材料力学应力圆法课件.pptx

7-3 平面应力状态分析平面应力状态分析-图解法图解法 (Analysis of plane stress-state with graphical means)一、莫尔圆一、莫尔圆一、莫尔圆一、莫尔圆（Mohrs circleMohrs circle）将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方把上面两式等号两边平方把上面两式等号两边平方把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去然后相加便可消去然后相加便可消去然后相加便可消去 ,得得得得 因为因为因为因为 x x,y y,xy xy 皆为已知量皆为已知量皆为已知量皆为已知量,所以上式是一个以所以上式是一个以所以上式是一个以所以上式是一个以 ,为变量为变量为变量为变量的的的的圆周方程圆周方程圆周方程圆周方程.当斜截面随方位角当斜截面随方位角当斜截面随方位角当斜截面随方位角 变化时变化时变化时变化时,其上的应力其上的应力其上的应力其上的应力 ,在在在在 -直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆.1.1.圆心的坐标圆心的坐标圆心的坐标圆心的坐标 （Coordinate of circle centerCoordinate of circle center）2.2.圆的半径圆的半径圆的半径圆的半径（Radius of circleRadius of circle）此圆习惯上称为此圆习惯上称为此圆习惯上称为此圆习惯上称为 应力圆应力圆应力圆应力圆（plane stress circleplane stress circle）,或称为或称为或称为或称为莫莫莫莫尔圆尔圆尔圆尔圆（Mohrs circleMohrs circle）（1 1）建）建）建）建 -坐标系坐标系坐标系坐标系,选定比例尺选定比例尺选定比例尺选定比例尺o 二、应力圆作法二、应力圆作法二、应力圆作法二、应力圆作法（The method for drawing a stress circleThe method for drawing a stress circle）1.1.步骤步骤步骤步骤（StepsSteps）xy x x x x yxyx xyxy y y y yD xyo o （2 2）量取）量取）量取）量取OA=OA=x xADAD =xyxy得得得得D D点点点点xy x x x x yxyx xyxy xAOB=OB=y y （3 3）量取）量取）量取）量取BD=BD=yxyx得得得得DD点点点点 yB B yxD （4 4）连接）连接）连接）连接 DDDD两点的直线与两点的直线与两点的直线与两点的直线与 轴相交于轴相交于轴相交于轴相交于C C 点点点点 （5 5）以）以）以）以C C为圆心为圆心为圆心为圆心,CDCD 为半径作圆为半径作圆为半径作圆为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的该圆就是相应于该单元体的该圆就是相应于该单元体的该圆就是相应于该单元体的应力圆应力圆应力圆应力圆C C （1 1）该圆的圆心）该圆的圆心）该圆的圆心）该圆的圆心C C点到点到点到点到 坐坐坐坐标原点的标原点的标原点的标原点的 距离为距离为距离为距离为 （2 2）该圆半径为）该圆半径为）该圆半径为）该圆半径为D xyo o xA yB B yxDC C2.2.2.2.证明证明证明证明(Prove)(Prove)三、应力圆的应用三、应力圆的应用三、应力圆的应用三、应力圆的应用（Application of stress-circleApplication of stress-circle）1.1.求单元体上任一求单元体上任一求单元体上任一求单元体上任一 截面上的应力截面上的应力截面上的应力截面上的应力（Determine the stresses on Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circleany inclined plane by using stress-circle）从应力圆的半径从应力圆的半径从应力圆的半径从应力圆的半径 CD CD 按方位角按方位角按方位角按方位角 的转向转动的转向转动的转向转动的转向转动2 2 得到半径得到半径得到半径得到半径CE.CE.圆周上圆周上圆周上圆周上 E E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力点的坐标就依次为斜截面上的正应力点的坐标就依次为斜截面上的正应力点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力和切应力和切应力和切应力 .D xyo o xA yB B yxDC C2 2 0 0FE E2 2 xya x x x x yxyx xyxye ef f n n 证明：证明：证明：证明：（1 1）点面之间的对应关系）点面之间的对应关系）点面之间的对应关系）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力,必对应必对应必对应必对应于应力圆上某一点的坐标于应力圆上某一点的坐标于应力圆上某一点的坐标于应力圆上某一点的坐标.说说说说 明明明明AB （2 2）夹角关系）夹角关系）夹角关系）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍上对应两截面夹角的两倍上对应两截面夹角的两倍上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致两者的转向一致两者的转向一致两者的转向一致.2 2 O OC CB BA2.2.2.2.