经济管理数学积分学及其应用.pptx

第3章 积分学及其应用3.1 不定积分3.1.1 不定积分概念定义3.1 如f(x)和F(x)是定义在某区间上的两个函数，且F(x)=f(x)或d F(x)=f(x)dx，则称F(x)为f(x)的原函数.(1)不定积分定义3.2 函数 的所有原函数 ，叫做 的不定积分，记为 ，即其中，称为被积函数，“”称为积分符号，称为被积表达式，x 称为积分变量，C称为积分常量.(3.1)例 求下列函数的不定积分：解 所以 所以 所以(2)积分形式不变性 如果f(x)dx=F(x)，则等式f(u)du=F(u)+也成立，这个性质叫积分形式不变性.3.1.2 不定积分的性质与积分公式 (1)不定积分的性质 性质1 积分法与微分法互为逆运算1)或2)或(3.2)(3.3)性质2 被积函数常数因子可提到积分号外面，即 事实上，上式右边的导数 这恰好是左边的被积函数.从而知 是kf(x)的不定积分，即(3.4)性质3 两函数代数和的不定积分，等于每个函数不定积分的代数和，即 这是因为上式右边的导数 恰好是左边的被积函数.由不定积分定义，有 这一法则可以推广到任意有限个函数代数和的不定积分中去.以上性质都假设函数的不定积分存在.(3.5)(2)积分公式表例 求下列不定积分：解3.1.3 不定积分的计算(1)运用公式法 根据积分形式不变性，如f(x)dx=F(x)+则有 其中 为可导函数.例 求解 积分公式中有可得 于是令 1+3x=u，两边各自微分d(1+3x)=du，即 ，有类型1 若(x)=ax+b，则有例 求不定积分 .解类型2 若(x)=xn ，则例 求不定积分解类型3 若 则 或例 求不定积分 tanxdx.解 类似地，cotdx=lnsinx+C.类型4 若 则例 求不定积分解类型5 若 则例 求不定积分解类型6 若 则例 求不定积分解类型7 若 则例 求不定积分tanxdx.解类型8 若 则例 求不定积分解通过以上各类不定积分举例的求解看出，利用这种“凑微分法”求解不定积分，最关键的一步是把被积表达式“凑成”某个函数的微分形式，即将 f(x)dx凑成g(x)(x)dx或g(x)dx)=d(G(x)，其中G(x)=g(x)，然后再换元，求积分，它的解题程序是：例 求不定积分解例 求不定积分解(2)换元积分法定理3.1 设f(x)连续，单调可微，且f(t)(t)d 则有换元积分公式 其中，t=-1(x)是x=(t)的反函数.例 求下列不定积分：解 这是一组被积函数为线性式ax+b开n次方的无理函数(又称根式函数)的积分，即形如 的积分，积分的做法是做适当的变量代换，将无理函数的积分转化为有理函数的积分，然后将新积分变量还原为原积分变量即成.增加一些积分公式：(3)分部积分法设u=u(x)与v=v(x)有连续导数，则由函数乘积的微分公式移项得udv=d(uv)-vdu，两边积分有例 求解 设u=x，dv=cos xdx，则du=dx，v=sin x，由分部积分公式得(3.6)3.2 定 积 分3.2.1 定积分概念(1)积累求和问题1)求曲边梯形面积例如，求由连续曲线y=f(x)(设f(x)0)和直线x=a，x=b，y=0所围成的曲边梯形aABb的面积(如图3.4所示).图3.4分 将区间a，b任意划分为n个子区间，取分点坐标为a=x0 x1 x2 xi-1 x0 xn=b，第i个子区间 xi-1，xi(i=1，2，n)的长度xi=xi-xi-1，从而整个曲边梯形aABb被分成n个以这些子区间为底的小窄曲边梯形.粗 在第i个小窄曲边梯形中，取 xi-1，xi上任一点i，以f(i)代替该小窄曲边梯形的高，则可得该小窄曲边梯形面积Ai的近似值是f(i)xi，即 Aif(i)xi 合 整个曲边梯形面积精 根据极限概念，当最大子区间的长度=maxxi 趋于零时，(自然子区间个数n就该趋于无穷大)和式 的极限就是整个曲边梯形的面积，即2)求变速直线运动的路程设物体作变速直线运动，已知速度v=v(t)0是时间区间 T1，T2 上的连续函数，要计算物体在这段时间内所经过的路程.分 将区间 T1，T2 任意划分为n个子区间，取分点坐标为T1=t0 t1 t2 ti-1 ti tn=T2，第i个时间区间 ti-1，ti的长度ti=ti-ti-1(i=1，2，n).