概率论11-2-3.pptx

11.1 1.1 随机试验随机试验(Random Trial)(Random Trial)1.2 1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件 (sample spacesample space、Random Events)Random Events)1.3 1.3 频率与概率频率与概率 (Frequency and Probability)(Frequency and Probability)1.4 1.4 古典概型古典概型(Classical Probability)(Classical Probability)1.5 1.5 条件概率条件概率(Conditional Probability)(Conditional Probability)1.6 1.6 事件的独立性事件的独立性 (Independence of Events)(Independence of Events)内内 容容1.1 随机试验随机试验(Random Trial)Chapter One3确定性现象确定性现象 在一定条件下必然发生的现象。在一定条件下必然发生的现象。不确定现象不确定现象 在一定条件下在一定条件下 不一定发生的现象。不一定发生的现象。4随机现象随机现象(Random phenomenon)：马路口碰到红绿灯马路口碰到红绿灯 麦穗上麦粒的颗数麦穗上麦粒的颗数 q 每次试验前不能预言出现什么结果q 每次试验后出现的结果不止一个q 在相同的条件下进行大量观察或试 验时，出现的结果有一定的规律性 称之为统计规律性统计规律性 5A.太阳从东方升起；太阳从东方升起；B.明天的最高温度；明天的最高温度；C.上抛物体一定下落；上抛物体一定下落；D.新生婴儿的体重新生婴儿的体重.我们的生活和随机现象我们的生活和随机现象 结下了不解之缘结下了不解之缘.下面的现象哪些是随机现象？下面的现象哪些是随机现象？6请回答请回答:2.随机现象是不是没有规律可言随机现象是不是没有规律可言?否！否！在一定条件下对随机现象进行大量观测在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性会发现某种规律性.7例如例如:一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮一门火炮在一定条件下进行射击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的差，但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等律等等.8 从观察试验开始从观察试验开始 研究随机现象，首先要对研究对研究随机现象，首先要对研究对象进行观察试验象进行观察试验.这里的试验，指的这里的试验，指的是随机试验是随机试验.9 试验如具有以下的特点：试验如具有以下的特点：可以在相同的条件下重复地进行；可以在相同的条件下重复地进行；每次试验的可能结果不止一个，并且能事每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；先明确试验的所有可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。出现。我们将具有上述三个特点的试验称为我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验随机试验(Random experiment)。,用E表示。1.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件（Sample Space、Random Events）Chapter One样本空间样本空间 随机试验E 所有可能的结果 样本空间的元素,即E 的直接结果,称为 随机事件随机事件 的子集,记为 A,B,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.组成的集合称为样本空间样本空间 记为（或S）样本点样本点(or基本事件基本事件)常记为、e ，=，S e;12其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度观察某地区每天的最高温度与最低温度观察总机每天9:0010:00接到的电话次数有限样本空间无限样本空间投一枚硬币3次，观察正面出现的次数例例1 1 给出一组随机试验及相应的样本空间给出一组随机试验及相应的样本空间13 随机事件常用大写字母随机事件常用大写字母A,B,C,表表示，它示，它是是样本空间样本空间S的子集合。的子集合。2、随机事件随机事件(Random event)在每次试验中，当且仅当子集在每次试验中，当且仅当子集A A中的一中的一个样本点出现时，称事件个样本点出现时，称事件A A发生。发生。随机事件随机事件 S 的子集的子集,记为记为 A,B,它是满足某些条件的样本点所组成的集合它是满足某些条件的样本点所组成的集合.基本事件基本事件 仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件.必然事件必然事件全体样本点组成的事件,记为,每次试验必定发生的事件.随机事件发生随机事件发生 组成随机事件的一个样本点发生不可能事件不可能事件不包含任何样本点的事件,记为,每次试验必定不发生的事件.15 样本空间样本空间S=1，2，3，4，5，6，随机事件随机事件A=1，2，3，B=4，5，6；随机事件随机事件C=1 是基本事件；是基本事件；若若1，2，3中任一点出现时中任一点出现时,事件事件A发生；发生；反之反之,若事件若事件A发生，发生，则则1，2，3中至少有一点中至少有一点出现出现。举例：举例：E4：抛一颗骰子，观察出现的点数；：抛一颗骰子，观察出现的点数；16 对于一个试验，在每次试验中必然发生对于一个试验，在每次试验中必然发生的事件，称为的事件，称为E的的必然事件必然事件(Certain event)；在每次试验中都不发生的事件，称为在每次试验中都不发生的事件，称为E的的不可不可能事件能事件(Impossible event)。例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于掷出点数小于7”是必然事件是必然事件;而而“掷出点数掷出点数8”则是不可能事件则是不可能事件.17 A 包含于B 事件 A 发生必导致事件 B 发生 A B 且1.