求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面位置 （Determine principle stress Determine principle stress and the direction of principle and the direction of principle plane by using stress circleplane by using stress circle）（1 1 1 1）主应力数值）主应力数值）主应力数值）主应力数值 A A1 1 和和和和 B B1 1 两点为与主平面两点为与主平面两点为与主平面两点为与主平面对应的点对应的点对应的点对应的点,其横坐标其横坐标其横坐标其横坐标 为主应力为主应力为主应力为主应力 1 1,2 2 1 1 2D xyo o xA yB B yxDC C2 2 0 0FE E2 2 B1A12 2 0 0D xyo o xA yB B yxDC C 1 1 2A1B1（2 2）主平面方位）主平面方位）主平面方位）主平面方位 由由由由 CDCD顺时针转顺时针转顺时针转顺时针转 2 2 0 0 到到到到CACA1 1 所以单元体上从所以单元体上从所以单元体上从所以单元体上从 x x 轴顺时轴顺时轴顺时轴顺时针转针转针转针转 0 0（负值）即负值）即负值）即负值）即到到到到 1 1对应的对应的对应的对应的主平面的外法线主平面的外法线主平面的外法线主平面的外法线 0 0 确定后确定后确定后确定后,1 1 对应的对应的对应的对应的主平面方位即确定主平面方位即确定主平面方位即确定主平面方位即确定3.3.3.3.求最大切应力求最大切应力求最大切应力求最大切应力（Determine Determine maximum shearingmaximum shearing stress by stress by using stress circleusing stress circle）G G1 1和和和和G G两点的纵坐标分别代两点的纵坐标分别代两点的纵坐标分别代两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力表最大和最小切应力表最大和最小切应力表最大和最小切应力 2 2 0 0D xyo o xA yB B yxDC C 1 1 2A1B1G1G2 因为因为因为因为最大最小切应力等于应力圆的半径最大最小切应力等于应力圆的半径最大最小切应力等于应力圆的半径最大最小切应力等于应力圆的半径例例7-4-1 已知已知 求此单元体在求此单元体在 30和和 -40两斜截面上的应力。两斜截面上的应力。例例7-4-2：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁件受扭转时的破坏现象。件受扭转时的破坏现象。解：解：1取单元体取单元体ABCD，其中，其中 ，这是纯剪切应力状态。，这是纯剪切应力状态。2作作应应力力圆圆 主主应应力力为为 ，并并可可确定主平面的法线。确定主平面的法线。3分分析析 纯纯剪剪切切应应力力状状态态的的两两个个主主应应力力绝绝对对值值相相等等，但但一一为为拉拉应应力力，另另一一为为压压应应力力。由由于于铸铸铁铁抗抗拉拉强强度度较较低低，圆圆截截面面铸铸铁铁构构件件扭扭转转时时构构件件将将沿沿倾倾角角为为 45的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。已知已知已知已知受力物体内某一点处三个主受力物体内某一点处三个主受力物体内某一点处三个主受力物体内某一点处三个主应力应力应力应力 1 1,2 2,3 3 利用应力圆确定该点的最大正应利用应力圆确定该点的最大正应利用应力圆确定该点的最大正应利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力力和最大切应力力和最大切应力力和最大切应力.一、一、一、一、空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力(the maximum normal stress and shear stress in(the maximum normal stress and shear stress in three-three-dimensional stress-state)dimensional stress-state)7-4 三向应力状态分析三向应力状态分析（analysis of three-dimensional stress-state）3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 1 3 首先研究与其中一个主平首先研究与其中一个主平首先研究与其中一个主平首先研究与其中一个主平面面面面 （例如主应力（例如主应力（例如主应力（例如主应力 3 3 所在的平所在的平所在的平所在的平面）垂直的斜截面上的应力面）垂直的斜截面上的应力面）垂直的斜截面上的应力面）垂直的斜截面上的应力 1 2 2 用截面法用截面法用截面法用截面法,沿求应力的沿求应力的沿求应力的沿求应力的截面将单元体截为两部分截面将单元体截为两部分截面将单元体截为两部分截面将单元体截为两部分,取左下部分为研究对象取左下部分为研究对象取左下部分为研究对象取左下部分为研究对象 2 1 主应力主应力主应力主应力 3 3 所在的两平面上是一所在的两平面上是一所在的两平面上是一所在的两平面上是一对自相平衡的力对自相平衡的力对自相平衡的力对自相平衡的力,因而该斜面上的应因而该斜面上的应因而该斜面上的应因而该斜面上的应力力力力 ,与与与与 3 3 无关无关无关无关,只由主应力只由主应力只由主应力只由主应力 1 1,2 2 决定决定决定决定 与与与与 3 3 垂直的斜截面上的应力可垂直的斜截面上的应力可垂直的斜截面上的应力可垂直的斜截面上的应力可由由由由 1 1 ,2 2 作出的应力圆上的点来作出的应力圆上的点来作出的应力圆上的点来作出的应力圆上的点来表示表示表示表示 1 2 3 3 2 1 该应力圆上的点对应于该应力圆上的点对应于该应力圆上的点对应于该应力圆上的点对应于与与与与 3 3 垂直的所有斜截面上垂直的所有斜截面上垂直的所有斜截面上垂直的所有斜截面上的应力的应力的应力的应力 A 1 O 2B 与主应力与主应力与主应力与主应力 2 2 所在主平所在主平所在主平所在主平面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力 ,可用由可用由可用由可用由 1 1,3 3作出的应作出的应作出的应作出的应力圆上的点来表示力圆上的点来表示力圆上的点来表示力圆上的点来表示C 3 与主应力与主应力与主应力与主应力 