1、时,有一、一、无穷小性质无穷小性质定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小!例如，例如，机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小.定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求解解:利用定理 2 可知说明说明:y=
2、0 是的渐近线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有证证:因则有(其中为无穷小)于是由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理定理 3.若机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论:若且则利用保号性定理证明.说明说明:定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形.提示提示:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 4.若则有提示提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明.说明说明:定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形.推论推论 1.(C 为常数)推论推论 2.(n 为正整数)例例2.设 n 次多项
3、式试证证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小(详见详见P44)定理定理 5.若且 B0,则有证证:因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6.若则有提示提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理3,4,5 直接得出结论.机动 目录 上页 下页 返回 结束 x=3 时分子、分母都为 0!例例3.设有分式函数其中都是多项式,试证:证证:说明说明:若不能直接用商的运算法则.例例4.若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求解解:x=1 时分母=0,分子0,但因机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求解解:
4、时,分子分子分母同除以则分母“抓大头抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)(如如P58 例例7)(如例如例5)(如如 例例6)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 前面已经看到，对于有理函数或有理分式函数只要在点处有定义，那么时，的极限必定存在且等于在点 的函数值。我们不加证明的指出：一切基本初等函数在其定义域也有这样的性质。设基本初等函数，设其定义域为 则，有例如，三、三、复合函数的极限运算法复合函数的极限运算法则则定理定理7.设且 x 满足时,又则
5、有证证:当时,有当时,有对上述取则当时故因此式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7.设且 x 满足时,又则有 说明说明:若定理中若定理中则类似可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求求解解:令已知 原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求求解解:方法方法 1则令 原式方法方法 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为 0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解解:原式2.问机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.求解法解法 1 原式=解法解法 2 令则原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.试确定常数 a 使解解:令则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此
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