不不变变法法存存在在的的缺缺点点是是频频谱谱混混叠叠。这这是是由由于于从从系系统统函函数数变变换换正正是是克克服服这这一一缺缺陷陷的的变变换换。(6.4-1)y(t)+c0 y(t)=d0 x(t)(6.4-2)d0s+c0H(s)=如图如图(6.4-1)所示对式所示对式(6.4-1)的时间变量量化，且的时间变量量化，且时间时间图图(6.4-1)间间隔隔T足足够够小小，则则有有(n 1)TnTty(n 1)0y(t)y(n)y(t)t=nT dy(t)dt y(n)y(n 1)Tt=nT y(t)y(n)+y(n 1)21对式（对式（6.4-3）两边取）两边取z变换变换同同理理代入式代入式(6.4-1)(6.4-3)t=nT x(t)x(n)+x(n 1)21y(n)y(n 1)Td0 x(n)+x(n 1)2=c0 y(n)+y(n 1)2+(1 z 1)Y(z)+Td0 2c0 21(1+z 1)Y(z)=(1+z 1)X(z)Y(z)X(z)H(z)=d0 2(1+z 1)(1 z 1)+Tc0 21(1+z 1)=d0(1 z 1)(1+z 1)T2+c0 得到数字滤波器的系统函数得到数字滤波器的系统函数H(z)比较两式，可以直接由模拟滤波器的系统函数比较两式，可以直接由模拟滤波器的系统函数H(s)(6.4-5)d0s+c0H(s)=H(z)=d0 1 z 11+z 1T2+c0 得到将得到将s平面映射到平面映射到z平面的关系为平面的关系为(6.4-6)H(z)=H(s)1 z 11+z 1T2 s=1 z 11+z 1T2 s=由由(6.4-6)式解出式解出 式式(6.4-6)与与(6.4-7)的变换都是单值对应的，其分子和分的变换都是单值对应的，其分子和分母均为自变量的线性函数，双线性变换法也因此得名。母均为自变量的线性函数，双线性变换法也因此得名。(6.4-7)z=T2s1 T2s1+将将 z=ej (单位圆单位圆)代入代入(6.4-6)式，并设式，并设 s=+j，有有(6.4-6)1 z 11+z 1T2 s=+j =1 e j T2 1+e j(ej/2 e j/2)T2(ej/2+e j/2)j2j21=T2tan=j 2(6.4-9)比较比较(6.4-8)等式两边，得到等式两边，得到 =0 +j =jT2tan 2(6.4-8)T2tan =2由由(6.4-8)看到双线性变换法的映射关系使看到双线性变换法的映射关系使s平面的虚轴平面的虚轴映射为映射为z平面的单位圆。平面的单位圆。而而(6.4-9)式频率正切变换关系式频率正切变换关系实现了频率压缩，使模拟域实现了频率压缩，使模拟域 从从 的变化，压缩为的变化，压缩为数字域频率数字域频率 从从 变化。变化。将将s=+j 代入代入(6.4-7)，有，有稳定的模拟系统映射为稳定的数字系统。稳定的模拟系统映射为稳定的数字系统。=0|z|=1 0|z|1|z|1(1+T /2)2 (1 T /2)2z=1 Ts/21+Ts/21 T /2 jT/21+T /2+jT/2=(6.4-10)|z|=(1 T /2)2+(T/2)2(1+T /2)2+(T/2)2由于双线性变换法映射关系是单值对应的，克服了脉由于双线性变换法映射关系是单值对应的，克服了脉与与 关系是非线性的，使得模拟滤波器与数字滤波器在关系是非线性的，使得模拟滤波器与数字滤波器在冲响应不变法频谱混叠现象。但是冲响应不变法频谱混叠现象。但是 由由(6.4-6)表示的表示的 响应与频率的对应关系上会产生畸变，如图响应与频率的对应关系上会产生畸变，如图6.4-2所示。所示。即原来的即原来的 s/p=k 由双线性变换后由双线性变换后 s/p k 1)确定确定DF性能要求，确定数字滤波器各临界频率性能要求，确定数字滤波器各临界频率 k。传递函数传递函数H(s)。这个模拟低通滤波器也称为模拟。这个模拟低通滤波器也称为模拟原型原型(归一化归一化)滤波器。