河海大学工程力学平面弯曲.pptx

1 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第7 7章章平平 面面 弯弯 曲曲7.1梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩7.2剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力7.4梁的强度梁的强度7.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度2 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组纵纵向向对对称称面面：梁梁的的横横截截面面通通常常具具有有纵纵向向对对称称轴轴，所所有有纵纵向向对对称称轴轴组组成成的的平平面面，称称为为梁梁的的纵纵向向对对称称面面(symmetric plane)。主主轴轴平平面面：如如果果梁梁的的横横截截面面没没有有对对称称轴轴，但但是是都都有有通通过过横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面，第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力称称为为梁梁的的主主轴轴平平面面(plane including principal axes)。由由于于对对称称轴轴一一定定是是主主轴轴，所所以以对对称称面面也也一一定定是是主主轴轴平面平面。梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念3 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组平平面面弯弯曲曲：所所有有外外力力（包包括括外外力力偶偶）都都作作用用梁梁的的同同一一主主轴轴平平面面内内时时，梁梁的的轴轴线线将将弯弯曲曲成成平平面面曲曲线线，这这一一曲曲线线位位于于外外力作用平面内。这种弯曲称为力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲平面弯曲(plane bending)。一一般般情情形形下下，平平面面弯弯曲曲时时，梁梁的的横横截截面面上上一一般般将将有有两两个个内力分量，就是内力分量，就是剪力剪力和和弯矩弯矩。如如果果梁梁的的横横截截面面上上只只有有弯弯矩矩这这一一个个内内力力分分量量，这这种种平平面面弯弯曲曲称称为为纯纯弯弯曲曲(pure banding)。梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力4 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组平平面面弯弯曲曲：所所有有外外力力（包包括括外外力力偶偶）都都作作用用梁梁的的同同一一主主轴轴平平面面内内时时，梁梁的的轴轴线线将将弯弯曲曲成成平平面面曲曲线线，这这一一曲曲线线位位于于外外力作用平面内。这种弯曲称为力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲平面弯曲(plane bending)。一一般般情情形形下下，平平面面弯弯曲曲时时，梁梁的的横横截截面面上上一一般般将将有有两两个个内力分量，就是内力分量，就是剪力剪力和和弯矩弯矩。梁梁在在横横向向力力作作用用下下，其其横横截截面面上上一一般般将将同同时时产产生生剪剪力力和和弯弯矩矩，这这称称为为横横力力弯弯曲曲(transverse bending)。梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力5 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组试判断下列杆件中哪些是纯弯曲，哪些是横力弯曲？试判断下列杆件中哪些是纯弯曲，哪些是横力弯曲？是纯弯曲；是纯弯曲；是横力弯曲是横力弯曲梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力6 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 梁的中性层与横截面的中性轴梁的中性层与横截面的中性轴梁梁弯弯曲曲后后，一一些些层层发发生生伸伸长长变变形形，另另一一些些则则会会发发生生缩缩短短变变形形，在在伸伸长长层层与与缩缩短短层层的的交交界界处处那那一一层层，既既不不发发生生伸伸长长变变形形，也也不不发发生生缩缩短短变变形形，称称为为梁梁的的中中性性层层或或中中性性面面(neutral surface)。中中性性层层与与梁梁的的横横截截面面的的交交线线，称称为为截截面面的的中中性性轴轴(neutral axis)。梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力7 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组中中性性层层与与中中性性轴轴梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力8 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 分分析析梁梁横横截截面面上上的的正正应应力力，就就是是要要确确定定梁梁横横截截面面上上各各点点的的正正应应力力与与弯弯矩矩、横横截截面面的的形形状状和和尺尺寸寸之之间间的的关关系系。可可以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。应力分布应力分布应力公式应力公式变变 形形应变分布应变分布平面假定平面假定物性关系物性关系静力静力 方程方程确定横截面上正应力的确定横截面上正应力的方法与过程方法与过程纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力9 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力10 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组实验现象纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力11 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组1、变变形形前前互互相相平平行行的的纵纵向向直直线线、变变形形后后变变成成弧弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。