三直梁弯曲.pptx

1第三章第三章 直梁的弯曲直梁的弯曲2拉压杆：承受轴向拉、压力拉压杆：承受轴向拉、压力 梁：承受横向力梁：承受横向力墙墙楼板楼板桥板桥板n3-1 3-1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念 梁的类型梁的类型3起重机大梁起重机大梁P4卧式容器卧式容器受风载荷的塔设备受风载荷的塔设备5火车轮轴火车轮轴6PP弯曲特点：弯曲特点：以弯曲变形为主的杆件通常称为以弯曲变形为主的杆件通常称为梁梁。受力特点：受到受力特点：受到垂直于杆件轴线的外力垂直于杆件轴线的外力（即横向力）或（即横向力）或 力偶的作用力偶的作用变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线7常见梁截面常见梁截面8在构件的纵向对称平面内，受到在构件的纵向对称平面内，受到垂直于梁垂直于梁的轴线的力或力偶作用的轴线的力或力偶作用，使构件的轴线，使构件的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的弯曲称在此平面内弯曲为曲线，这样的弯曲称为为平面弯曲平面弯曲 9梁载荷的分类（梁载荷的分类（4）类）类qq(x)均匀分布载荷均匀分布载荷线性（非均匀）线性（非均匀）分布载荷分布载荷P集中集中力TT集中力偶集中力偶 T分布载荷分布载荷载荷集度载荷集度 q(N/m)注意还有支座反力注意还有支座反力10MA固定支座固定支座（fixed support)XAYAA滚动铰支座滚动铰支座(roller support)YAA固定铰支座固定铰支座(pin support)YAXA支座种类支座种类支座反力支座反力A11 简支梁简支梁梁的类型梁的类型 受力受力分析分析 外伸梁外伸梁 悬臂梁悬臂梁B AP2P1YBYAXA简支梁：简支梁：一端为活动铰一端为活动铰链支座，另一端为固定链支座，另一端为固定铰链支座。吊车梁。铰链支座。吊车梁。12P1P2 外伸梁外伸梁ABCYAYBXA外伸梁：外伸梁：一端或两端伸一端或两端伸出支座之外的简支梁。出支座之外的简支梁。卧式容器卧式容器13 悬臂梁悬臂梁 ABP1P2MAYAXA悬臂梁：悬臂梁：一端为固定端，一端为固定端，另一端为自由端的梁。另一端为自由端的梁。14n3-2 3-2 梁弯曲时的内力梁弯曲时的内力 剪力和弯矩剪力和弯矩一、截面法求内力一、截面法求内力剪力剪力Q和弯矩和弯矩M1 受力分析，求受力分析，求支座反力支座反力15以右侧计以右侧计以右侧计以右侧计算？算？算？算？截面法16左左侧侧梁梁上上向向上上的的外外力力或或右右侧侧梁梁上上向向下下的的外外力力引引起起的的剪剪力力为为正正，反反之之为为负负，剪剪力力等于等于该侧外力的代数和该侧外力的代数和。17弯弯矩矩等等于于该该横横截截面面一一侧侧所所有有外外力力对对该该截截面面形形心心取取力力矩矩的的代代数数和和。梁梁上上向向上上的的外外力力均均产生正弯矩；而向下的外力均产生负弯矩产生正弯矩；而向下的外力均产生负弯矩。截截面面左左侧侧顺顺时时针针转转向向的的力力偶偶或或截截面面右右侧侧逆逆时针转向的力偶取正值时针转向的力偶取正值，反之取负值，反之取负值18对于细长的梁，实验和理论证明，它的对于细长的梁，实验和理论证明，它的弯曲变形和破坏，主要由弯矩引起，剪弯曲变形和破坏，主要由弯矩引起，剪力的作用不大，以下讨论弯矩力的作用不大，以下讨论弯矩19 n3-3 3-3 弯矩方程与弯矩图弯矩方程与弯矩图 梁横截面上的弯矩，一般随横截面的位置而变梁横截面上的弯矩，一般随横截面的位置而变化，以坐标化，以坐标 x 表示横截面位置，则弯矩可表示为表示横截面位置，则弯矩可表示为x的函数：的函数：M=M（x）称为梁的弯矩方程称为梁的弯矩方程 为了形象地表示梁各个横截面上弯矩的大小与为了形象地表示梁各个横截面上弯矩的大小与正负，将弯矩方程用图表示，称为弯矩图。正负，将弯矩方程用图表示，称为弯矩图。一、弯矩图的作法：先求得一、弯矩图的作法：先求得梁的支座反力梁的支座反力，列列出弯矩方程出弯矩方程(分段函数，范围，坐标原点的选取分段函数，范围，坐标原点的选取)，然后选择适当的比例，以，然后选择适当的比例，以x x为横坐标，为横坐标，弯矩弯矩为纵坐标，按方程作图为纵坐标，按方程作图。正的弯矩画在。正的弯矩画在x x的上方的上方，负弯矩画在下方。，负弯矩画在下方。