1、calculus9.1 微分方程的基本概念一、微分方程的定义凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程，称为偏微分方程定义定义1calculus二、微分方程的阶微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶三、微分方程的解如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微分方程的特解定义定义2定义定义3calculus9.2 一阶微分方程一、可分离变量的微分方程
2、calculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculus二、齐次微分方程齐次微分方程不是可分离变量的微分方程，但通过变量代换可将其化为可分离变量的微分方程，方法如下：calculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculus 一阶线性微分方程 （Linear differential equation of first order)一线性方程(Linear differential equa
3、tion)二伯努利方程(Bernoulli differential equation)三 小结 思考判断题calculus一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的.一一 线性方程线性方程(Linear differential equation)例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.calculus齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)calculus常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.作变换2.线性非齐次方程calculus积分得calculus一阶线性
4、非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为对应齐次方程通解对应齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解calculus解例1calculus例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQPQ之长数值上等于阴影部分的面积之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程calculus所求曲线为所求曲线为calculus解解方程改写为方程改写为不是一阶线性方程不是一阶线性方程把把看作看作的函数，于是变为的函数，于是变为calculuscalculuscalculuscalcul
5、uscalculuscalculuscalculus9.3 高阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程calculuscalculuscalculus 二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根calculus 有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为calculus有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为calculus有一对共轭复根有一对
6、共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为calculuscalculus解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1calculus解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2calculuscalculus二、二阶常系数非齐次线性微分方程calculus设设对对x求导求导为非齐次方程为非齐次方程calculus令令则有则有二阶导数二阶导数calculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculuscalculus9.4 差分方程的基本概念一、差分的概念定义定义calculus二阶差分二阶差分三阶差分三阶差分calculus反之反之calculus由定义容易证明，差分具有以下性质：calculuscalculuscalculus
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