2、变变形形前前垂垂直直于于纵纵向向线线的的横横向向线线,变变形形后后仍仍为为直直线线，且且仍仍与与弯弯曲曲了了的的纵纵向向线线正正交交，但但两两条条横横向向线线间相对转动了一个角度。间相对转动了一个角度。实验现象纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力12 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 用用相相邻邻的的两两个个横横截截面面从从梁梁上上截截取取长长度度为为dx的的微微段段，假假定定梁梁发发生生弯弯曲曲变变形形后后，微微段段的的两两个个横横截截面面仍仍然然保保持持平平面面，但但是是绕绕各各自自的的中中性性轴轴转转过过一一角角度度d。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力13 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组在在横横截截面面上上建建立立Oxy坐坐标标系系，其其中中z轴轴与与中中性性轴轴重重合合(位位置置未未定定)，y轴轴沿沿横截面高度方向并与加载方向重合。横截面高度方向并与加载方向重合。微微段段上上到到中中性性面面的的距距离离为为y处处长长度度的改变量为：的改变量为：式式中中的的负负号号表表示示y坐坐标标为为正正的的线线段段产产生生压缩变形，反之产生伸长变形。压缩变形，反之产生伸长变形。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力14 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组将将线线段段的的长长度度改改变变量量除除以以原原长长dx，即即为线段的正应变。于是得到为线段的正应变。于是得到这这就就是是正正应应变变沿沿横横截截面面高高度度方方向向分分布布的数学表达式。其中的数学表达式。其中 纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力15 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组其其中中 为为中中性性面面弯弯曲曲后后的的曲曲率率半半径径，也也就就是是梁梁的的轴轴线线弯弯曲曲后后的的曲曲率率半半径径。因因为为 与与y坐坐标标无无关关，所所以以在在上上述述二二式中，式中，为常数。为常数。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力16 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组应应用用弹弹性性范范围围内内的的应应力力应应变变关关系的虎克定律系的虎克定律:得得到到正正应应力力沿沿横横截截面面高高度度分分布布的的数数学学表达式表达式式式中中 为为待待定定的的比比例例常常数数，E为为材料的弹性模量材料的弹性模量。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力17 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组这这表表明明，横横截截面面上上的的弯弯曲曲正正应应力力，沿沿横横截截面面的的高高度度方方向向从从中中性性轴轴为为零开始呈线性分布。零开始呈线性分布。这这一一表表达达式式虽虽然然给给出出了了横横截截面面上上的的应应力力分分布布，但但仍仍然然不不能能用用于于计计算算横横截截面面上上各各点点的的正正应应力力。这这是是因因为为尚尚有有两两个个问问题题没没有有解解决决：一一是是中中性性轴轴的的位位置置没没有有确确定定，y坐坐标标无无法法计计算；二是中性面的曲率半径算；二是中性面的曲率半径 没有确定。没有确定。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力18 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组应用静力方程应用静力方程确定待定常数确定待定常数 xzyCdAyzdA于是，应用积分的方法，于是，应用积分的方法，负负号号表表示示坐坐标标y为为正正值值的的微微面面积积dA上上的的力力对对z轴轴之之矩矩为为负负值值；Mz为为作作用用在在加加载平面内的弯矩。载平面内的弯矩。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力19 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组应用静力方程应用静力方程确定待定常数确定待定常数 xzyCdAyzdA纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力20 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组应用静力方程应用静力方程确定待定常数确定待定常数 xzyCdAyzdA将正应力表达式代入静力方程将正应力表达式代入静力方程 Sz=0结论：结论：中性轴一定通过截面的形心。中性轴一定通过截面的形心。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力21 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 工工程程上上最最感感兴兴趣趣的的是是横横截截面面上上的的最最大大正正应应力力，也也就就是是横横截截面面上上到到中中性性轴轴最最远远处处点点上上的的正正应应力力。这这些些点点的的y坐坐标标值最大，即值最大，即y=ymax。将。将y=ymax代入正应力公式得到代入正应力公式得到 其中其中WZ称为弯曲截面系数，单位是称为弯曲截面系数，单位是mm3或或m3。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力22 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组yzbhzyd纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力23 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组zydD纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力24 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组这这是是梁梁弯弯曲曲时时的的另另一一个个重重要要公公式式梁梁的的轴轴线线弯弯曲曲后后曲曲率率的数学表达式。其中的数学表达式。其中EIz称为梁的称为梁的弯曲刚度弯曲刚度或或抗弯刚度抗弯刚度。这这一一结结果果表表明明，梁梁的的轴轴线线弯弯曲曲后后的的曲曲率率与与弯弯矩矩成成正正比比，与弯曲刚度成反比。