滤波器。2.双线性变换法设计数字滤波器四个步骤：双线性变换法设计数字滤波器四个步骤：2)由双线性变换关系将由双线性变换关系将 k变换为模拟域临界频率变换为模拟域临界频率 k。3)按按 k、衰减指标求出模拟低通滤波器的、衰减指标求出模拟低通滤波器的(归一化归一化)(4)由双线性变换关系将由双线性变换关系将H(s)转变为数字滤波器的系统转变为数字滤波器的系统函数函数H(z)。与脉冲不变法一样，设计过程中除了的第一步求数字临与脉冲不变法一样，设计过程中除了的第一步求数字临界频率界频率 k时，要用到取样间隔时，要用到取样间隔T或取样频率或取样频率 fs 以外，以外，最最后的结果与其它各步骤中后的结果与其它各步骤中T 或或 f s的取值无关。所以为的取值无关。所以为了了简化运算，在实际计算时，除了第一步，通常取简化运算，在实际计算时，除了第一步，通常取T=1或或T=2。例例6.4-2：例：例6.4-1 H(s)的一阶原型低通系统函数为：的一阶原型低通系统函数为：(1)将将T=1/2000代入，得代入，得p=2906 rad/sH(s)=ps+p,用双线性变换关系求数字滤波器的系统用双线性变换关系求数字滤波器的系统函数函数H(z)。H(s)=2096s+20961 z 11+z 140002096+2096=H(z)=H(s)T2s=1 z 11+z 1 一般一般H(z)系数系数1，则，则(2)令令T=2代入，得代入，得4000(1 z 1)+2096(1+z 1)2096(1+z 1)=6096z 10942096(1+z)=z 0.15840.421(1+z)H(z)=p=tan p/2=0.7265H(s)=ps+p0.7265s+0.7265=(1)与与(2)的结果相同。的结果相同。一般一般H(z)系数系数1，则，则z 0.15840.421(1+z)H(z)=1 z 11+z 10.7265+0.7265=H(z)=H(s)T2s=1 z 11+z 1(1 z 1)+0.7265(1+z 1)0.7265(1+z 1)=1.7265 z 0.27350.7265(1+z)=器，设计指标为器，设计指标为例例6.4-3 用双线性变换法设计一巴特沃思数字低通滤波用双线性变换法设计一巴特沃思数字低通滤波通带截止频率通带截止频率 p =0.2，通带最大衰减通带最大衰减 p 1dB；阻带边缘频率阻带边缘频率 s=0.3，阻带最小衰减阻带最小衰减 s 15dB；10.2 0.3 1 1 2|Hd(e j)|解：与例解：与例6.2-4相同，可用三种方法求解此题。相同，可用三种方法求解此题。(1)按照设计的一般步骤作按照设计的一般步骤作第二步开始。为方便直接取第二步开始。为方便直接取T=1，则由双线性频率变，则由双线性频率变因为给出的频率条件已经是数字临界频率因为给出的频率条件已经是数字临界频率 k，应从，应从换换 =2 tan(/2)，得到预畸校正频率分别为，得到预畸校正频率分别为 p=2 tan(0.2/2)=2 tan(0.1)s=2 tan(0.3/2)=2 tan(0.15)，这这样样模模拟拟滤滤波波器器的的设设计计指指标标为为通通带带截截止止频频率率 p=0.65，通通带带最最大大衰衰减减 p 1dB；阻阻带带边边缘缘频频率率 s=1.019，阻阻带带最最小小衰衰减减 s 15dB；10lg|H(j p)|2 1，|H(j 2 tan(0.1)|2 10-0.1；lg|H(j p)|2 0.1，10lg|H(j s)|2 15，|H(j 2 tan(0.15)|2 10-1.5。