所在主平所在主平所在主平所在主平面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力 ,可用由可用由可用由可用由 2 2,3 3作出的作出的作出的作出的应力圆上的点来表示应力圆上的点来表示应力圆上的点来表示应力圆上的点来表示 该截面上应力该截面上应力该截面上应力该截面上应力 和和和和 对应的对应的对应的对应的D D点必位于上述三个应力圆所点必位于上述三个应力圆所点必位于上述三个应力圆所点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内围成的阴影内围成的阴影内围成的阴影内 abc abc 截面表示与三个主平截面表示与三个主平截面表示与三个主平截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面面斜交的任意斜截面面斜交的任意斜截面面斜交的任意斜截面a ab bc c 1 2 1 2 3 A 1 O 2BC 3结论结论结论结论 三个应力圆圆周上的三个应力圆圆周上的三个应力圆圆周上的三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部点及由它们围成的阴影部点及由它们围成的阴影部点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空分上的点的坐标代表了空分上的点的坐标代表了空分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上间应力状态下所有截面上间应力状态下所有截面上间应力状态下所有截面上的应力的应力的应力的应力 该点处的最大正应力该点处的最大正应力该点处的最大正应力该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大（指代数值）应等于最大（指代数值）应等于最大（指代数值）应等于最大应力圆上应力圆上应力圆上应力圆上A A点的横坐标点的横坐标点的横坐标点的横坐标 1 1 A 1 O 2BC 3 最大切应力则等于最最大切应力则等于最最大切应力则等于最最大切应力则等于最大的应力圆的半径大的应力圆的半径大的应力圆的半径大的应力圆的半径 最大切应力所在的最大切应力所在的最大切应力所在的最大切应力所在的截面与截面与截面与截面与 2 2 所在的主平面所在的主平面所在的主平面所在的主平面垂直垂直垂直垂直,并与并与并与并与 1 1和和和和 3 3所在的所在的所在的所在的主平面成主平面成主平面成主平面成4545角角角角.例题例题例题例题9 9 单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示,作应力圆作应力圆作应力圆作应力圆,并求出主应力和并求出主应力和并求出主应力和并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位最大切应力值及其作用面方位最大切应力值及其作用面方位最大切应力值及其作用面方位.解解解解:该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力 因此与该主平面正交的各截因此与该主平面正交的各截因此与该主平面正交的各截因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力面上的应力与主应力面上的应力与主应力面上的应力与主应力 z z 无关无关无关无关,依据依据依据依据 x x截面和截面和截面和截面和y y 截面上的应力画出应力截面上的应力画出应力截面上的应力画出应力截面上的应力画出应力圆圆圆圆.求另外两个求另外两个求另外两个求另外两个主应力主应力主应力主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa 由由由由 x x,xyxy 定出定出定出定出 D D 点点点点由由由由 y y,yxyx 定出定出定出定出 DD 点点点点 以以以以 DDDD为直径作应力圆为直径作应力圆为直径作应力圆为直径作应力圆 A A1 1,A A2 2 两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代表另外两个主应力表另外两个主应力表另外两个主应力表另外两个主应力 1 1 和和和和 3 3 A1A2DD O D DC 1 3 1 1=46MPa46MPa 3 3=-26MPa-26MPa 该单元体的三个主应力该单元体的三个主应力该单元体的三个主应力该单元体的三个主应力 1 1=46MPa46MPa 2 2=20MPa20MPa 3 3=-26MPa-26MPa 根据上述主应力，作出三个应根据上述主应力，作出三个应根据上述主应力，作出三个应根据上述主应力，作出三个应力圆力圆力圆力圆 7-5 平面应变状态分析平面应变状态分析(Analysis of plane strain-state)平面应力状态下，已知一点的应变分量平面应力状态下，已知一点的应变分量平面应力状态下，已知一点的应变分量平面应力状态下，已知一点的应变分量 x x ,y y ,x xy y ，欲求，欲求，欲求，欲求 方向上的线应变方向上的线应变方向上的线应变方向上的线应变 和切应变和切应变和切应变和切应变 ,可根据弹性小变形的几何条件可根据弹性小变形的几何条件可根据弹性小变形的几何条件可根据弹性小变形的几何条件,分分分分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量 x x,y y,xyxy在此方在此方在此方在此方向上引起的线应变及切应变向上引起的线应变及切应变向上引起的线应变及切应变向上引起的线应变及切应变,再利用叠加原理再利用叠加原理再利用叠加原理再利用叠加原理.一、任意方向的应变一、任意方向的应变一、任意方向的应变一、任意方向的应变(The strain of any directionThe strain of any direction）二、主应变数值及其方位二、主应变数值及其方位二、主应变数值及其方位二、主应变数值及其方位 (The principal strains and its(The principal strains and its direction)direction)