与弯曲刚度成反比。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力25 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组理理论论与与实实验验结结果果都都表表明明，由由于于切切应应力力的的存存在在，梁梁的的横横截截面面在在受受力力之之后后不不再再保保持持平平面面，而而是是要要发发生生翘翘曲曲。对对于于细细长梁，这种翘曲对正应力影响很小，通常可忽略不计。长梁，这种翘曲对正应力影响很小，通常可忽略不计。以以上上有有关关纯纯弯弯曲曲的的正正应应力力的的公公式式，对对于于横横力力弯弯曲曲，也也就就是是横横截截面面上上除除了了弯弯矩矩之之外外、还还有有剪剪力力的的情情形形，如如果果是是细细长杆，也是近似适用的，即长杆，也是近似适用的，即横力弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力26 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 关于正应力的正负号关于正应力的正负号xyz+横力弯曲时梁横截面上的正应力 MyxyzMz+确确定定正正应应力力正正负负比比较较简简单单的的方方法法是是首首先先确确定定横横截截面面上上弯弯矩矩的的实实际际方方向向，确确定定中中性性轴轴的的位位置置；如如果果所所要要求求应应力的那一点在受拉区则产生拉应力，否则产生压应力。力的那一点在受拉区则产生拉应力，否则产生压应力。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力27 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 关于最大正应力关于最大正应力横力弯曲时梁横截面上的正应力弯弯矩矩最最大大的的横横截截面面上上的的最最大大正正应应力力不不一一定定就就是是梁梁内内的最大正应力。的最大正应力。应该首先根据弯矩值和截面的几何性质判断可能产生应该首先根据弯矩值和截面的几何性质判断可能产生最大正应力的那些截面，这些截面称为最大正应力的那些截面，这些截面称为危险截面危险截面；然后比；然后比较所有危险截面上的最大正应力，其中最大者才是梁内横较所有危险截面上的最大正应力，其中最大者才是梁内横截面上的截面上的最大正应力最大正应力。保证梁安全工作而不发生破坏，最。保证梁安全工作而不发生破坏，最重要的就是保证这种最大正应力不得超过允许的数值。重要的就是保证这种最大正应力不得超过允许的数值。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力28 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 关于最大拉应力和最大压应力关于最大拉应力和最大压应力平平面面弯弯曲曲时时，如如果果梁梁的的横横截截面面具具有有一一对对相相互互垂垂直直的的对对称称轴轴，则则中中性性轴轴与与一一对对称称轴轴一一致致，此此时时最最大大拉拉应应力力与与最最大大压应力绝对值相等压应力绝对值相等。横力弯曲时梁横截面上的正应力如如果果横横截截面面只只有有一一根根对对称称轴轴，且且加加载载方方向向与与对对称称轴轴一一致致，则则中中性性轴轴过过截截面面形形心心并并垂垂直直对对称称轴轴。这这时时，横横截截面面上上最大拉应力与最大压应力绝对值不相等，要分别计算最大拉应力与最大压应力绝对值不相等，要分别计算。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力29 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组试试计计算算图图示示简简支支木木梁梁横横放放与与竖竖放放时时的的最最大大正正应应力力，其中其中h=200mm，b=100mm。竖放横放【例例7-13】【解】200100200100第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力30 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组已已知知FP32kN，l=2m，横横截截面面形形心心坐坐标标yC=96.4mm，对对于于z轴轴的的惯惯性性矩矩Iz=1.02 108 mm4。求求：梁梁内最大正应力。内最大正应力。FRAFRB1确定弯矩最大截面以及最大弯矩值确定弯矩最大截面以及最大弯矩值FRAFRB16 kN【例例7-14】【解】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力31 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组FRAFRB2计算最大拉应力和最大压应力计算最大拉应力和最大压应力 中性轴中性轴【解】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力32 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力两个基本假设：1、横截面上的切应力方向与剪力平行；、横截面上的切应力方向与剪力平行；2、切应力沿截面宽度均匀分布。、切应力沿截面宽度均匀分布。zyFS矩形截面梁的切应力33 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组矩形截面梁的切应力FS图图M图图第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力34 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组矩形截面梁的切应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力35 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组矩形截面梁的切应力FS 横截面上的剪力；横截面上的剪力；IZ 截面对中性轴的惯性矩；截面对中性轴的惯性矩；b 截面的宽度。截面的宽度。SZ 宽度线一侧的面积宽度线一侧的面积A对对中性轴的静矩；中性轴的静矩；FS第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力36 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组矩形截面梁的切应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力37 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组工字形截面梁的切应力 由由于于工工字字形形、T型型、箱箱形形或或槽槽型型一一类类截截面面，都都可可以以看看作作是是有有几几个个矩矩形形截截面面组组成成的的，其其切切应应力力都都可可以以用用类类似似于于矩矩形形截截面面切切应应力力的的计计算算公公式式，只只不不过过其其截截面面宽宽度度应应取取为为腹腹板板的宽度。