1、规定：规定：3.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面柱坐标系中的体积元素：柱坐标系中的体积元素：注注1 1：2.适用范围：适用范围：积分域积分域表面用柱面坐标表面用柱面坐标表示时表示时方程简单方程简单;或或被积函数被积函数用柱面用柱面坐标表示时坐标表示时变量互相分离变量互相分离.1.积分顺序：先对积分顺序：先对 ,再对再对 ，最后，最后对对其中为由例例7.计算三重积分计算三重积分所围所围及平面柱面柱面解解:在柱面坐标系下成半圆柱体成半圆柱体.解解知交线
2、为知交线为练习：练习：计算三重积分计算三重积分所围成所围成.与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面4.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分规定：规定：如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，球坐标系中的体积元素球坐标系中的体积元素:注注2:2:2.适用范围：适用范围：积分域积分域表面用球面坐标表面用球面坐标表示时表示时方程简单方程简单;或或被积函数被积函数用球面用球面坐标表示时坐标表示时变量互相分离变量互相分离.1.积分顺序：先对积分顺序：先对 ,再对再对 ，最后，最后对对例例9.计算三重积分计算三重积分所围立体所围立体.其中 与球面与球面解解:在球面坐标系下练习：练习：思考：思考：能否使用球坐标代换？能否使用球坐标代换？内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成;提示提示:思考与练习思考与练习1.将用三次积分表示,其中由所六个平面围成,2.设由锥面和球面所围成,计算提示提示:利用对称性利用对称性用球坐标用球坐标 3.计算其中解解:利用对称性
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