事件的事件的包含包含2.事件的相等事件的相等二、二、事件间的关系与运算事件间的关系与运算 (Relation and operation of events)18 事件 A与事件B 至 少有一个发生发生的和事件 的和事件 A 与B 的和事件3.事件的并(和)19 或事件 A与事件B 同时 发生发生的积事件 的积事件 A 与B 的积事件 4.事件的交(积)20发生 事件 A 发生，但 事件 B 不发生 A 与B 的差事件5.事件的差21 A 与B 互斥A、B不可能同时发生AB两两互斥两两互斥6.事件的互斥(互不相容)22 A 与B 互相对立每次试验 A、B中有且只有一个发生A称B 为A的对立事件(or逆事件)，记为7.事件的对立符号集合含义事件含义全集样本空间,必然事件空集不可能事件集合的元素样本点 单点集基本事件A 一个集合一个事件A B A的元素在B中 A发生导致B发生A=B 集合A与B相等事件A与B相等AB A与B的所有元素 A与B至少有一个发生 AB A与B的共同元素 A与B同时发生 A的补集 A的对立事件 A-B 在A而不在B的元素A发生而B不发生 AB=A与B无公共元素 A与B互斥 24q 吸收律q 幂等律q 差化积q 重余律运算律运算律对应事件运算集合运算q 交换律q 结合律q 分配律q 反演律运算顺序：逆积和差，括号优先逆积和差，括号优先。26 例例 在图书馆中随意抽取一本书，表示数学书，表示中文书，表示平装书.抽取的是精装中文版数学书 精装书都是中文书 非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书则事件27事事件件在在一一次次试试验验中中是是否否发发生生具具有有随随机机性性，它它发发生生的的可可能能性性大大小小是是其其本本身身所所固固有有的的性性质质，概概率率是是度度量量某某事事件件发发生生可可能能性性大大小的一种数量指标小的一种数量指标.它介于它介于0与与1之间之间.在这一节中，我们简要介绍了在这一节中，我们简要介绍了随机试验随机试验样本空间样本空间随机事件及其概率随机事件及其概率给出了事件的集合表示给出了事件的集合表示28 那么要问那么要问:如何求得某事件的概率呢如何求得某事件的概率呢?下面就来回答这个问题下面就来回答这个问题.研究随机现象，不仅关心试验中会出研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是的可能性大小，也就是事率件概的 1.3 频率与概率(Frequency and Probability)Chapter One30 研究随机现象，不仅关心试验中会出研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率的可能性大小，也就是事件的概率.事件的概率事件的概率概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！31 了解事件发生的可能性即概率的了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？大小，对人们的生活有什么意义呢？我先给大家举几个例子，也希望你我先给大家举几个例子，也希望你们再补充几个例子们再补充几个例子.32 例如，了解发生意外人身事故的例如，了解发生意外人身事故的可能性大小可能性大小,确定保险金额确定保险金额.33 了解来商场购物的顾客人数的各种了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员可能性大小，合理配置服务人员.34 了解每年最大洪水超警戒线可能了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度性大小，合理确定堤坝高度.35一、一、频率频率(Frequency)频率稳定性频率稳定性设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，则称 为事件 A 发生的 频率频率 在充分多次试验中，事件的频率总在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，越多，一般来说一般来说摆动越小摆动越小.这个性质叫这个性质叫做频率的稳定性做频率的稳定性.36投一枚硬币观察正面向上的次数 n=4040,nH=2048,f n(H)=0.5069 n=12000,nH=6019,f n(H)=0.5016n=24000,nH=12012,f n(H)=0.5005频率稳定性的实例频率稳定性的实例 蒲丰蒲丰(Buffon)投币投币 皮尔森皮尔森(Pearson)投币投币37例例 Dewey G.统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率,发现各字母出现 的频率不同：A:0.0788 B:0.0156 C:0.0268 D:0.0389E:0.1268 F:0.0256 G:0.0187 H:0.0573I:00707 J:0.0010 K:0.0060 L:0.0394M:0.0244 N:0.0706 O:0.0776 P:0.0186Q:0.0009 R:0.0594 S:0.0634 T:0.0987U:0.0280 V:0.0102 W:0.0214 X:0.0016Y:0.0202 Z:0.0006福尔莫斯破密码福尔莫斯破密码 38(1)0 fn(A)1；(2)fn(S)1；fn()=0(3)可加性：若可加性：若AB ，则则 fn(A B)fn(A)fn(B).实践证明：当试验次数实践证明：当试验次数n增大时，增大时，fn(A)逐渐逐渐 趋向一个稳定值趋向一个稳定值。可将此稳定值记作可将此稳定值记作P(A)，作为事件作为事件A的概率。的概率。频率的性质频率的性质39 频 率 的 应 用第五章指出第五章指出:当试验次数较大时有当试验次数较大时有事件发生事件发生的的概概 率率事件发生事件发生的的频频 率率如：根据百年统计资料可得如：根据百年统计资料可得世界每年发生大地震的概率世界每年发生大地震的概率统统计计概概率率43 概率的概率的统计定义统计定义 概率的定义概率的定义在相同条件下重复进行的 n 次试验中,事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动,且随 n 越大摆动幅度越小,则称 p 为事件 A 的概率,记作 P(A).