以工字形截面为例，有的宽度。以工字形截面为例，有hh0t式中式中Sz 为面积为面积A 为对中为对中性轴的静矩，其它符号的性轴的静矩，其它符号的含义与矩形截面相同。含义与矩形截面相同。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力38 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组工字形截面梁的切应力hh0t 横横截截面面上上的的切切应应力力95-97由由腹腹板板承承担担，而而翼翼缘缘仅仅承承担担了了3-5，且且翼翼缘缘上上的的切切应应力力情情况况又又比比较较复复杂杂。为为了了满满足足实实际际工工程程中中计计算算和和设设计计的的需需要要仅仅分分析析腹腹板板上上的的切切应力。应力。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力39 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组工字形截面梁的切应力hh0ty第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力40 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组工字形截面梁的切应力对对于于工工字字钢钢截截面面上上的的切切应应力力分分布如右图所示，其最大切应力为布如右图所示，其最大切应力为其中由型钢表查得。其中由型钢表查得。从从图图中中可可以以看看出出，在在腹腹板板上上切切应应力力几几乎乎就就是是均均匀匀分分布布的的，所所以以在在粗粗略略计计算算中中，也也可可以以用用剪剪力力与与腹腹板板面积的比值来估算最大切应力，即面积的比值来估算最大切应力，即第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力41 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组圆形和圆环形截面梁的最大切应力zydA为截面面积为截面面积Ddyz第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力42 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组已知图示矩形截面简支梁，求已知图示矩形截面简支梁，求 。【例例7-15】【解】若若 ，则，则，所以对于，所以对于细长等截面梁细长等截面梁()，一般可忽，一般可忽略切应力的影响。略切应力的影响。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力43 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第7 7章章平平 面面 弯弯 曲曲7.1梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩7.2剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力7.4梁的强度梁的强度7.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度44 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度 工工程程设设计计中中，为为了了保保证证梁梁具具有有足足够够的的安安全全裕裕度度，梁梁的的危危险险截截面面上上的的最最大大正正应应力力，必必须须小小于于容容许许应应力力，容容许许应应力力等于等于 s或或 b除以一个大于除以一个大于1的安全因数。于是，有的安全因数。于是，有 上上述述二二式式就就是是基基于于最最大大正正应应力力的的梁梁弯弯曲曲强强度度计计算算准准则则，又又称称为为弯弯曲曲强强度度条条件件，式式中中为为弯弯曲曲容容许许应应力力；ns和和nb分分别别为对应于屈服强度和强度极限的为对应于屈服强度和强度极限的安全因数安全因数。梁的正应力强度条件45 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 对于拉伸和压缩强度不相等的材料，强度条件为对于拉伸和压缩强度不相等的材料，强度条件为 拉伸容许应力拉伸容许应力 压缩容许应力压缩容许应力 根根据据上上述述强强度度条条件件，可可以以解解决决三三类类强强度度问问题题：强度校核、截面尺寸设计、确定容许载荷。梁的正应力强度条件第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度46 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组梁的正应力强度条件 根据梁约束性质，分析梁的受力，确定约束力；根据梁约束性质，分析梁的受力，确定约束力；画画出出梁梁的的弯弯矩矩图图，并并结结合合梁梁的的横横截截面面的的变变化化情情况况确定可能的危险截面；确定可能的危险截面；根根据据应应力力分分布布和和材材料料的的拉拉伸伸与与压压缩缩强强度度性性能能是是否否相等，确定可能的危险点：相等，确定可能的危险点：应用强度条件进行强度计算。应用强度条件进行强度计算。梁的正应力强度设计步骤：梁的正应力强度设计步骤：第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度47 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组梁的切应力强度条件梁的梁的切应力强度条件为切应力强度条件为铆接或焊接的组合截面梁，腹板厚度与高度比较小时；铆接或焊接的组合截面梁，腹板厚度与高度比较小时；梁的跨度较短，弯矩梁的跨度较短，弯矩M 较小，而剪力较小，而剪力FS较大时；较大时；各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差时各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差时。按按正正应应力力强强度度条条件件设设计计的的梁梁，切切应应力力强强度度大大多多可可以以满满足，但在以下几种情况时，要注意校核梁的切应力强度。足，但在以下几种情况时，要注意校核梁的切应力强度。