20Pmnxl弯矩方程：弯矩方程：（-）弯矩图PQM例例1 1、图示一受集中力作用的、图示一受集中力作用的悬臂梁，画该梁弯矩图。悬臂梁，画该梁弯矩图。-例例题题3-13-1；左侧截面：左侧截面：取自由端分析取自由端分析/固定端分析？注意最大值固定端分析？注意最大值21弯矩图弯矩图（-）QMqmnxl例例2 2、图示一受均布载荷的悬、图示一受均布载荷的悬臂梁，画该梁弯矩图。课本臂梁，画该梁弯矩图。课本例题例题3-2,3-2,注意注意x x坐标原点的选坐标原点的选取取22例例3 3：如图所示的简支梁如图所示的简支梁ABAB，在点，在点C C处受到集中力处受到集中力F F作用，尺寸作用，尺寸a a、b b和和L L均为已知，试作出梁的弯矩图。均为已知，试作出梁的弯矩图x1FAFBx2FABa aCb bL L解：解：1.1.求约束反力求约束反力 2.2.分两段建立弯矩方程分两段建立弯矩方程 AC段段：23BC段段：L LFx1ABa aCb bx2M=FM=FA A X X2 2-F-F(X X2 2-a-a)=-=-FXFX2 2+aFaFal24Fx1ABa aCb bx23.3.画弯矩图画弯矩图时时，时时，时时，时时，直线直线M M 25BAlF FAYAYq qF FBYBY例例4、简简支支梁梁受受均均布布载载荷荷作作用用试试写写出弯矩方程，并画出弯矩图。出弯矩方程，并画出弯矩图。解：解：1确定约束力确定约束力FAy FBy ql/22写出弯矩方程写出弯矩方程yxCx3.依方程画出弯矩图依方程画出弯矩图Mx26例例5 5：如图所示的简支梁如图所示的简支梁ABAB，在点，在点C C处受集中力偶处受集中力偶M M0 0作用，作用，尺寸尺寸a a、b b和和L L均为已知，试作此梁的弯矩图。均为已知，试作此梁的弯矩图。解：解：1.1.求约束反力求约束反力 ：力的方向力的方向2.2.分两段建立弯矩方程分两段建立弯矩方程 BACM M0 0abLACAC段：段：x1x227BCBC段：段：BACM M0 0abLx1x2283.3.画弯矩图画弯矩图BACM M0 0abLx1x229课本例题3-530弯矩图的规律弯矩图的规律 1.梁梁受受集集中中力力或或集集中中力力偶偶作作用用时时，弯弯矩矩图图为为直直线线，并并且且在在集集中中力力作作用用处处，弯弯矩矩发发生生转转折折；在在集集中中力力偶偶作作用用处处，弯弯矩矩发发生生突突变变，突突变量为集中力偶的大小。变量为集中力偶的大小。2.2.梁梁受受到到均均布布载载荷荷作作用用时时，弯弯矩矩图图为为抛抛物物线线，且且抛抛物物线线的的开开口口方方向向与与均均布布载载荷荷的的方方向向一致。一致。3.3.梁的两端点梁的两端点若无集中力偶作用，则端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为处的弯矩为0 0；若有集中力偶作用时，则弯；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。矩为集中力偶的大小。P41 P41 表表3-1 3-1 31解解解解：（1）求支坐反力求支坐反力求支坐反力求支坐反力 取全梁为研究对象，由平衡方程取全梁为研究对象，由平衡方程取全梁为研究对象，由平衡方程取全梁为研究对象，由平衡方程例例6、一外伸梁受、一外伸梁受均布载荷均布载荷和和集中力偶集中力偶作用，如图。作用，如图。试作此梁的弯矩图试作此梁的弯矩图32 (2)(2)画弯矩图画弯矩图画弯矩图画弯矩图 (i)(i)分段，初步确定弯矩图形状分段，初步确定弯矩图形状分段，初步确定弯矩图形状分段，初步确定弯矩图形状 仍将全梁分为仍将全梁分为仍将全梁分为仍将全梁分为CACA、ADAD、DBDB三段。三段。三段。三段。CACA段有向下的均布载荷，弯矩图为凸形的抛物线；段有向下的均布载荷，弯矩图为凸形的抛物线；段有向下的均布载荷，弯矩图为凸形的抛物线；段有向下的均布载荷，弯矩图为凸形的抛物线；ADAD、DBDB两段则为傾两段则为傾两段则为傾两段则为傾斜直线；在斜直线；在斜直线；在斜直线；在A A处因有集中力，弯矩图有一折角；在处因有集中力，弯矩图有一折角；在处因有集中力，弯矩图有一折角；在处因有集中力，弯矩图有一折角；在D D处弯矩有突变，突变处弯矩有突变，突变处弯矩有突变，突变处弯矩有突变，突变之值即为该处集中力偶之力偶矩。之值即为该处集中力偶之力偶矩。之值即为该处集中力偶之力偶矩。之值即为该处集中力偶之力偶矩。