Euler-方法.pptx

第1页/共26页2 Euler2 Euler方法方法一、一、EulerEuler方法方法二、二、误差分析误差分析 三、三、EulerEuler方法的收敛性和稳定性方法的收敛性和稳定性第2页/共26页一、一、Euler Euler方法方法记：记：因为：因为：(等距剖分等距剖分)(积分方程积分方程)令：令：有：有：第3页/共26页EulerEuler方法方法截去截去有：有：由于：由于：(已知已知),),又称又称EulerEuler折线法。折线法。可得递推关系：可得递推关系：第4页/共26页欧拉方法的几何意义：欧拉方法的几何意义：h步长步长Euler方法的几何意义方法的几何意义第5页/共26页二、误差分析二、误差分析称为局部截断误差，称为局部截断误差，计算时计算时 的误差。的误差。记：记：有：有：估计估计 关于关于假设假设满足满足Lipschitz条件：条件：精确值时，精确值时，为为它表示当它表示当第6页/共26页其中：其中：第7页/共26页几何分析：几何分析：EulerEuler公式的误差公式的误差记记 ，则有，则有第8页/共26页整体截断误差整体截断误差：由：由：第9页/共26页从而有：从而有：对任一对任一有：有：第10页/共26页于是便得于是便得EulerEuler方法的整体截断误差界方法的整体截断误差界(*)(*)第11页/共153页注意注意:对于对于EulerEuler方法方法将将说明说明EulerEuler方法的整体截断误差与方法的整体截断误差与h同阶。同阶。第12页/共26页注意注意:对于对于Euler方法方法第13页/共26页定理定理5 设设f(x,y)属于属于FF且关于且关于x满足满足Lipschitz条件，条件，其其Lipschitz常数为常数为K，且当且当 时，时，则则 Euler方法一致收敛于真解方法一致收敛于真解成立。成立。并且有估并且有估(*)(*)估计式。估计式。第14页/共26页隐式隐式Euler方法方法等价于等价于积分方程：积分方程：微分方程：微分方程：第15页/共26页有：有：(令令 )截去截去有：有：第16页/共26页设设 为为 的近似值的近似值，称为称为隐式隐式Euler方法方法.称为隐式称为隐式Euler方法的方法的局部截断误差局部截断误差.则：则：第17页/共26页 改进的改进的EulerEuler方法方法等价于积分方程：等价于积分方程：微分方程：微分方程：第18页/共26页有：有：(令令 )截去截去有：有：第19页/共26页设设 为为 的近似值，的近似值，称为称为改进的改进的EulerEuler方法方法。称为改进的称为改进的Euler方法的方法的局部截断误差局部截断误差。误差分析误差分析：仍记仍记注意：注意：则：则：第20页/共26页于是：于是：若记若记整体截断误差的阶由局部截断误差的阶来决定。整体截断误差的阶由局部截断误差的阶来决定。可见改进的可见改进的Euler方法误差比方法误差比Euler方法要高一阶。方法要高一阶。则有则有第21页/共26页三、三、EulerEuler方法的收敛性和稳定性方法的收敛性和稳定性收敛性收敛性第22页/共26页注意注意:结论结论:第23页/共26页稳定性：稳定性：定义定义第24页/共26页结论结论:证明：证明：第25页/共26页计算问题：计算问题：隐式计算格式由隐式计算格式由迭代法迭代法去完成。去完成。将上式变形为将上式变形为记记求求即求隐式方程即求隐式方程的根。的根。第26页/共26页总总 结结 通过对通过对EulerEuler方法的讨论可以看到方法的讨论可以看到,微分微分方程数值方法的研究应包括以下方面方程数值方法的研究应包括以下方面:1.1.数值计算公式的构造；数值计算公式的构造；2.2.方法稳定性方法稳定性,收敛性的研究；收敛性的研究；3.3.方法的误差估计；方法的误差估计；4.4.方法的实现等。方法的实现等。