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度48 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 钢钢制制圆圆轴轴BD是是空空心心部部分分，其其它它条条件件如如图图所所示示，=160MPa，试校核试校核圆轴的强度。圆轴的强度。FAFB【例例7-16】FA=5.86kN，FB=5.07kN1.确定约束力确定约束力【解】MC=1.17kN m,MB=0.9kN m 2.画弯矩图，判断危险截面画弯矩图，判断危险截面MCMB在在实实心心部部分分C截截面面处处弯弯矩矩最最大大，为为危危险险截截面面；在在空空心心部部分，轴承分，轴承B以右截面处弯矩最大，为危险截面。以右截面处弯矩最大，为危险截面。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度49 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组FAFB【解】MCMB3.计算最大正应力计算最大正应力 C截面：截面：B右截面：右截面：4.分析梁的强度是否安全分析梁的强度是否安全因此，圆轴是安全的。因此，圆轴是安全的。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度50 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组如如图图所所示示T型型铸铸铁铁梁梁，截截面面形形心心坐坐标标yC=96.4mm，对对z轴轴的的惯惯性性矩矩Iz=1.02 108 mm4，FP=20kN。已已知知材材料料拉拉伸伸容容许许应应力力和和压压缩缩容容许许应应力力分分别别为为 +=40MPa，=100MPa 。试校核试校核梁的强度。梁的强度。【例例7-17】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度51 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组FP=20kNMA=16 kNmMB=12 kNm1.画弯矩图，判断危险截面画弯矩图，判断危险截面从从弯弯矩矩图图可可以以看看出出，最最大大正正弯弯矩矩作作用用在在截截面面A上上，最最大大负负弯弯矩矩作作用用在在截截面面B上上。但但由由于于材材料料抗抗拉拉和和抗抗压压能能力力不不同同，所所以以截截面面A和和B都都可可能是危险截面。能是危险截面。【解】MAMB第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度52 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组根根据据危危险险截截面面上上弯弯矩矩的的实实际际方方向向，可可以以画画出出截截面面A、B上上的的正正应应力力分分布布图图。对对于于拉拉应应力力，只只要要校校核核b点点的的强强度度。对对于于压压应应力力，a点点和和d点点的的强强度度都都需要校核。需要校核。2.确定危险点确定危险点【解】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度53 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组【解】3.强度校核强度校核梁安全梁安全第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度54 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组试计算：试计算：1.FP加加在在什什么么位位置置才才能能保证两台吊车都不超载？保证两台吊车都不超载？2.辅辅助助梁梁应应该该选选择择多多大大型号的工字钢？型号的工字钢？为为起起吊吊一一大大型型设设备备，其其重重量量为为FP=300kN，采采用用一一台台150kN和和一一台台200kN的的吊吊车车，以以及及一一根根工工字字形形轧轧制制型型钢钢作作为为辅辅助助梁梁，组组成成临临时时的的附附加加悬悬挂挂系系统统。若若已已知知辅辅助助梁梁材材料料的的容容许许应应力力 =160MPa，梁梁的的长长度度l=4m。【例例7-18】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度55 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组【解】1.确定确定FP加在什么位置加在什么位置令令于是，得到于是，得到FP加在辅助梁上作用点的范围为加在辅助梁上作用点的范围为：第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度56 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组【解】2.确定最大弯矩数值确定最大弯矩数值当当x=2.667m时时，辅辅助助梁梁在在A点点受受力力为为200kN；当当x=2m时时，辅辅助助梁梁在在B点点受受力力为为150kN。这这两两种种情情形下，辅助梁都在形下，辅助梁都在FP作用作用点处弯矩最大，数值分别为：点处弯矩最大，数值分别为：由于，应以由于，应以Mmax(B)作为计算依据。作为计算依据。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度57 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组【解】3.确定辅助梁工字钢型钢号确定辅助梁工字钢型钢号由强度条件由强度条件 得得 由由工工字字钢钢型型钢钢表表中中查查得得50a和和50b工工字字钢钢的的Wz分分别别为为1.860103cm3和和1.940103 cm3。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度58 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组【解】3.确定辅助梁工字钢型钢号确定辅助梁工字钢型钢号如如果果选选择择50a工工字字钢钢，Wz=1.860103cm3，其其弯弯曲曲截面系数比所需要的大约小截面系数比所需要的大约小 工工程程设设计计中中对对于于型型钢钢最最大大正正应应力力一一般般允允许许超超过过容容许许应应力力5，所所以以选选择择No.50a工工字字钢钢是是允允许许的的。但但是是，对对于于安安全性要求很高的构件，就需要选择全性要求很高的构件，就需要选择No.50b工字钢。工字钢。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度59 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 验算图示广告牌立柱的强度。已知风载设验算图示广告牌立柱的强度。已知风载设计值为计值为0.5kN/m2，工字钢立柱的，工字钢立柱的160MPa。