(ii)ii)求特殊截面上的弯矩求特殊截面上的弯矩求特殊截面上的弯矩求特殊截面上的弯矩 为画出各段梁弯矩图，需求以下各横截面为画出各段梁弯矩图，需求以下各横截面为画出各段梁弯矩图，需求以下各横截面为画出各段梁弯矩图，需求以下各横截面上弯矩：上弯矩：上弯矩：上弯矩：33 (iii)(iii)作图作图作图作图 在在在在CACA段内段内段内段内再适当算出几个弯矩值，再适当算出几个弯矩值，再适当算出几个弯矩值，再适当算出几个弯矩值，标于坐标上，并与标于坐标上，并与标于坐标上，并与标于坐标上，并与MMC C,MMA A的坐标相连，画出抛物线；的坐标相连，画出抛物线；的坐标相连，画出抛物线；的坐标相连，画出抛物线；再以直线再以直线再以直线再以直线MMA A,MMD D左左左左和和和和MMD D右右右右，MMB B的坐标，可得全梁的的坐标，可得全梁的的坐标，可得全梁的的坐标，可得全梁的弯矩图图弯矩图图弯矩图图弯矩图图c c所示。由图可所示。由图可所示。由图可所示。由图可见，在见，在见，在见，在D D稍右处横截面上稍右处横截面上稍右处横截面上稍右处横截面上有绝对值最大的弯矩，其有绝对值最大的弯矩，其有绝对值最大的弯矩，其有绝对值最大的弯矩，其值为值为值为值为34熟悉梁横向截面上的内力计算熟悉梁横向截面上的内力计算,弯矩方程弯矩方程,弯矩图的求解。弯矩图的求解。要点提示要点提示35作作 业业72 第第18题题 (e)(h)画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图36回顾与比较内力内力应力应力FAyQMN37纯弯曲纯弯曲梁段梁段CD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力 纯弯曲纯弯曲梁段梁段AC和和BD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力 横力弯曲横力弯曲33-4 4 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力38纯弯曲时的变形特征：纯弯曲时的变形特征：实验现象实验现象:1、横线仍是直线，但发生相对转动，、横线仍是直线，但发生相对转动，仍与纵线正交；仍与纵线正交；2、纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，、纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，上侧缩短；上侧缩短；3、横截面的高度不变，宽度在上部略、横截面的高度不变，宽度在上部略为增大，下部为增大，下部 略为缩小。略为缩小。假设：假设：1 1、平面假设：、平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截面内横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线某一轴线偏偏转了一个角度。转了一个角度。2 2、互不挤压假设：、互不挤压假设：所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，相互之间所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，相互之间没有挤压。没有挤压。39推论：推论：1、纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形，而非剪切变形，梁横截面宽度的改变是纵向纤维的横向变形引起的；2、横截面上只有正应力，而无剪应力；凹侧纤维缩短，凸侧纤维伸长。因此凹侧受压缩，存在压缩应力；凸侧受拉伸，存在拉伸应力；3、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中性层与横截面的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。40梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律由平面假设可知，纯弯曲由平面假设可知，纯弯曲时梁横截面上只有正应力时梁横截面上只有正应力而无切应力。由于梁横截而无切应力。由于梁横截面保持平面，所以沿横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是横截面高度方向也是线性线性分布的分布的。