积分方法.pptx

3.3 积分方法 3.3.1 换元法 3.3.2 分部积分法3.3.1 换元积分法 一、案例 二、概念和公式的引出 一、案例一、案例 石油消耗量石油消耗量 近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.071970年初，消耗量大约为161亿桶设R(t)表示从1970年起第t年的石油消耗率，已知试用此式计算从1970年到1990年间石油消耗的总量（亿桶）解 设T(t)表示从1970年（t=0)起到第t年石油消耗的总量.T(t)就是石油消耗率R(t)，即T(t)=R(t)，于是由变化率求总改变量，得在基本积分公式中，只有积分公式如果将的积分凑成d0.07t，则有这时，用公式，得,积分变为 令(桶)0.07t=ut:020u:01.4 二、概念和公式的引出二、概念和公式的引出对上式积分结果求导，有 不定积分的换元法不定积分的换元法 设 可导，则 成立。换元法求不定积分的一般步骤如下：利用换元法时，要把被积表达式分解出，并凑成微分，因此这种方法也称为凑微分法 定积分的换元法定积分的换元法 设函数 f(x)在区间 a,b上连续，若 (1)函数 在区间上单调且有连续导数；(2)当t在区间 上变化时，对应的函数 则有定积分的换元公式 在区间 a,b上变化，且，注意：在应用定积分的换元法时，积分上下限要进行相应地变换t=0时，v=0.3m/s求质子的运动速度 三、三、进一步的练习进一步的练习(单位：ms2)如果 加速度为 解 由加速度和速度的关系，有 练习1 质子的速度一电场中质子运动的凑微分令u=1+2t，得当t=0，即u=1时，v=0.3代入上式得C=-9.7再将u=1+2t，代入上式，得练习2 太阳能能量解某一太阳能的能量f 相对于太阳能接触的表面面积x的变化率为，如果x=0时f=0，求出f 的函数表达式 凑微分令u=0.01x+1，得当x=0，即u=1时，f=0代入上式得C=-1，所以凑微分法运用熟练以后，可省略换元步骤，直接写出结果 注：案例3 商品销售量某种商品一年中的销售速度为解 由变化率求总改变量知商品在前3个月的销售总量P为(t的单位：月；）求此商品前3个月的销售总量 练习4 电路中的电量解 由电流与电量的关系设导线在时刻t(单位：s)的电流为求在时间间隔1,4 s内流过导线横截面的电量Q(t)(单位：A)得在1,4秒内流过导线横截面的电量Q为 3.3.2 分部积分法 一、案例 二、概念和公式的引出一、案例 新井的石油产量工程师们预计一个新开发的天然气新井在开采后的第t年的产量为：106 m3，试估计该新井前4年的总产量 解在 时间段内，天然气的产量（产量微元）为该新井前4年的总产量为 对数函数指数函数 二、概念和公式的引出二、概念和公式的引出不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法 定积分的分部积分法定积分的分部积分法 练习1 案例的计算 三、三、进一步的练习进一步的练习解 u v 分部积分法分部积分法(m3)在应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键选取u和v一般要考虑下面两点：(1)v要容易求得；(2)比 容易积出 注：一般地，如果被积函数是幂函数与正（余）弦函数或指数函数的乘积，可以用分部积分法，选幂函数为u被积函数是幂函数与对数函数（或反三角函数）的乘积，选对数函数（或反三角函数）为u.练习2 电能 在电力需求的电涌时期，消耗电能的速度r可以近似地表示为（t 单位：h）求在前两个小时内消耗的总电能E.解 由变化率求总改变量知 练习3 石油总产量 经济学家研究一口新井的原油生产速度R(t)解 设开始3年内生产的石油总量为W，由变化率求总(t的单位：年)为 求开始3年内生产的石油总量 改变量得