1、1一、对数留数一、对数留数1.定义定义具有下列形式的积分具有下列形式的积分:说明说明:1)对数留数即函数对数留数即函数f(z)的对数的导数的对数的导数2)函数函数 f(z)的零点和奇点都可能是的零点和奇点都可能是的奇点的奇点.22.引理引理6.4证明证明3453.定理定理6.9则有则有注意注意:m阶零点或极点算作阶零点或极点算作m个零点或极点个零点或极点.6证明证明由第五章习题由第五章习题(二二)14可知可知,由引理由引理6.4可知可知,7故由留数定理及引理故由留数定理及引理6.4得得,8例例1 计算积分计算积分解解故故9二、辐角原理二、辐角原理.1.对数留数的几何意义对数留数的几何意义101
2、12辐角原理辐角原理注注12例例2试验证辐角原理试验证辐角原理.解解则则13注注14例例315故故而而证明证明16所以所以另一方面又有另一方面又有故故从而从而17三、儒歇三、儒歇(Rouche)定理定理1定理定理6.10证明证明18于是由辐角原理于是由辐角原理而而由条件由条件(2),19即即故故20如如证明证明一般情况下有一般情况下有21例例4符合条件符合条件证明证明22例例5证明证明 令23例例6 证明代数学基本定理证明代数学基本定理:证明证明2425例例7 试确定方程试确定方程解解2627下面给出下面给出单叶解析变换单叶解析变换的一个重要性质的一个重要性质2定理定理6.11证明证明由零点孤立性由零点孤立性,28但这些零点无一为重点但这些零点无一为重点,29作业作业P273习题(一)11,12,13,14,P276习题(二)13 30本节结束本节结束 谢谢谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics
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