杨辉三角的研究课.pptx

杨辉三角的研究课111111111113324465510 10复习1 1、什么是杨辉三角、什么是杨辉三角？1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 2 2、杨辉三角蕴含的二项式性质、杨辉三角蕴含的二项式性质（1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是（2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个 数字相加，也就是（3）杨辉三角具有对称性、等距性（对称美），即（4第n行的和，即（5）偶数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和=（6）若n为偶数，则中间项的二项式系数最大;若n为奇数，则中间项两项的二项式系数最大。3 3、介绍杨辉、介绍杨辉古代数学家的杰出代表古代数学家的杰出代表 杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有详解九章算法十二卷（1261年）、日用算法二卷、乘除通变本末三卷、田亩比类乘除算法二卷、续古摘奇算法二卷其中后三种合称杨辉算法，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。“杨辉三角”出现在杨辉编著的详解九章算法一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal,1623年1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的4 4观察杨辉三角所蕴含的数量关系，及有趣的数字排列规律观察杨辉三角所蕴含的数量关系，及有趣的数字排列规律（1）计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：第1行112 2第2行12142 22 2第3行133182 23 3第4行14641162 24 4第5行15101051322 25 5第n行问题前n项（含第0行）所有数的和与第n行所有数的有何关系？结论:(1)第n行数字的和为2 n (2)前n行(含第0行)所有数的和为2 n 1，它恰好比第n行的和2 n小1（2 2）斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？）斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？（3 3）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？1，1，2，3，5，8，13，21，34，此数列an满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n3)这就是著名的斐波那契数列 介绍斐波那契介绍斐波那契“兔子繁殖问题兔子繁殖问题”增强趣味性增强趣味性 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，(4)(4)杨辉三角与弹子游戏杨辉三角与弹子游戏 在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色黑色)向容器内跌落，碰到第一层阻向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？奖品高于中间区奖品？“概率三角形”照这样计算第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是？与杨辉三角有何关系？关系？介绍我国现代数学家华罗庚介绍我国现代数学家华罗庚 华罗庚（1910-1985）是一位具有世界声誉世界声誉的数学家，是我国现代数学家我国现代数学家最杰出的代表。撰写了不少高质量的10部专著、200篇论文和10余部科普著作。由于他的贡献，有许多定理、引理、不等式与方法等都用他的名字命名为了推广优选法，华罗庚带领小分队去二十七个省市普及应用数学方法达二十年之久，取得了明显的经济效益和社会效益，为我国经济建设作出了重大贡献在他的科普著作从杨辉三角谈起从杨辉三角谈起中，对杨辉三角的构成，提出了上述有趣的看法（5 5）杨辉三角与）杨辉三角与“纵横路线图纵横路线图”“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？AB 由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系 通过通过“杨辉三角杨辉三角”了解古代数学家杨辉，通过了解古代数学家杨辉，通过“弹子游戏弹子游戏”了解现代数学了解现代数学家华罗庚，增强爱国情感。家华罗庚，增强爱国情感。系统探究杨辉三角蕴含的数字排列规律，培养观察、探究及创新能力。系统探究杨辉三角蕴含的数字排列规律，培养观察、探究及创新能力。展示部分探究成果，相互交流学习，养成良好习惯。展示部分探究成果，相互交流学习，养成良好习惯。5 5教学小结：教学小结：第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 （04.上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第第_行中从左至右第行中从左至右第14与第与第15个数的比为个数的比为6 6作业作业347 7、阅读材料、阅读材料事实上，历史上有关本三角形的最早记载，既不在法国，也不在中国，而在古印度。事实上，历史上有关本三角形的最早记载，既不在法国，也不在中国，而在古印度。The first reference to this triangle occurs in Indian mathematician Pingalas book on Sanskrit poetics that may be as early as 450 BC as Meru-prastaara,the staircase of Mount Meru.The commentators of this book were also aware that the shallow diagonals of the triangle sum to the Fibonacci numbers.It was known to Chinese and Islamic scholars in medieval times.It is said that the triangle was called Yang Huis triangle by the Chinese.Several theorems related to the triangle were known,including the binomial theorem.In Italy,it is referred to as Tartaglias triangle,named for the Italian algebraist Niccolo Fontana Tartaglia who lived a century before Pascal;Tartaglia is credited with the general formula for solving cubic polynomials.）In modern times,Pascals triangle takes its name from the Trait du triangle arithmtique(1655)by Blaise Pascal.In that work,Pascal collected several results then known about the triangle,and employed them to solve problems in probability theory.The arithmetical triangle was later called after Pascal by Pierre Raymond de Montmort(1708)and Abraham de Moivre(1730).下课