lg|H(j s)|2 1.5，1）求求N、c由由巴巴特特沃沃思思滤滤波波器器的的数数学学模模型型得到得到由由此此可可得得：整理整理 1+2 tan(0.1)/c2N=100.1(6.4-11a)1+2 tan(0.15)/c2N=101.5(6.4-11b)(6.4-11c)2 tan(0.1)/c2N=100.1 1=1.2598 1=0.2598(6.4-11d)2 tan(0.15)/c2N=101.5 1=31.6228 1=30.6228|H(j)|2=1+(/c)2N11+(/c)2N|H(j)|2=1将这个将这个N代入代入(6.4-11c)式，解出式，解出 c0=0.738。但但N必须取整数，所以取必须取整数，所以取N=6，同时取同时取 c=0.76622 c0这这与与冲冲激激不不变变法法相相反反，由由保保证证阻阻带带指指标标，改改善善通通带带指指标标。(6.4-11c)(6.4-14d)=2tan0.15 2tan0.1 2N=0.258930.6228=8.4547 10 3由由N=21 lg(8.4547 10 3)lg(0.3249/0.5095)=2.0729 0.195421 5.304）求）求Ha(s)N=6，为为偶偶数数，极极点点间间隔隔为为/N=/6=30，起起点点/2N=15，实实轴轴上上无无极极点点；H(s)的的系系数数均均为为实实数数，H(s)的的复复极极点点都都是是共共轭轭半半平平面面。c-cj /6 15 成对的，且均在成对的，且均在s左左由此得到：由此得到：s1,6=c(cos75 jsin75)=0.198j0.742s2,5=c(cos45 jsin45)=0.5415j0.5415s3,4=c(cos15 jsin15)=0.742j0.198H(s)=(s sk)k=16(sk)k=16去归一化后去归一化后也可以查表也可以查表6.2得到得到N=6的归一化的归一化Ha(s)为为 H(s)=H(s)=数数字字滤滤波波器器振振幅幅频频响响（dB）如如图图6.4.4所所示示。3）求）求H(z)H(z)=H(s)T2s=1 z 11+z 1(1 0.9042 z 1+0.2154 z 2)(1 1.0108z1+0.3585z2)0.00073794(1+z 1)6=(1 1.2687z1+0.705z2)1 双线性变换法双线性变换法例例6.4-4 指标同例指标同例6.4-3，用双线性变换法设计数字切比，用双线性变换法设计数字切比雪夫滤波器。雪夫滤波器。通带截止频率通带截止频率 p=0.2，通带最大衰减，通带最大衰减 p 1dB；阻带边缘频率阻带边缘频率 s =0.3，阻带最小衰减，阻带最小衰减 s 15dB；解：令解：令T=1，则则 p=2 tan(0.2/2)=2 tan(0.1)=0.65 s=2 tan(0.3/2)=2 tan(0.15)=1.019，1）p=c=0.65 取取 N=4，与脉冲不变法相同。，与脉冲不变法相同。2）11(1 1)2=10 0.1 1 =0.508853）cosh 1(s/c)N cosh 1 1 1(2)21cosh 1 1101.5 1=cosh 1(tan0.15 /tan.2)cosh 10.508855.5338=cosh 1(1.0196/0.65)3.0783=1.0207 3.016a=21(1/N 1/N)=1+1+2=1.9652+2.205=4.1702=21(1/4 1/4)=21(1.429 0.7)=0.3645b=21(1/N+1/N)=21(1/4+1/4)=21(1.429+0.7)=1.0645s1,4=a c cos(2k 1)/2N jb c sin(2k 1)/2N=0.3645 0.65 cos(/8)j1.0645 0.65 sin(/8)=0.2189j0.2647=0.3645 0.65 cos(3/8)j1.0645 0.65 sin(3/8)=0.0907j0.639s2,3=a c cos3/2N jb c sin3/2N4）确定模拟低通系统函数）确定模拟低通系统函数H(s)可以利用表可以利用表6.2得到归一化得到归一化H(s )，再去归一化得到，再去归一化得到H(s)。