1、自由落体运动设描述质点运动位置的函数为计算在时刻 的瞬时速度.则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为物体沿直线运动的瞬时速度物体沿直线运动的瞬时速度自由落体运动例：求自由落体运动:2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题定义定义说明说明表示在点的某个右右
2、邻域内 单侧导数单侧导数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作(左)(左左)定义定义2.设函数有定义,存在,即显然显然:函数在一点可导函数在一点可导其左右导数都保存并相等其左右导数都保存并相等.例例 证明函数在 x=0 不可导.证证在 x=0 不可导.所以所以导函数导函数记作:若在区间若在区间(a,b)内每一点内每一点x处函数处函数f(x)都可导，则都可导，则 称称f(x)在在(a,b)内可导内可导.这时每一个这时每一个 都对应一个导都对应一个导 数值数值 ，这样便定义出一个新的函数，这样便定义出一个新的函数 ，它被称，它被称 为为f(x)的导函数的导函数.例例1 求函数(C 为常数
3、)的导数.解解 简单地说，常函数的导函数为零简单地说，常函数的导函数为零.在一个区间内导数恒为在一个区间内导数恒为0的函数是一个常数函数的函数是一个常数函数.例例 2解解求函数f(x)=sinx的导数.即即 例例4 设m为一自然数，则证证说明：说明：对一般幂函数(为常数)（以后将证明）例如，例如，例例 5 求 的导数.解解 例例 6 求 的导数.解解函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系设在点 处可导,即也就是说，我们令那么，那么，时时两边乘上 ，得00即即说明说明f(x)在点在点 连续连续.注意注意:函数在点 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.又
4、例如又例如在x=0点是连续的，但它在该点是不可导的.在图形中曲线 在原点o具 有垂直于x轴的切线x=0.Oyx 函数在某点连续是函数在该点可导函数在某点连续是函数在该点可导 的必要条件，但不是充分条件的必要条件，但不是充分条件.再举一个例：再举一个例：在前一个例子中，曲线在在前一个例子中，曲线在(0,0)处是一个尖角处是一个尖角.两侧的两侧的 割线有不同的极限位置，即有左、右切线，故在该点没割线有不同的极限位置，即有左、右切线，故在该点没 有切线有切线.在后一个例子中，曲线在在后一个例子中，曲线在(0,0)点的切线垂直于点的切线垂直于 x 轴轴,因而其与因而其与x轴夹角的正切为轴夹角的正切为
5、导致导数的不存在，导致导数的不存在.由于 ，故它显然在x=0点是连续的.但该函数 在x=0点是不可导的.极限不存在极限不存在.因为内容小结内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;思考与练习思考与练习1.函数 在某点 处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系?？与导函数2.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解解:由题设由夹逼准则故在可导,且5.设,问 a 取何值时,在都存在,并求出解解:故时此时在都存在,显然该函数在 x=0 连续.2、微商的四则运算、微商的四则运算定理定理1.的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且此法则可推广到任意有限项的情形.证证:设,则故结论成立.例如,(2)证证:设则有故结论成立.推论推论:(C为常数)推论推论:(3)证证:设则有故结论成立.(C为常数)例例 7例例 8例例 9
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