以中性轴为界，以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的横截面上同一高度各点的正应力相等，正应力相等，距中性轴最距中性轴最远点有最大拉应力和最大远点有最大拉应力和最大压应力压应力，中性轴上各点正，中性轴上各点正应力为零。应力为零。41弯弯曲变形与应力的关系曲变形与应力的关系 纵向纤维的线应变纵向纤维的线应变：正应力正应力：根据轴向拉压时的根据轴向拉压时的虎克定律虎克定律有：有：应力与中性轴距离关系应力与中性轴距离关系42 横截面上距中性轴为横截面上距中性轴为y处，取微面积处，取微面积dA，其上作，其上作用的内力为用的内力为dA，对中性轴的力矩为，对中性轴的力矩为ydA，横截，横截面上所有内力矩的总和就是横截面上的弯矩面上所有内力矩的总和就是横截面上的弯矩M，即，即 积分积分 为横截面对为横截面对中性轴中性轴z的惯性矩，用的惯性矩，用Jz表示，单位为表示，单位为m4，是与截面尺寸和形状有关的一，是与截面尺寸和形状有关的一个几何个几何量量。应力计算应力计算 43梁纯弯曲时正应力计算公式梁纯弯曲时正应力计算公式 在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为点的正应力为 ：M Pa即：即：最大最大正应力为正应力为(MPa)：M M和和y y均以绝对值代入，至于均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。受压侧的为负。M-截面上的弯矩截面上的弯矩(N.mm)y-计算点到中性轴距离计算点到中性轴距离(mm)Jz-横截面对中性轴惯性矩横截面对中性轴惯性矩Wz-抗弯截面模量抗弯截面模量 抗弯截面模量抗弯截面模量44三、弯曲正应力公式的适用范围三、弯曲正应力公式的适用范围1 1、纯弯曲梁。一般梁由于剪力的存在，梁的横截、纯弯曲梁。一般梁由于剪力的存在，梁的横截面将发生翘曲，同时横向力将使梁的纵向纤维间产面将发生翘曲，同时横向力将使梁的纵向纤维间产生局部挤压应力。弹性力学精确分析表明，当跨度生局部挤压应力。弹性力学精确分析表明，当跨度 L L 与横截面高度与横截面高度 h h 之比之比 L/h L/h 5 5 （细长梁）时，（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。2 2、具有纵向对称面的各种截面形状的梁，但注意、具有纵向对称面的各种截面形状的梁，但注意中性轴不是中性轴不是横截面的对称轴时横截面的对称轴时，上下表面的抗弯截，上下表面的抗弯截面模量不同。面模量不同。3 3、弹性变形阶段、弹性变形阶段。45 常用截面的惯性矩和抗弯截面模量常用截面的惯性矩和抗弯截面模量1 矩形截面矩形截面惯性矩惯性矩抗弯截面模量抗弯截面模量46空心圆截面空心圆截面圆截面圆截面4733-5 5 梁弯曲的强度条件梁弯曲的强度条件强度条件强度条件：梁内危险截面上的最大弯曲正应力：梁内危险截面上的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲应力，即不超过材料的许用弯曲应力，即 M M危险截面处的弯矩（危险截面处的弯矩（N.mmN.mm）-单位统一单位统一WzWz危险截面的抗弯截面模量（危险截面的抗弯截面模量（mm mm）材料的许用应力材料的许用应力 (Mpa)(Mpa)31 设计截面设计截面2 强度校核强度校核3 计算许可载荷计算许可载荷48例例 容器四个耳座支架在四根各长容器四个耳座支架在四根各长2.4m2.4m的工字钢梁的的工字钢梁的中点上，工字钢再由四根混凝土柱支持。容器包括中点上，工字钢再由四根混凝土柱支持。容器包括物料重物料重110kN110kN，工字钢为，工字钢为1616号型钢，钢材弯曲许用号型钢，钢材弯曲许用应力应力=120MPa=120MPa，试校核工字钢的强度。，试校核工字钢的强度。49最大弯矩在梁的中间最大弯矩在梁的中间?-：由型钢表查得由型钢表查得16号工字钢的号工字钢的Wz=141cm3（附录（附录6）50分析分析（1 1）确定危险截面）确定危险截面（3 3）计算）计算（4 4）计算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重材料的许用应力材料的许用应力起重量起重量跨度跨度试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。