【例例7-19】【解】查表查表:强度满足要求强度满足要求第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度60 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组图图示示结结构构承承受受均均布布载载荷荷作作用用，AC为为10号号工工字字钢钢梁梁，B处处用用直直径径d=20mm的的钢钢杆杆BD悬悬吊吊，=160MPa，试试计计算算结结构构的的许可载荷许可载荷q。FAFB【例例7-20】【解】1.确定反力和最大弯矩值确定反力和最大弯矩值第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度61 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组FAFB【解】2.由梁的强度确定由梁的强度确定q3.由杆的强度确定由杆的强度确定q第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度62q=3.6kN/mBAL=3m 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 矩矩形形截截面面木木梁梁,b=0.12m,h=0.18m，=7MPa，=0.9MP，试试求求校校核核梁梁的的强强度度并并求求最最大大正正应力和最大切应力之比。应力和最大切应力之比。【例例7-21】【解】FAyFByM图图FS图图求求FSmax和和Mmax第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度63q=3.6kN/mBAL=3m 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组【解】FAyFByM图图FS图图 校核强度校核强度强度满足要求。强度满足要求。求最大应力之比求最大应力之比第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度64倒倒T型型外外伸伸梁梁由由两两个个矩矩形形截截面面厚厚板板条条沿沿ab线线(实实际际是是一一水水平平面面)胶胶合合而而成成，形形心心主主惯惯性性矩矩IZ=39800cm4，其其它它尺尺寸寸如如图图所所示示。若若q=3kN/m，F1=12kN，F2=18kN，许许用用拉拉应应力力为为 +=35MPa，许许用用压压应应力力为为 =60MPa，许许用用剪剪应应力力为为 =1.2MPa，胶胶合合剂剂许许用用剪剪应应力力为为 g=1MPa，试试校校核核该梁的强度。该梁的强度。水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组【例例7-22】ABCDF2F1q3m3m6m34kN14kN300200148.55080(mm)第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度65 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组ABCDF2F1q3m3m6m34kN14kN300200148.55080(mm)FS图图(kN)M图图(kNm)最大拉应力发生最大拉应力发生在在B截面上截面上 最大压应力发生最大压应力发生在在FS=0的截面上的截面上 ab线上最大切应线上最大切应力发生在力发生在BC段段【解】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度66 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组300200148.55080(mm)MB=36kNm【解】300200148.55080(mm)MG=32.68kNmB截面截面G截面截面1.校核正应力强度校核正应力强度第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度67 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组【解】2.校核中性轴处切应力强度校核中性轴处切应力强度FS=22kN300200148.55080(mm)3.校核胶合缝处切应力强度校核胶合缝处切应力强度综上所述，梁的强度满足要求。综上所述，梁的强度满足要求。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度68 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度69 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 悬悬臂臂梁梁由由三三块块木木板板粘粘接接而而成成，跨跨度度l=1m，胶胶合合面面许许可可切切应应力力为为 g=0.34MPa，木木材材的的=10 MPa，=1MPa，求许可载荷。，求许可载荷。1.求求FQmax和和Mmax2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷【例例7-23】【解】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度70 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组3.按剪应力强度条件计算许可载荷按剪应力强度条件计算许可载荷 4.按胶合面强度条件计算许可载荷按胶合面强度条件计算许可载荷 5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 【解】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度71 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组如如图图所所示示，一一简简支支梁梁受受四四个个集集中中力力作作用用，F1=120kN，F2=30kN，F3=40kN，F4=12kN。已已知知材材料料的的容容许许应应力力 =170MPa，容容许许切切应应力力 =100MPa，如如果果此此梁梁由两根槽钢组成，试选择槽钢型号。由两根槽钢组成，试选择槽钢型号。0.30.4 0.4单位:m2.4AB0.6F4F3F2F1FAFBzOy【解】1.求支座反力求支座反力FA=138kN，FB=64kN【例例7-24】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲 7.4 7.4 梁的强度梁的强度72 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组0.30.4