最大值、最小值问题北师大版选修.pptx

课程目标设置主题探究导学1.1.在区间在区间a,ba,b上函数上函数y=f(x)y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在想一想，在a,ba,b上一定存在最值和极值吗？上一定存在最值和极值吗？提示：提示：一定有最值，但不一定有极值一定有最值，但不一定有极值.如果函数如果函数f(x)f(x)在在a,ba,b上是单调的，此时上是单调的，此时f(x)f(x)在在a,ba,b上无极值；如果上无极值；如果f(x)f(x)在在a,ba,b上不是单调函数，则上不是单调函数，则f(x)f(x)在在a,ba,b上有极值上有极值.2.2.极值和最值的区别与联系？极值和最值的区别与联系？提示：提示：(1)(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值区间上所有函数值中的最小值.(2)(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大值可以有多个，但最大(小小)值至多只能有一个；极值只能在区值至多只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值必定是极值.3.3.求函数求函数y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b内最值的步骤内最值的步骤.提示：提示：典型例题精析知能巩固提高一、选择题（每题一、选择题（每题5 5分，共分，共1515分）分）1.1.下列命题中，真命题是下列命题中，真命题是()()(A)(A)函数的最大值一定不是函数的极大值函数的最大值一定不是函数的极大值(B)(B)函数的极大值可以小于该函数的极小值函数的极大值可以小于该函数的极小值(C)(C)函数在某一区间上的极小值就是函数的最小值函数在某一区间上的极小值就是函数的最小值(D)(D)函数在开区间内不存在最大值和最小值函数在开区间内不存在最大值和最小值【解析解析】选选B.B.极值是函数的局部性质，极大值可以小于该函数极值是函数的局部性质，极大值可以小于该函数的极小值的极小值.2.2.函数函数f(x)=x+2cosxf(x)=x+2cosx在在0 0，上的最大值为上的最大值为()()(A)(B)2(A)(B)2(C)+(D)+1(C)+(D)+1【解析解析】选选C.f(x)=1-2sinxC.f(x)=1-2sinx，令，令fx)=0f(x)=0得得x=,x=,当当xx0,)0,)时，时，f(x)f(x)0,0,当当x(,x(,时，时，f(x)f(x)0,0,f(x)f(x)maxmax=f()=+.=f()=+.3.3.设设f(x)=axf(x)=ax3 3-6ax-6ax2 2+b+b在区间在区间-1-1，2 2上的最大值为上的最大值为3 3，最小值，最小值为为-29-29，且，且a a0 0，则（，则（）(A)a=2,b=29 (B)a=2,b=3(A)a=2,b=29 (B)a=2,b=3(C)a=3,b=2 (D)a=-2,b=-3(C)a=3,b=2 (D)a=-2,b=-3【解析解析】选选B.f(x)=3axB.f(x)=3ax2 2-12ax=3ax(x-4),-12ax=3ax(x-4),令令f(x)=0f(x)=0，得，得x=0 x=0或或x=4(x=4(舍去舍去).).又又f(-1)=-7a+b,f(0)=b,f(2)=-16a+b,f(-1)=-7a+b,f(0)=b,f(2)=-16a+b,aa0 0，最大值为最大值为b b，最小值为，最小值为-16a+b.-16a+b.二、填空题（每题二、填空题（每题5 5分，共分，共1010分）分）4.4.函数函数f(x)=2xf(x)=2x3 3-3x-3x2 2-12x+5-12x+5在在0 0，3 3上的最大值、最小值分上的最大值、最小值分别为别为_._.【解析解析】f(x)=6xf(x)=6x2 2-6x-12=6(x-2)(x+1).-6x-12=6(x-2)(x+1).又又xx0,30,3，由，由f(x)=0f(x)=0得得x=2,x=2,f(2)=-15,f(0)=5,f(3)=-4,f(2)=-15,f(0)=5,f(3)=-4,f(x)f(x)maxmax=f(0)=5,=f(0)=5,f(x)f(x)minmin=f(2)=-15.=f(2)=-15.答案：答案：5,-155,-155.5.用边长为用边长为48 cm48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，焊的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，焊接成铁盒，使所做的铁盒容积最大，在四角截去的正方形的边接成铁盒，使所做的铁盒容积最大，在四角截去的正方形的边长为长为_._.【解析解析】设小正方形边长为设小正方形边长为x cmx cm，铁盒体积为，铁盒体积为y cmy cm3 3，y=(48-2x)y=(48-2x)2 2x=4xx=4x3 3-192x-192x2 2+2 304x+2 304xy=12xy=12x2 2-384x+2 304=12(x-8)(x-24).-384x+2 304=12(x-8)(x-24).48-2x48-2x0 0，0 0 x x24,24,当当x(0,8)x(0,8)时，时，y y是增加的，是增加的，x(8,24)x(8,24)时时,y,y是减少的是减少的,x=8x=8时，时，y ymaxmax=8 192.=8 192.答案：答案：8 cm8 cm三、解答题（三、解答题（6 6题题1212分，分，7 7题题1313分，共分，共2525分）分）6.6.求下列函数的最值：求下列函数的最值：(1)f(1)f（x x）=3x-x=3x-x3 3(-x3);(-x3);(2)f(x)=sin2x-x(-x ).(2)f(x)=sin2x-x(-x ).【解析解析】(1)f(x)=3-3x(1)f(x)3-3x2 2=3(1-x)(1+x).=3(1-x)(1+x).