（2 2）例题 2 51（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号（3 3）根据）根据计算计算 （1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：36c36c工字钢工字钢52课本例题课本例题3-83-1053例例 3：某梁由工字钢制成，材料为某梁由工字钢制成，材料为Q235A.F，=160MPa,P=20KN,q=10KN/m,M=40KN.m,确定工字钢的型号确定工字钢的型号RCRB1 画受力图542 求支座反力求支座反力P=20KN,q=10KN/m,M=40KN.m55在在AC段：段：(0 x1)3 列剪力和弯矩方程：分列剪力和弯矩方程：分AC和和CB段段P=20KN,q=10KN/m,M=40KN.m逆时针56在CB段：(1xb,所以所以Wz1Wz266塑性材料，许用拉压塑性材料，许用拉压应力相等，采用对中应力相等，采用对中性轴对称的截面：工性轴对称的截面：工字，矩形。字，矩形。脆性材料，许用压力脆性材料，许用压力大于许用拉力，使中大于许用拉力，使中性轴偏于受拉一侧：性轴偏于受拉一侧：T型型67采用等强度梁采用等强度梁 等截面梁在弯曲时各截面的弯矩是不相等的，如等截面梁在弯曲时各截面的弯矩是不相等的，如果以最大弯矩来确定截面尺寸，则除弯矩最大的截果以最大弯矩来确定截面尺寸，则除弯矩最大的截面外，其余截面的应力均低于弯矩最大的截面，这面外，其余截面的应力均低于弯矩最大的截面，这时材料就没有得到充分利用，为了减轻自重，并充时材料就没有得到充分利用，为了减轻自重，并充分发挥单位材料的抗弯能力，分发挥单位材料的抗弯能力，可使梁截面沿轴线变可使梁截面沿轴线变化，以达到各截面上的最大正应力都近似相等化，以达到各截面上的最大正应力都近似相等，这，这种梁称为种梁称为等强度梁等强度梁。但等强度梁形状复杂，不便于制造，所以工程但等强度梁形状复杂，不便于制造，所以工程实际中往往制成与等强度梁相近的实际中往往制成与等强度梁相近的变截面梁变截面梁。如一。如一些建筑中的外伸梁，做成了由固定端向外伸端截面些建筑中的外伸梁，做成了由固定端向外伸端截面逐渐减小的形状，较好地体现了等强度梁的概念。逐渐减小的形状，较好地体现了等强度梁的概念。而机械中的多数圆轴则制成了而机械中的多数圆轴则制成了变截面的阶梯轴变截面的阶梯轴。683、等强度梁、等强度梁 697033-7-7 梁的弯曲变形梁的弯曲变形-刚度刚度7-1吊重物时，梁弯曲变形吊重物时，梁弯曲变形71化工厂管道，化工厂管道，72 1 1 1 1、挠度、挠度、挠度、挠度（Deflection Deflection）横截面形心横截面形心横截面形心横截面形心 C C(即轴线上的点即轴线上的点即轴线上的点即轴线上的点)在垂直于在垂直于在垂直于在垂直于 x x 轴方向的线位移轴方向的线位移轴方向的线位移轴方向的线位移,称为该截面的挠度称为该截面的挠度称为该截面的挠度称为该截面的挠度.用用用用f f表示表示表示表示.二、基本概念二、基本概念二、基本概念二、基本概念f挠度挠度CCAB w x732 2 2 2、转角、转角、转角、转角 (slope)(slope)横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角称为该截面的转角称为该截面的转角称为该截面的转角.用用用用 表示表示表示表示转角转角 ACCwB xf挠度（挠度（743 3 3 3、挠曲线、挠曲线、挠曲线、挠曲线 (Deflection curve)(Deflection curve)梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线 .式中式中式中式中,x x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标,f f为该点的挠度为该点的挠度为该点的挠度为该点的挠度.