23 c4H(s)=(s pk)k=141(s2+0.1814s s+0.4166)(s2+0.4378s s+0.118)=0.04381系统函数系统函数5)由模拟低通系统函数经双线性变换法确定数字低通由模拟低通系统函数经双线性变换法确定数字低通与用冲激不变法设计数字切比雪夫滤波器相比，基本与用冲激不变法设计数字切比雪夫滤波器相比，基本步骤一样，只是模拟低通原型步骤一样，只是模拟低通原型 p=c=0.65。H(z)=H(s)T2s=1 z 11+z 1(1 1.4996z z 1+0.8482z 2)(1 1.5548z z 1+0.6493z 2)=0.001836(1+z 1)4切比雪夫数字滤波器振幅频响切比雪夫数字滤波器振幅频响(dB)如图如图6.4.6所示。所示。由由图图6.4.6与与图图6.4.5巴巴特特沃沃思思滤滤波波器器振振幅幅频频响响相相比比，在在保保证证通通带带指指标标的的前前提提下下，阻阻带带指指标标改改善善很很多多。这这是是因因为为切切比比雪雪夫夫数数字字滤滤波波器器实实际际阶阶数数N取取4，比比计计算算所所需需的的理理论论阶阶数数3.016有有较较大大的的富富余余量量。6.5 原原型型变变换换法法前前面面两两节节讨讨论论的的是是由由巴巴特特沃沃思思、切切比比雪雪夫夫模模拟拟原原型型低低通通滤滤波波器器设设计计数数字字低低通通的的方方法法。而而实实际际待待求求的的数数字字滤滤波波器器重重讨讨论论由由模模拟拟低低通通原原型型设设计计实实际际数数字字滤滤波波器器的的方方法法。如如图图6.5.1所所示示，一一般般有有三三种种方方法法可可以以由由模模拟拟低低通通原原型型设设计计所所需需的的数数字字滤滤波波器器。有有各各种种不不同同的的低低通通、高高通通、带带通通、带带阻阻滤滤波波器器，本本节节着着图图6.5.1 原型变换的三种设计方法示意图原型变换的三种设计方法示意图 HL(j)HL(ej)1、sz3、szHd(ej)zZHd(j)2、ss s z图图中中HL(j)表表示示模模拟拟低低通通原原型型滤滤波波器器，Hd(e j)表表示示所所需需设设计计的的数数字字滤滤波波器器。由由图图可可见见，由由模模拟拟低低通通原原型型滤滤波波器器出出发发，设设计计数数字字滤滤波波器器的的第第一一种种方方法法是是由由模模拟拟低低通通原原型型滤滤波波器器HL(j)，用用冲冲激激不不变变法法或或双双线线性性变变换换法法得得到到数数字字低低通通滤滤波波器器的的HL(ej)；再再由由数数字字低低通通得得到到所所需需的的数数字字滤滤波波器器的的Hd(e j)。这这种种方方法法的的第第一一步步，实实际际就就是是前前面面两两节节讨讨论论的的s平平面面与与z平平面面的的映映射射变变换换。关关键键是是第第二二步步，第第二二步步实实质质是是数数字字域域z平平面面之之间间的的变变换换，这这种种变变换换也也称称z平平面面变变换换法法。设设计计数数字字滤滤波波器器的的第第二二种种方方法法是是由由模模拟拟低低通通原原型型滤滤波波器器HL(j)，设设计计所所需需的的模模拟拟低低通通、高高通通、带带通通、带带阻阻滤滤波波器器Hd(j )，再再由由Hd(j )经经冲冲激激不不变变法法或或双双线线性性变变换换法法得得到到所所需需的的数数字字滤滤波波器器的的Hd(ej)。这这种种方方法法的的第第二二步步，是是前前面面两两节节讨讨论论的的s平平面面与与z平平面面的的映映射射变变换换。关关键键是是第第一一步步，第第一一步步的的实实质质是是模模拟拟域域s平平面面之之间间的的变变换换，这这种种变变换换也也称称s平平面面变变换换法法。设设计计数数字字滤滤波波器器的的第第三三种种方方法法是是由由模模拟拟低低通通原原型型滤滤波波器器冲冲激激不不变变法法频频谱谱的的混混叠叠效效应应，应应用用受受到到一一定定限限制制，所所以以此此法法适适用用双双线线性性变变换换法法。