粗 在第i段路程中，取 ti-1，ti 上任一时刻i 的速度v(i)代替变化的速度v(t)，得该段路程Si 的近似值为v(i)ti，即Siv(i)ti.合 全部路程精 当最大的一个时间区间长度=maxti 趋近于零时，和式的极限就是全部路程，即(2)定积分的定义定义3.3 设有界函数f(x)定义在区间a，b上，用分点a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn=b将a，b分成n个子区间，各子区间 xi-1，xi 的长度为 xi=xi-xi-1(i=1，2，n).取子区间 xi-1，xi上任一点i，作和式 ni=1DD)f 如果不论对a，b如何分法，也不论 xi-1，xi上的一点i怎样选取，当最大子区间的长度=maxxi趋于零时，和式的极限存在，则称f(x)在a，b上可积，并称此极限值为f(x)在 a，b 上的定积分，记作 (即 根据定义3.3，上述两个实际问题可表为：曲边梯形面积：A=b 变速直线运动路程：s=b定理3.2 设f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上可积.定理3.3 设f(x)在 a，b 上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在 a，b 上可积.在定积分定义3.3中，假设ab，但如ab，规定(3.7)(3.8)(3)定积分的几何意义1)xa，b，若f(x)0，则baf(x)d 等于曲线y=f(x)在 a，b 上所围成曲边梯形的面积.2)x a，b，若f(x)0，则b 等于曲线y=f(x)在 a，b 上所围成曲边梯形面积的负值.3)xa，b，若f(x)有正、有负，则 等于曲线y=f(x)在 a，b 上所围成图形面积的代数和，上正下负.例 求1 之值.解 这个定积分表示图3.5所示直角三角形的面积 所以图3.53.2.2 定积分的基本性质性质1 被积函数的常数因子可提到积分号外，即性质2 函数代数和的定积分等于函数定积分的代数和，即性质3(定积分可加性)若ca，b，则性质4 若xa，b时，有f(x)0，则(3.9)(3.10)(3.11)性质5 若xa，b时，有f(x)g(x)，则推论 若ab，则性质6(估值定理)若M，m为f(x)在a，b上的最大值与最小值则性质7 (中值定理)f(x)在 a，b 上连续，则在 a，b 内至少存在一点，使得 如图3.6所示，通常称 为函数f(x)在 a，b 上的积分平均值.(3.12)(3.13)图3.63.2.3 定积分的计算(1)积分上限函数定理3.4(原函数存在定理)若f(x)在a，b上连续，则 对x的导数等于被积函数在上限的函数值，即(3.14)图3.7例 求下列函数的导数：解(2)牛顿-莱布尼兹公式定理3.5(微积分学基本定理)设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则有(3)基本积分法1)直接运用公式法例 直接运用牛-莱公式计算下列定积分：解2)换元积分法定理3.6 设函数f(x)在a，b上连续，若x=(t)满足：1()=a，()=b；2在区间，(或，)上单调且有连续导数.则有定积分换元公式：例 计算下列定积分：(3.16)解3)分部积分法设函数u(x)，v(x)在a，b上具有连续导数u(x)，v(x)，由不定积分的分部积分法与牛-莱公式，得 即 这就是定积分的分部积分法.例 计算定积分：(3.17)解例 求广义积分：解 是一无穷区间上的广义积分，先取上限为有限值b，作为正常积分处理，将此积分积出后必为上限b的函数，再让b+视其极限是否存在.于是 可得 所以 此时称广义积分 收敛.由定积分可加性，得 而 所以3.3 积分学的应用3.3.1 定积分在几何中的应用(1)平面图形的面积 在定积分的几何意义中已经指出，设f(x)在a，b上连续，则下面曲边梯形的面积(如图3.8和图3.9)S分别为：当f(x)0时，当f(x)0时，更一般的情况，设函数f1(x)、f2(x)在 a，b 上连续，且总有0 f1(x)f2(x)，则曲线y=f2(x)，y=f1(x)，与x=a，x=b所围图形的面积(图3.10)为图3.8图3.9 这个公式对于图3.11也成立，事实上，如在a，b上函数值有正、有负，可将x轴向下平移一段，使曲线全位于x轴上方.