挠曲线挠曲线挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程(Equation of deflection curve)(Equation of deflection curve)为为为为wAB x转角转角 f挠度（挠度（CC754 4 4 4、挠度与转角的关系、挠度与转角的关系、挠度与转角的关系、挠度与转角的关系（Relationship betweenRelationship between deflection deflection and slope)and slope)：wAB x转角转角 w挠度挠度CC挠曲线挠曲线在小变形在小变形(很小很小)的情况下的情况下,转角等于挠度曲线上与转角等于挠度曲线上与该截面对应点的切线斜率该截面对应点的切线斜率很小很小765 5 5 5、挠度和转角符号的规定、挠度和转角符号的规定、挠度和转角符号的规定、挠度和转角符号的规定（Sign convention for deflectionSign convention for deflection and slope)and slope)挠度挠度挠度挠度 向上为正向上为正向上为正向上为正,向下为负向下为负向下为负向下为负.转角转角转角转角 自自自自x x 转至切线方向转至切线方向转至切线方向转至切线方向,逆时针转为正逆时针转为正逆时针转为正逆时针转为正,顺时针转为负顺时针转为负顺时针转为负顺时针转为负.wAB x转角转角 f挠度挠度CC挠曲线挠曲线77挠曲线微分方程挠曲线微分方程挠曲线可用挠曲线可用y=f(x)表示，表示，挠曲线曲率：挠曲线曲率：数学定义曲率数学定义曲率综合两式：综合两式：曲率半径与M关系78用积分法求弯曲变形（挠曲线方程）用积分法求弯曲变形（挠曲线方程）1.1.微分方程的积分微分方程的积分C C1 1、C C2 2为积分常数，据边界条件确定为积分常数，据边界条件确定积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程：792.2.位移边界条件位移边界条件PABCPD支点位移条件：支点位移条件：连续光滑条件：连续光滑条件：PABC（集中力、集中力偶作用处，截面变化处）80解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分xyPLa二次积分四四)积分法求梁的变形积分法求梁的变形81应用位移边界条件求积分常数PLaxy82写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角PLaxyP51-例3-1283例例3 3 求梁的转角方程和挠度方程，梁的求梁的转角方程和挠度方程，梁的EJEJ已知，已知，l=a+b，ab。解解1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：2 2）弯矩方程）弯矩方程AC AC 段：段：CB CB 段：段：843 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分AC AC 段：段：CB CB 段：段：854 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件865 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程AC AC 段：段：CB CB 段：段：87 积分法求梁变形积分法求梁变形 适用于小变形、弹性材料、细长构件的平面弯曲适用于小变形、弹性材料、细长构件的平面弯曲 可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的变形可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的变形 积分常数由挠曲线变形的边界条件确定积分常数由挠曲线变形的边界条件确定 优点优点使用范围广，精确；使用范围广，精确；缺点缺点计算较繁计算较繁88 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为y y，则有：，则有：若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩为个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：所以，所以，7-4三三.用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形89故故由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此结论：结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。