因因为为这这种种方方法法直直接接由由模模拟拟原原型型滤滤波波器器变变换换到到数数字字滤滤波波器器所所以以也也称称原原型型变变换换法法。HL(j)，直直接接设设计计所所需需的的数数字字滤滤波波器器的的Hd(e j)。由由于于由由模模拟拟低低通通原原型型设设计计任任意意的的DF三三种种可可以以选选择择方方法法1、模拟低通原型、模拟低通原型数字低通数字低通所所需需数数字字滤滤波波器器所所需需数数字字滤滤波波器器 2、模拟低通原型、模拟低通原型所需模拟所需模拟3、模拟低通原型、模拟低通原型所需数字滤波器所需数字滤波器即即(只只适适用用双双线线性性变变换换)HL(j)Hd(e j)s z即即HL(j)HL(e j)s z即即 HL(j)Hd(j )s Hd(e j)Hd(e j)6.5.1、s平面变换法平面变换法模拟域的频率变换模拟域的频率变换拟原型低通设计所需数字滤波器第二种方法的第一步。拟原型低通设计所需数字滤波器第二种方法的第一步。性变换法。所以这种方法的关键就是第一步模拟域的性变换法。所以这种方法的关键就是第一步模拟域的s平面变换法实质是模拟域的频率变换，是由归一化平面变换法实质是模拟域的频率变换，是由归一化模模该方法的第二步是前面已经讨论过的该方法的第二步是前面已经讨论过的sz平面映射，平面映射，既可以用冲激不变法（有一定限制），也可以用双线既可以用冲激不变法（有一定限制），也可以用双线频率变换。频率变换。关系可以实现所需要的模拟域频率变换。关系可以实现所需要的模拟域频率变换。归一化的模拟原型低通的设计简便、通用。尤其是归一化的模拟原型低通的设计简便、通用。尤其是利用归一化的模拟原型低通，经适当的频率变换可利用归一化的模拟原型低通，经适当的频率变换可以求得实际（非归一化）低通、高通、带通、带阻以求得实际（非归一化）低通、高通、带通、带阻滤波器。与数字域的频率变换法类似，有一组变换滤波器。与数字域的频率变换法类似，有一组变换用用s 表示变换前的自变量，表示变换前的自变量，s表示变换后的自变表示变换后的自变量，量，Hl(s)表示归一化的模拟原型低通的系统表示归一化的模拟原型低通的系统函数，函数，归一化的模拟原型低通的截频为归一化的模拟原型低通的截频为 p。则则s平面变换法的变换关系有平面变换法的变换关系有1、低通、低通低通低通 s=s/c式中式中 c是低通的截止频率是低通的截止频率则非归一化的模拟低通的系统函数为则非归一化的模拟低通的系统函数为(6.5-18)实际也是模拟原型低通去归一化公式。实际也是模拟原型低通去归一化公式。(6.5-18)(6.5-17)HL(s)=Hl(s )s=s/cHH(s)=Hl(s)|s =1/s归一化的模拟高通的系统函数为归一化的模拟高通的系统函数为s =1/s2、低通、低通高通高通 s=c/s，式中式中 c是高通的截止频率是高通的截止频率非归一化的模拟高通的系统函数为非归一化的模拟高通的系统函数为特别当特别当 c=1时时HH(s)=Hl(s)(6.5-19)s=c/s(6.5-21）(6.5-20)非归一化的模拟带通的系统函数为非归一化的模拟带通的系统函数为式中式中 1是带通的下截止频率；是带通的下截止频率；2是带通的上截止频率是带通的上截止频率;3、低通、低通带通带通 s2+1 2s=s(12)s2+0s(12)2=0=1 2是带通的中心频率。是带通的中心频率。HB(s)=Hl(s)s2+1 2s=s(12)s2+0s(12)2=非归一化的模拟带阻的系统函数为非归一化的模拟带阻的系统函数为(6.5-22）(6.5-23)4、低通、低通带阻带阻 式中式中 1是带阻的下截止频率；是带阻的下截止频率；2是带阻的上截止频率是带阻的上截止频率;s2+1 2s=s(12)s2+0s(12)2=0=1 2是带阻的中心频率。是带阻的中心频率。HS(s)=Hl(s)s2+1 2s=s(12)s2+0s(12)2=