对本定义的评价对本定义的评价 优点：直观 易懂缺点：粗糙 模糊不便使用44 医医生生在在检检查查完完病病人人的的时时候候摇摇摇摇头头“你你的的病病很很重重，在在十十个个得得这这种种病病的的人人中中只只有有一一个个能能救救活活.”当当病病人人被被这这个个消消息息吓吓得得够够呛呛时时，医医生生继继续续说说“但但你你是是幸幸运运的的.因因为为你你找找到到了了我我，我我已已经经看看过过九九个个病病人人了，他们都死于此病了，他们都死于此病.”医生的说法对吗？医生的说法对吗？45历史上概率的三次定义历史上概率的三次定义 公理化定义 统计定义 古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出 即即通过规定概率应具备的通过规定概率应具备的基本性质来定义概率基本性质来定义概率.在此基础在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦上建立起了概率论的宏伟大厦.46二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义公理公理2 P(S)=1 (2)公理公理3 若事件若事件A1,A2,两两互不相容，则有两两互不相容，则有 (3)这里事件个数可以是有限或无限的这里事件个数可以是有限或无限的.设设E是随机试验，是随机试验，S是它的样本空间，对是它的样本空间，对于于S中的每一个事件中的每一个事件A，赋予一个实数，记为，赋予一个实数，记为P(A)，称为事件，称为事件A的概率，如果集合函数的概率，如果集合函数 P()满足下述三条公理满足下述三条公理:公理公理1 0 P(A)1 (1)47公理公理2 P(S)=1 (2)公理公理3 若事件若事件A1,A2,两两互不相容，则有两两互不相容，则有 (3)这里事件个数可以是有限或无限的这里事件个数可以是有限或无限的.公理公理1说明，任一事件的概率大于说明，任一事件的概率大于0；公理公理2说明，必然事件的概率为说明，必然事件的概率为1；公理公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和率正好等于它们各自概率之和.公理公理1 0 P(A)1 (1)48 三三 概率的性质概率的性质q q q 有限可加性:设 两两互斥q 若q 49例例 有有r 个人，设每个人的生日是个人，设每个人的生日是365天的任天的任何一天是等可能的，试求事件何一天是等可能的，试求事件“至少有两人至少有两人同生日同生日”的概率的概率.为求为求P(A),先求先求P()解：令解：令 A=至少有两人同生日至少有两人同生日 =r 个人的生日都不同个人的生日都不同则则50用上面的公式可以计算此事出现的概率为用上面的公式可以计算此事出现的概率为 =1-0.524=0.476 美美国国数数学学家家伯伯格格米米尼尼曾曾经经做做过过一一个个别别开开生生面面的的实实验验，在在一一个个盛盛况况空空前前、人人山山人人海海的的世世界界杯杯足足球球赛赛赛赛场场上上，他他随随机机地地在在某某号号看看台台上上召召唤唤了了22个个球球迷迷，请请他他们们分分别别写写下下自自己己的的生生日日，结结果果竟竟发发现现其其中中有有两两人人同同生生日日.即即22个球迷中至少有两人同生日的概率为个球迷中至少有两人同生日的概率为0.47651 这这个个概概率率不不算算小小，因因此此它它的的出出现现不不值值得得奇奇怪怪.计计算算后后发发现现，这这个个概概率率随随着着球球迷迷人人数数的的增增加加而而迅迅速速地地增增加加，如如下下页页表所示：表所示：52人数人数 至少有两人同至少有两人同 生日的概率生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 所有这些概率都是在假定所有这些概率都是在假定一个人的生日在一个人的生日在 365天的任天的任何一天是等可能的前提下计何一天是等可能的前提下计算出来的算出来的.实际上实际上,这个假定这个假定并不完全成立，有关的实际并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大概率比表中给出的还要大.当人数超过当人数超过23时，打赌说至时，打赌说至少有两人同生日是有利的少有两人同生日是有利的.53q 对任意两个事件对任意两个事件A,B,有有 BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+P(B AB)B-ABAB54q 加法公式：对任意两个事件加法公式：对任意两个事件A,B,有有 推广推广：55一般一般：右端共有 项.56例例 设A,B满足 P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何条件下，P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？57 A,B满足 P(A)=0.6,P(B)=0.7,求 P(AB)的最大(小)值？解解最小值在 时取得 最小值 最大值最大值在 时取得 例例2 258例例 设事件设事件A A,B B 的概率分别为的概率分别为 在下列三种情况下分别求在下列三种情况下分别求的值：的值：596061例例 小王参加小王参加“智力大冲浪智力大冲浪”游戏游戏,他能答他能答出甲乙二类问题的概率分别为出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和和0.2,两类问题都能答出的概率为两类问题都能答出的概率为0.1.求小王：求小王：(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2)至少有一类问题能答出的概率至少有一类问题能答出的概率 (3)两类问题都答不出的概率两类问题都答不出的概率62解解 事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)(2)(3)63课后同学问：课后同学问：例1 中小王他能答出第一类问题的概率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.为什么不是？若是的话,则应有而现在题中并未给出这一条件.在1.6中将告诉我们上述等式成立的条件是：事件 相互独立.64EX 2EX 2EX 3EX 3