令令f(x)=0f(x)=0，得，得x=1x=1或或x=-1,x=-1,且且f(1)=2,f(-1)=-2.f(1)=2,f(-1)=-2.又又f(x)f(x)在区间端点的函数值为在区间端点的函数值为f(-)=0,f(3)=-18,f(-)=0,f(3)=-18,所以所以f(x)f(x)maxmax=2,f(x)=2,f(x)minmin=-18.=-18.（2 2）f(x)=2cos2x-1.f(x)=2cos2x-1.令令f(x)=0f(x)=0，得，得cos2x=cos2x=，又，又xx-，所以，所以2x2x-,-,，所以，所以2x=2x=，所以，所以x=.x=.且且f()=-f()=-,f(-)=-+.,f(-)=-+.又又f(x)f(x)在区间端点的取值为在区间端点的取值为f()=-,f(-)=,f()=-,f(-)=,所以所以f(x)f(x)maxmax=,f(x)=,f(x)minmin=-.=-.7.7.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为已知当速度为20 km/h20 km/h时，每小时消耗的煤价值时，每小时消耗的煤价值4040元，其他费元，其他费用每小时需用每小时需200200元，火车的最高速度为元，火车的最高速度为100 km/h100 km/h，火车以何速，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?【解析解析】设速度为设速度为x km/h,x km/h,甲、乙两城距离为甲、乙两城距离为a km.a km.则总费用则总费用f(x)=(kxf(x)=(kx3 3+200)+200)=a(kx =a(kx2 2+).+).由已知条件，得由已知条件，得40=k40=k20203 3,k=,k=，f(x)=a(xf(x)=a(x2 2+).+).由由f(x)=0f(x)=0，得，得x=x=当当0 x 0 x 时，时，f(x)0;f(x)0;当当 x100 x0.f(x)0.当当x=x=时，时，f(x)f(x)有最小值，有最小值，即速度为即速度为 km/hkm/h时，总费用最少时，总费用最少.1.1.（5 5分）对于函数分）对于函数f(x)=xf(x)=x3 3-3x(|x|-3x(|x|1)1)，下列说法正确的是，下列说法正确的是()()(A)(A)有最大值，但无最小值有最大值，但无最小值(B)(B)有最大值，也有最小值有最大值，也有最小值(C)(C)无最大值，也无最小值无最大值，也无最小值(D)(D)无最大值，但有最小值无最大值，但有最小值【解析解析】选选C.f(x)=3xC.f(x)=3x2 2-3=3(x-3=3(x2 2-1)-1)0 0，fx)f(x)在（在（-1-1，1 1）上是减少的）上是减少的.2.2.（5 5分）设函数分）设函数f(x)=axf(x)=ax3 3-3x+1(xR),-3x+1(xR),若对于任意若对于任意xx-1,1-1,1,都有都有f(x)0f(x)0成立成立,则实数则实数a a的值为的值为 _._.【解析解析】若若x=0,x=0,则不论则不论a a取何值取何值,f(x)0,f(x)0显然成立显然成立;当当x0 x0即即x(0,1x(0,1时，时，f(x)=axf(x)=ax3 3-3x+10-3x+10可化为可化为 设设g(x)=,g(x)=,则则g(x)=,g(x)=,所以所以g(x)g(x)在区间在区间(0,(0,上是增加的上是增加的,在区间在区间 ,1,1上是减少上是减少的的.因此因此g(x)g(x)maxmax=g()=4,=g()=4,从而从而a4;a4;当当x0 x0即即xx-1-1，0 0）时，）时，f(x)=axf(x)=ax3 3-3x+10-3x+10可化为可化为 g(x)g(x)在区间在区间-1-1，0 0）上是增加的，因此）上是增加的，因此g(x)g(x)minmin=g(-1)=4,=g(-1)=4,从而从而a4,a4,综上综上可得可得a=4.a=4.答案：答案：4 43.3.（5 5分）青海玉树地震灾区在党的领导下积极恢复生产、重分）青海玉树地震灾区在党的领导下积极恢复生产、重建家园时建家园时,某工厂需要建一个面积为某工厂需要建一个面积为512 m512 m2 2的矩形堆料场的矩形堆料场,一边一边可以利用原有的墙壁可以利用原有的墙壁,其他三面需要砌新的墙壁其他三面需要砌新的墙壁,当砌墙所用的当砌墙所用的材料最省时材料最省时,堆料场的长和宽分别为堆料场的长和宽分别为_._.【解析解析】设堆料场的长为设堆料场的长为x m,x m,宽为宽为y m.y m.则则xy=512,y=,xy=512,y=,l=x+2y=x+,=x+2y=x+,l=1-=0,x=32.=1-=0,x=32.知当知当0 x320 x32时时,l0,32x32时时,l0.0.当当x=32x=32时时,l最小最小.此时此时y=16.y=16.答案：答案：32 m,16 m32 m,16 m4.4.（1515分）已知函数分）已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+lnx.+lnx.（1 1）求函数）求函数f(x)f(x)在区间在区间1 1，e e上的最大值，最小值；上的最大值，最小值；（2 2）求证：）求证：x x1 1时时f(x)f(x)x x3 3.【解析解析】（1 1）f(x)=x+f(x)=x+，x x0 0时，时，f(x)f(x)0 0则则f(x)f(x)在区间在区间1 1，e e上是增加的上是增加的.当当x=1x=1时，时，f(x)f(x)有最小值有最小值 .当当x=ex=e时，时，f(x)f(x)有最大值有最大值 +1.+1.（2 2）设）设F F（x x）=x=x2 2+lnx-x+lnx-x3 3,则则F(x)=x+-2xF(x)=x+-2x2 2 xx1 1，FF（x)x)0,0,F(x)F(x)在（在（1 1，+)+)上是减少的，上是减少的，又又F F（1 1）=-=-0 0，x x2 2+lnx-x+lnx-x3 30 0，即即 x x2 2+lnx+lnx x x3 3，xx（1 1，+），），当当x1x1时，时，f(x)xf(x)x3 3.