这就是计算弯曲变形的叠加原理。90叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形91例例 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q q、l、EJEJ均为已知。求均为已知。求C C 截面的截面的挠度挠度y yC C ；B B截面的转角截面的转角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解yC1yC22 2）查表得）查表得2 2种情形下种情形下 C C 截面截面的挠度和的挠度和 B B 截面的转角截面的转角。解解923 3）应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和作用时的结果求和 yC1yC2931.1.刚度条件刚度条件 建筑钢梁的许可挠度：建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可转角：机械传动轴的许可转角：精密机床的许可转角：精密机床的许可转角：四四.梁的刚度校核和提高梁弯曲刚度的措施梁的刚度校核和提高梁弯曲刚度的措施94 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关况有关况有关况有关,而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。要想提高弯曲刚度跨度有关。要想提高弯曲刚度跨度有关。要想提高弯曲刚度跨度有关。要想提高弯曲刚度就应从上述各种因素就应从上述各种因素就应从上述各种因素就应从上述各种因素入手。入手。入手。入手。一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EJ二、减小跨度或增加支承二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置三、改变加载方式和支座位置95(1)(1)增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EJEJ工程中常采用工字形，箱形截面工程中常采用工字形，箱形截面工程中常采用工字形，箱形截面工程中常采用工字形，箱形截面为了减小梁的位移为了减小梁的位移为了减小梁的位移为了减小梁的位移,可采取下列措施可采取下列措施可采取下列措施可采取下列措施(2)(2)调整跨长和改变结构调整跨长和改变结构调整跨长和改变结构调整跨长和改变结构设法缩短梁的跨长设法缩短梁的跨长设法缩短梁的跨长设法缩短梁的跨长,将能显著地减小其挠度和转角将能显著地减小其挠度和转角将能显著地减小其挠度和转角将能显著地减小其挠度和转角.这是提高梁的刚度的一个很有效的措施这是提高梁的刚度的一个很有效的措施这是提高梁的刚度的一个很有效的措施这是提高梁的刚度的一个很有效的措施.96桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值减小梁的最大挠度值减小梁的最大挠度值减小梁的最大挠度值.ABql l同时同时同时同时,由于梁的外伸部分的自重作由于梁的外伸部分的自重作由于梁的外伸部分的自重作由于梁的外伸部分的自重作用用用用,将使梁的将使梁的将使梁的将使梁的ABAB跨产生向上的挠跨产生向上的挠跨产生向上的挠跨产生向上的挠度度度度,从而使从而使从而使从而使ABAB跨向下的挠度能够跨向下的挠度能够跨向下的挠度能够跨向下的挠度能够被抵消一部分被抵消一部分被抵消一部分被抵消一部分,而有所减小而有所减小而有所减小而有所减小.qqABl l增加梁的支座也可以减小梁的挠度增加梁的支座也可以减小梁的挠度增加梁的支座也可以减小梁的挠度增加梁的支座也可以减小梁的挠度.97了解梁弯曲的变形性质。了解梁弯曲的变形性质。熟悉梁横向截面上的内力计算熟悉梁横向截面上的内力计算,弯矩方程弯矩方程,弯矩弯矩图的求解。图的求解。掌握弯曲正应力的计算，强度条件和变形计算。掌握弯曲正应力的计算，强度条件和变形计算。重点内容重点内容 梁的弯曲强度条件梁的弯曲强度条件:弯曲变形时的刚弯曲变形时的刚度条件度条件:重点内容重点内容 梁的弯曲强度条件梁的弯曲强度条件: