春季数阵图.pptx

春季第春季第2讲讲简单的数阵图简单的数阵图在神奇的数学王国中，有一类非常有在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。着浓厚的兴趣。那么，到底什么是数阵呢？我们先观那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：察下面两个图：左上图中有左上图中有3个大圆，每个圆周上都个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于上的四个数字之和都等于13。右上图。右上图就更有意思了，就更有意思了，19九个数字被排成九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于上的三个数字之和都等于15，不信你，不信你就算算。就算算。上面两个图就是数阵图。准确地说，上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。的例子开始。例例1把把15这五个数分别填在左下图这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于列三数之和都等于9。同学们可能会觉得这道题太容易了，同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。阵问题。分析与解：中间方格中的数很特殊，横行分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做们把它叫做“重叠数重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于都等于9，所以，所以(1+2+3+4+5)+重叠数重叠数=9+9，重叠数重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好填了。重叠数求出来了，其余各数就好填了。练习练习1把把15这五个数填入下页左这五个数填入下页左上图中的上图中的里里(已填入已填入5)，使两条直线，使两条直线上的三个数之和相等。上的三个数之和相等。分析与解：与例分析与解：与例1不同之处是已知不同之处是已知“重叠数重叠数”为为5，而不知道两条直线上，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个必须先求出这个“和和”。根据例。根据例1的的分析知，两条直线上的三个数相加，分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于数之和都等于(1+2+3+4+5)+52=10。因此，两条直线上另两个数因此，两条直线上另两个数(非非“重叠重叠数数”)的和等于的和等于10-5=5。在剩下的四。在剩下的四个数个数1，2，3，4中，只有中，只有1+4=2+3=5。故有右上图的填法。故有右上图的填法。练习练习2（2）将将17这七个自然数填这七个自然数填入左下图的七个入左下图的七个内，使得每条边上内，使得每条边上的三个数之和都等于的三个数之和都等于10。分析与解与例分析与解：与例1类似，知道每条边上的类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有三数之和，但不知道重叠数。因为有3条条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到得到(1+2+7)+重叠数重叠数2=103。由此得出重叠数为由此得出重叠数为103-(1+2+7)2=1。剩下的六个数中，两两之和等于剩下的六个数中，两两之和等于9的有的有2，7；3，6；4，5。可得右上图的填法。可得右上图的填法。例例3把把15这五个数填入右图中的这五个数填入右图中的里，使每条直线上的三个数之和相等。里，使每条直线上的三个数之和相等。分析与解：例分析与解：例1是知道每条直线上的三数是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例这两样什么都不知道。但由例1、例、例2的分的分析知道，析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数重叠数=每条直线上三每条直线上三数之和数之和2，所以，每条直线上三数之和等于所以，每条直线上三数之和等于(15+重叠数重叠数)2。因为每条直线上的三数之和是整数，所以因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是重叠数只可能是1，3或或5。若若“重叠数重叠数”=1，则两条直线上三数，则两条直线上三数之和为之和为(15+1)2=8。填法见左下图；填法见左下图；若若“重叠数重叠数”=3，则两条直线上三数之，则两条直线上三数之和为和为(15+3)2=9。填法见下中图；填法见下中图；若若“重叠数重叠数”=5，则两条直线上三，则两条直线上三数之和为数之和为(15+5)2=10。填法见右下图。填法见右下图。由以上几例看出，求出重叠数是解决由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。为了进一步学会掌数阵问题的关键。为了进一步学会掌握这种解题方法，我们再看两例。握这种解题方法，我们再看两例。如果把例如果把例4中中“每条边上的三个数之每条边上的三个数之和都等于和都等于10”改为改为“每条边上的三个每条边上的三个数之和都相等数之和都相等”，其他不变，那么仿，其他不变，那么仿照例照例3，重叠数可能等于几？怎样填，重叠数可能等于几？怎样填？例例5将将1020填入左下图的填入左下图的内，其内，其中中15已填好，使得每条边上的三个数已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。字之和都相等。解：与例解：与例2类似，中间类似，中间内的内的15是重叠是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于的三个数字之和等于(10+11+20)+1545=45。剩下的十个数中，两两之和等于剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的有的有10，20；11，19；12，1813，17；14，16。于是得。于是得到右上图的填法。到右上图的填法。例例15都具有中心数是重叠数，并且都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质，这样每边的数字之和都相等的性质，这样的数阵图称为辐射型。例的数阵图称为辐射型。例4的图中有的图中有三条边，每边有三个数，称为辐射型三条边，每边有三个数，称为辐射型33图；例图；例5有五条边每边有三个数，有五条边每边有三个数，称为辐射型称为辐射型53图。图。一般地，有一般地，有m条边，每边有条边，每边有n个个数的形如下图的图形称为辐射型数的形如下图的图形称为辐射型mn图。图。辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是次数是“直线条数直线条数”-1，即，即m-1。对。对于辐射型数阵图，有于辐射型数阵图，有已知各数之和已知各数之和+重叠数重叠数重叠次数重叠次数=直线上各数之和直线上各数之和直线条数。直线条数。由此得到：由此得到：(1)若已知每条直线上各数之和，则重若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于叠数等于(直线上各数之和直线上各数之和直线条数直线条数-已知已知各数之和各数之和)重叠次数。重叠次数。如例如例1、例、例4。(2)若已知重叠数，则直线上各数之和若已知重叠数，则直线上各数之和等于等于(已知各数之和已知各数之和+重叠数重叠数重叠次重叠次数数)直线条数。如例直线条数。如例2、例、例5。(3)若重叠数与每条直线上的各数之和若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例分析讨论，如例3。1.将将17这七个数分别填入左下图这七个数分别填入左下图中的中的里，使每条直线上的三个数里，使每条直线上的三个数之和都等于之和都等于12。如果每条直线上的三个数之和如果每条直线上的三个数之和等于等于10，那么又该如何填？，那么又该如何填？2.将19这九个数分别填入右上图中的里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。如果中心数是5，那么又该如何填？3.将19这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法)