新单调性与极值.pptx

第三节第三节一、函数单调性一、函数单调性二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法 函数的单调性与极值 第三三章 三、最大值与最小值问题最大值与最小值问题一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法证：证：应用拉氏定理应用拉氏定理,得得定理定理1(1)如果定理如果定理1中的闭区间换成其他各种区间，结论也中的闭区间换成其他各种区间，结论也是成立的是成立的.注意注意如果如果上单调增加上单调增加(单调减少单调减少)例例2 2解解例例1 1求函数的单调区间求函数的单调区间问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，若函数在其定义域的某个区间内是单调的，单调区间的分界点单调区间的分界点在该定义区间的部分区间上单调在该定义区间的部分区间上单调但但则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.方法方法:(导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点。）导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点。）例例3 3解解单调区间为单调区间为例例4 4解解单调区间为单调区间为例例6 6证证例例5 5例例7 7二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.定理定理2 2(费马定理费马定理)定义定义注意注意:例如例如,定理定理3(3(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)(2)如果如果而而及及时时,符号相同符号相同,(3)(3)如果当如果当则则(1)如果如果求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)例例8 8 求函数求函数的极值的极值 .解解:1)1)求导数求导数2)2)求极值可疑点求极值可疑点令令得得3)3)列表判别列表判别是极大点，是极大点，其极大值为其极大值为是极小点，是极小点，其极小值为其极小值为证证同理可证同理可证(2).定理定理4(4(第二充分条件第二充分条件)那么那么(2)当当(1)当当例例9 9解解图形如下图形如下注意注意:三、最大值与最小值问题三、最大值与最小值问题 求最值步骤求最值步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大比较大小小,哪个最大哪个就是函数在区间上的最大值哪个最大哪个就是函数在区间上的最大值,哪个哪个最小哪个就是函数在区间上的最小值最小哪个就是函数在区间上的最小值;例例1010 求函数求函数在闭区间在闭区间上的最大值和最小值上的最大值和最小值 .解解:显然显然且且故函数在故函数在取最小值取最小值 0 0;在在及及取最大值取最大值 5.5.点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例1111敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸南岸B处向正东追击，处向正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？解解(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系敌我相距函数敌我相距函数得唯一驻点得唯一驻点实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;清楚清楚(视角视角 最大最大)?)?观察者的眼睛观察者的眼睛1.8 m,例例12 12 一张一张 1.4 m 高的图片挂在墙上高的图片挂在墙上,它的底边高于它的底边高于解解:设观察者与墙的距离为设观察者与墙的距离为xm,则则令令得驻点得驻点根据问题的实际意义根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在观察者最佳站位存在,唯一唯一,驻点又驻点又因此观察者站在距离墙因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最问观察者在距墙多远处看图才最 作作 业业 P1731(3)2(3)(4)(8)3(5)(7)4.5(7)6(1)8.14.15.16.