此时两个函数同时增加一个常数C，它们之差 不变，从而得证.把上述公式形象地写成：(3.18)图3.10图3.11提醒读者注意：这里必须保证在a，b上，上曲线y2=f上(x)的位置始终在下曲线y1=f下(x)的上方.否则，就要分区间进行.归纳由定积分计算平面图形面积的步骤如下：画出平面图形的草图，求出曲线交点；选择适当的积分变量，确定积分限；写出面积元素，进而计算定积分.(2)旋转体体积设一立体是由连续曲线y=f(x)与直线x=a，x=b(ab)及x轴所围成平面图形绕着x轴旋转一周所得到的旋转体(如图3.16)，下面来研究该旋转体的体积问题.该旋转体可视为区间a，b上各小区间对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而成的小旋转体之和.取x作为积分变量，积分区间为a，b，任取x，x+dx上一薄片旋转体，其体积近似等于以f(x)为底半径dx为高的小圆柱柱体体积.得体积元素：dV=底面积高=f 2(x)dx 故所求旋转体体积为：(3.19)图3.16图3.17例 求底半径为r，高为h的正圆锥体的体积.解 如图3.17所示，该正圆锥体可视为直线 与直线x=h以及x轴所围成的平面直角三角形绕x轴旋转一周而成.选x为积分变量，积分区间为0，h，体积元素为 于是所求旋转体体积为3.3.2 积分学在经济分析中的应用举例(1)已知边际量求总量例 某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本y的变化率(即边际成本)是日产量x的函数 ，已知固定成本为1 000元，求总 成本y与日产量x的关系.解 因为总成本是边际成本的一个原函数，所以 又已知固定成本为1 000元，即当x=0时，y=1 000，代入上式得 C=1 000 于是得y=1 000+7x+50KF(x(元)，所以，总成本y与日产量x的函数关系为：(2)利润、产量与开工时数的最佳值的确定例 某厂生产一种产品，年产量为x吨时，总费用的变化率(即边际费用)为f(x)=0.25x+8(单位：百元t)，这种产品每吨的销售价为3 000元，问一年生产多少产品工厂利润最大？并求出年利润的最大值.解 设产量为x吨时利润为L(x)，因总费用是边际费用的一个原函数，所以有总费用：而收入函数R(x)=30 x，因为利润函数L(x)=R(x)-C(x)，所以 令L(x)=22-0.25x=0，得x=88().此时 又 因此，年产量为88 t时工厂利润最大，且利润最大值为96 800元.(3)资本存量问题例 资本存量S=S(t)是时间t的函数，它的导数等于净投资I(t)，现知道净投资I(t)=3 (单位：10万元年)，求第一年年底到第四年年底的资本存量.解 因资本存量S是净投资的一个原函数，所以从t=1到t=4年的总存量为：所以，第一年年底到第四年年底的资本总存量为 1 400 000元.3.3.3 积分法用于求解常微分方程引例 一曲线上任一点的切线斜率为该点横坐标的(-2)倍，且过点P0(0，-1)，求此曲线方程.解 设所求曲线为y=f(x)，P(x，y)为该曲线上任一点.根据函数在点P(x，y)处导数的几何意义：是该函数对应的曲线在该点P(x，y)切线的斜率，依题意有 两边积分 得 y=-x2+C (2)通解 又由曲线过点P0(0，-1)，即(1)一阶微分方程(3)初始条件 代入式(2)，-1=-02+C，所以C=-1 故 y=-x2-1 (4)特解 因而所求曲线方程为y=-x2-1.例 求解下列微分方程：解 所谓微分方程是指含有未知函数的导数或微分的方程，求解微分方程是指如何通过积分方法求出微分方程中未知函数y=f(x)的解法过程.所求出的这个函数y=f(x)叫微分方程的解.两边积分 两边取自然对数 这种解叫通解(其中C为任意常数，且一阶微分方程通解中必含一个任意常数).2)将(xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0变形 两边积分